연관 다발 문서 원본 보기

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[[위상수학]]에서 '''연관 다발'''(聯關-, {{llang|en|associated bundle}})은 [[위상군]]의 작용을 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 및 같은 [[위상군]]에 대한 [[주다발]]로부터 구성되는, 전자를 올로 갖는 [[올다발]]이다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>
* [[위상군]] <math>G</math>
* <math>G</math>-[[주다발]] <math>\pi\colon P\to X</math>
* 위상 공간 <math>F</math>
* <math>G</math>의, 위상 공간 <math>F</math> 위의 연속 왼쪽 작용 <math>\rho\colon G\times F\to F</math>
그렇다면, 다음과 같은 위상 공간을 생각하자.
:<math>E=P\times_GF=\frac{P\times F}{(p,g\cdot f)\sim(p\cdot g,f)}</math>
이는 사영 함수
:<math>\pi\colon [(p,v)]\mapsto p</math>
를 통해, 올이 <math>F</math>인, <math>X</math> 위의 [[올다발]]을 이룬다. 이를 '''연관 다발'''이라고 한다.

=== 연관 벡터 다발 ===
특히, <math>F</math>가 유한 차원 실수 [[벡터 공간]]이며, <math>\rho\colon G\to\operatorname{GL}(V;\mathbb R)</math>가 <math>G</math>의 [[연속 함수|연속]] 유한 차원 [[실수]] [[군의 표현|표현]]이라고 하자. 그렇다면, 연관 다발 <math>E</math> 위에는 <math>V</math>로부터 오는, 표준적인 <math>B</math> 위의 [[벡터 다발]] 구조가 존재한다. 즉, 각 올 <math>E_x</math> 위에는 벡터 공간 구조
:<math>t[(p,v)]=[(p,tv)]\qquad(p\in P,\;v\in V,\;t\in\mathbb R)</math>
:<math>[(p,v)]+[(p\cdot g^{-1},v')]=[(p,v+\rho(g)v')]\qquad(p\in P,\;v,v'\in V,\;g\in G)</math>
가 주어진다. 이를 <math>(X,G,P,V,\pi,\rho)</math>의 '''연관 벡터 다발'''({{llang|en|associated vector bundle}})이라고 한다.

== 예 ==
<math>G=\{\pm1\}</math>가 2차 [[순환군]]이며,
:<math>X=\mathbb S^1=\frac\mathbb R{t\sim t+1\;\forall t\in\mathbb R}</math>
가 [[원]]이라고 하자. 그렇다면, 원의 2겹 [[피복 공간]]
:<math>\pi\colon\mathbb S^1\twoheadrightarrow\mathbb S^1</math>
:<math>\pi\colon [t]\mapsto [2t]</math>
은 자연스럽게 <math>G</math>-[[주다발]]을 이룬다. 즉, 그 위의 <math>G</math>-작용은 다음과 같다.
:<math>g\colon[t]\mapsto\left[t+\frac{1-g}2\right]\qquad(g\in\{\pm1\})</math>
<math>G</math>는 자연스러운 1차원 실수 표현
:<math>g\cdot a=ga\qquad(g\in\{\pm1\},\;a\in\mathbb R)</math>
을 가지며, 이에 대한 연관 벡터 다발은 (원 위의 1차원 [[벡터 다발]]로 여긴) [[뫼비우스의 띠]]이다.

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=associated bundle|title=Associated bundle}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:미분위상수학]]
[[분류:올다발]]