연립 일차 방정식 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''연립 일차 방정식'''(聯立一次方程式, {{llang|en|system of linear equations}}) 또는 '''선형 방정식계'''(線形方程式系)는 여러 개의 [[일차 방정식]]으로 이루어진 [[연립 방정식]]이다.{{Sfn|Abdelwahab Kharab|Ronald B. Guenther|p=97|2013}} 모든 일차 방정식을 만족시키는 변수값 [[튜플]]을 [[근 (수학)|해]]로 한다. 기하학적 관점에서, [[실수]] 계수 연립 일차 방정식의 해는 [[초평면]]들의 교점과 같다. 연립 일차 방정식은 [[계수 행렬]]과 [[첨가 행렬]]을 사용하여 나타낼 수 있다. 연립 일차 방정식의 기본적인 해법은 [[가우스 소거법]]이다. 연립 일차 방정식은 [[선형대수학]]의 중요한 연구 대상이며, 많은 실제 문제의 모형이다.{{Sfn|Abdelwahab Kharab|Ronald B. Guenther|p=97|2013}}

== 정의 ==
<math>m</math>개의 방정식으로 이루어진 <math>n</math>원 '''연립 일차 방정식'''은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots+a_{1n}x_n=b_1</math>
:<math>a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\cdots+a_{2n}x_n=b_2</math>
:<math>a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\cdots+a_{3n}x_n=b_3</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+\cdots+a_{mn}x_n=b_m</math>
행렬 곱셈의 정의에 의하여, 이는 다음과 동치이다.
:<math>\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn}\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b_1\\b_2\\b_3\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}</math>
여기에 쓰인 세 행렬을 왼쪽부터 차례대로 <math>A_{m\times n}</math>, <math>x_{n\times1}</math>, <math>b_{m\times1}</math>라고 하면, 연립 일차 방정식은 다음과 같이 단순하게 쓸 수 있다.
:<math>Ax=b</math>
이 경우, <math>A</math>를 이 연립 일차 방정식의 '''[[계수 행렬]]''', <math>x</math>를 '''해 벡터'''(解-, {{llang|en|solution vector}}), <math>b</math>를 '''소스 벡터'''({{llang|en|source vector}})라고 한다.<ref>(cemm#을 활용한 수치해석, 제 3 장 수치 선형대수 www.msharpmath.com, revised on 2012.11.28,p21)http://www.msharpmath.com/wordpress/wp-content/uploads/2012/09/102-003-%EC%88%98%EC%B9%98%ED%95%B4%EC%84%9D1.pdf {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20170802083457/http://www.msharpmath.com/wordpress/wp-content/uploads/2012/09/102-003-%EC%88%98%EC%B9%98%ED%95%B4%EC%84%9D1.pdf}}</ref> 또한, 계수 행렬 옆에 소스 벡터를 덧붙인 행렬 <math>(A|b)</math>를 '''[[첨가 행렬]]'''이라고 한다.

연립 일차 방정식 <math>Ax=b</math>가 <math>b=0</math>을 만족시키면, '''동차 연립 일차 방정식'''(同次聯立一次方程式, {{llang|en|homogeneous system of linear equations}})이라고 하며, 반대로 <math>b\ne0</math>을 만족시키면, '''비동차 연립 일차 방정식'''(非同次聯立一次方程式, {{llang|en|non-homogeneous system of linear equations}})이라고 한다.

== 풀이 ==
계수를 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>에서 취하는 연립 일차 방정식 <math>Ax=b</math>의 해의 집합은 [[공집합]]이거나, <math>K</math>-[[벡터 공간]]의 잉여류 <math>x_0+\ker A\subset K^n</math>를 이룬다. (여기서 <math>x_0</math>은 임의의 고정된 해이며, <math>\ker</math>는 [[핵 (수학)|핵]]이다.) 특히, 동차 연립 일차 방정식의 해들은 <math>K</math>-벡터 공간 <math>\ker A\subset K^n</math>을 이룬다.

구체적으로, 연립 일차 방정식 <math>Ax=b</math>의 해는 존재하지 않을 수도, 유일할 수도, 수많을 수도 있는데, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* <math>Ax=b</math>의 해는 존재한다.
* <math>b\in\operatorname{im}A</math> (여기서 <math>\operatorname{im}</math>는 [[상 (수학)|상]]이다.)
* <math>\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(A|b)</math> (여기서 <math>\operatorname{rank}</math>는 [[계수 (선형대수학)|계수]]이다.)
또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>Ax=b</math>의 해는 유일하다.
* <math>A</math>는 [[가역 행렬]]이다.
특히, 동차 연립 일차 방정식은 [[영벡터]]를 자명한 해로 가지며, 해가 영벡터뿐일 필요충분조건은 계수 행렬이 ([[정사각 행렬|정사각]]) 가역 행렬인 것이다. 보다 구체적으로, 해공간의 [[차원]]은 다음과 같으며, 이를 [[계수-퇴화차수 정리]]라고 한다.
:<math>\dim\ker A=n-\operatorname{rank}A</math>

=== 가우스 소거법 ===
{{본문|가우스 소거법}}
[[가우스 소거법]]은 가감법을 사용하여 연립 일차 방정식을 푸는 방법이다. [[기본 행 연산]] <math>P</math>를 통해 첨가 행렬
:<math>(A|b)</math>
을 계수 행렬이 [[기약 행 사다리꼴 행렬]]인 새로운 첨가 행렬
:<math>(PA|Pb)</math>
로 변환시키면 된다.

=== 크라메르 법칙 ===
{{본문|크라메르 법칙}}
[[크라메르 법칙]]은 방정식의 개수와 미지수의 개수가 같고, 계수 행렬이 [[가역 행렬]]일 경우에 유일한 해를 구하는 공식이다. 이 유일한 해는 다음과 같다.
:<math>x=A^{-1}b</math>
크라메르 법칙은 이를 다음과 같이 풀어쓴다.
:<math>x_i=\frac{\det A_i}{\det A}\qquad i=1,\dots,n</math>
여기서 <math>A_i</math>는 <math>A</math>의 <math>i</math>째 열을 <math>b</math>로 대신하여 얻는 행렬이며, <math>\det</math>는 [[행렬식]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[동차 연립일차방정식]]
* [[방정식]]
* [[LAPACK]]
* [[연립이원이차방정식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach|번역제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8 |ref=harv}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=LinearSystemofEquations|title=Linear system of equations}}
* {{proofwiki|id=Definition:Homogeneous Linear Equations|제목=Definition:Homogeneous linear equations}}

{{선형대수학}}

{{전거 통제}}

[[분류:방정식]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:수치선형대수학]]