연관 소 아이디얼 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]에서, [[가군]]의 '''연관 소 아이디얼'''(聯關素ideal, {{llang|en|associated prime ideal}})은 특정 [[부분 가군]]의 [[소멸자]]로 표현될 수 있는 [[소 아이디얼]]이다. [[가환환]] 위의 [[가군]]의 [[연관 소 아이디얼]]은 [[대수기하학]]적으로 [[준연접층]]으로서의 [[지지 집합]]과 관련되며, 또 [[부분 가군]]의 [[으뜸 분해]]에 사용된다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, <math>M</math>을 '''소가군'''({{llang|en|prime module}})이라고 한다.
* 임의의 [[부분 가군]] <math>_RN\subseteq{}_RM</math>에 대하여, <math>N=0</math>이거나 <math>\operatorname{Ann}(_RN)=\operatorname{Ann}(_RM)</math>이다.
(여기서 <math>\operatorname{Ann}</math>은 [[소멸자]]를 뜻한다.) 소가군의 소멸자는 항상 [[소 아이디얼]]이다.<ref name="Lam">{{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer-Verlag | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}
</ref>{{rp|85}}
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''증명:'''<div class="mw-collapsible-content">
만약 [[양쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak a,\mathfrak b</math>가 <math>\mathfrak a\mathfrak b\subseteq\operatorname{Ann}_RM</math>을 만족시키며 <math>\mathfrak a\not\subseteq\operatorname{Ann}_RM</math>이라면, <math>\{0\}\ne\mathfrak aM</math>이므로 <math>\mathfrak b\subseteq\operatorname{Ann}_R(\mathfrak aM)=\operatorname{Ann}_RM</math>이다.
</div></div>
<math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>의 '''연관 소 아이디얼'''({{llang|en|associated prime ideal}})은 그 [[부분 가군]]인 소가군의 [[소멸자]]로 나타낼 수 있는 [[소 아이디얼]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|86}} <math>_RM</math>의 연관 소 아이디얼의 [[집합]]을 <math>\operatorname{Ass}(_RM)\subseteq\operatorname{Spec}R</math>로 표기한다.

만약 <math>R</math>가 [[가환환]]일 때, <math>\operatorname{Ass}(_RM)</math> 의 원소 가운데 (포함 관계에 대하여) [[극소 원소]]인 것을 '''고립 연관 소 아이디얼'''({{llang|en|isolated associated prime ideal}}), 아닌 것을 '''매장 연관 소 아이디얼'''({{llang|en|embedded associated prime ideal}})이라고 한다.

== 성질 ==
환 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>의 [[부분 가군]] <math>N\subseteq M</math>에 대하여, <math>\operatorname{Ass}(_N)\subseteq\operatorname{Ass}(_M)</math>이다. 만약 <math>N</math>이 [[본질적 부분 가군]]이라면 <math>\operatorname{Ass}(_N)=\operatorname{Ass}(_M)</math>이다.

=== 유한성·비자명성 ===
만약 <math>R</math>가 [[양쪽 아이디얼]]에 대한 [[오름 사슬 조건]]을 만족시킨다면, <math>R</math> 위의 모든 [[유한 생성 왼쪽 가군]]은 적어도 하나 이상의 연관 소 아이디얼을 갖는다. 임의의 [[환 (수학)|환]] 위의 [[뇌터 왼쪽 가군]]은 유한 개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

=== 뇌터 가환환의 경우 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 [[가군]] <math>M</math>은 <math>\operatorname{Spec}R</math> 위의 [[준연접층]]을 정의한다. 그 [[지지 집합]]
:<math>\operatorname{supp}(_RM)=\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon R_{\mathfrak p}\otimes_R\ne0\}</math>
을 생각하자. 만약 <math>R</math>가 [[뇌터 가환환]]이라면, 다음이 성립한다.
* <math>\operatorname{Ass}(_RM)\subseteq\operatorname{supp}(_RM)</math>
* <math>\operatorname{Ass}(_RM)</math>의 [[극소 원소]]들의 집합은 <math>\operatorname{supp}(_RM)</math>의 [[극소 원소]]들의 집합과 같다.

[[뇌터 가환환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>의 연관 소 아이디얼들의 [[합집합]]은 <math>M</math>의 [[영인자]]들의 집합과 같다.
:<math>\bigcap\operatorname{Ass}(_RM)=\{r\in R\colon\exists m\in M\setminus\{0\}\colon rm=0\}</math>

[[뇌터 가환환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{서적 인용|title=Basic Algebra|first=P. M.|last=Cohn|publisher=Springer-Verlag|year=2003|isbn=978-0-85729428-9|언어=en}}</ref>{{rp|391, Exercise 10.9.7}}
* [[가군의 길이]]가 유한하다.
* [[유한 생성 가군]]이며, 모든 연관 소 아이디얼이 [[극대 아이디얼]]이다.

== 예 ==
임의의 환 위의 [[영가군]]은 연관 소 아이디얼을 갖지 않는다.
:<math>\operatorname{Ass}(_R0)=\varnothing</math>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:가군론]]
[[분류:아이디얼]]