역함수 정리 문서 원본 보기

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{{미적분학}}

[[다변수 미적분학]]에서 '''역함수 정리'''(逆函數定理, {{llang|en|inverse function theorem}})는 주어진 [[함수]]가 국소적으로 충분히 매끄러운 [[역함수]]를 가질 충분 조건을 제시하는 정리이다.

== 정의 ==
양의 정수 <math>k</math> 및 [[열린 근방]] <math>\mathbf a\in U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 <math>\mathcal C^k</math> 함수 <math>\mathbf f\colon U\to\mathbb R^n</math>가 다음을 만족시킨다고 하자.
:<math>\det\mathrm D\mathbf f(\mathbf a)\ne 0</math>
여기서 좌변은 <math>\mathbf f</math>의 <math>\mathbf a</math>에서의 [[야코비 행렬식]]이다. 그렇다면, <math>\mathbf f</math>는 <math>\mathbf a</math>에서 국소 <math>\mathcal C^k</math> [[미분동형사상]]이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린 근방 <math>\mathbf a\in V\subseteq U</math>가 존재한다.
* <math>\mathbf f(V)</math>는 열린집합이다.
* <math>\mathbf f|_V</math>는 [[단사 함수]]이다.
* <math>\mathbf g\colon\mathbf f(V)\to\mathbb R^n</math>, <math>\mathbf f(\mathbf x)\mapsto\mathbf x</math>는 <math>\mathcal C^k</math> 함수이다.
이를 '''역함수 정리'''라고 한다.<ref name="김락중">{{서적 인용
|저자1=김락중
|저자2=박종안
|저자3=이춘호
|저자4=최규흥
|제목=해석학 입문
|판=3
|출판사=경문사
|날짜=2007
|isbn=978-8-96-105054-8
}}</ref>{{rp|322-323}}

=== 일변수의 경우 ===
열린구간 <math>a\in I\subseteq\mathbb R</math> 및 <math>\mathcal C^k</math> 함수 <math>f\colon I\to\mathbb R</math>가 다음을 만족시킨다고 하자.
:<math>f'(a)\ne 0</math>
그렇다면, <math>f</math>는 <math>a</math>에서 국소 <math>\mathcal C^k</math> 미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린구간 <math>a\in J\subseteq I</math>가 존재한다.
* <math>f(J)</math>는 열린구간이다.
* <math>f|_J</math>는 단사 함수이다.
* <math>g\colon f(J)\to\mathbb R</math>, <math>f(x)\mapsto x</math>는 <math>\mathcal C^k</math> 함수이다.
이는 역함수 정리의 일변수 버전이다.

== 증명 ==
임의의 <math>\mathbf y\in\mathbb R^n</math>에 대하여, 다음과 같은 함수 <math>\mathbf F_{\mathbf y}\colon U\to\mathbb R^n</math>를 정의하자.
:<math>\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x)=\mathbf x+(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}(\mathbf y-\mathbf f(\mathbf x))
\qquad\forall\mathbf x\in U</math>
그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\mathrm D\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x)=(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a)-\mathrm D\mathbf f(\mathbf x))
\qquad\forall\mathbf x\in U,\;\mathbf y\in\mathbb R^n</math>
그렇다면 <math>\mathrm D\mathbf f</math>가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방 <math>\mathbf a\in V\subseteq U</math>가 존재한다.
:<math>\Vert\mathrm D\mathbf f(\mathbf a)-\mathrm D\mathbf f(\mathbf x)\Vert<\frac 1{2\Vert\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}\Vert}</math>
즉, 다음이 성립한다.
:<math>\Vert\mathrm D\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x)\Vert<\frac 12
\qquad\forall\mathbf x\in V,\;\mathbf y\in\mathbb R^n</math>
즉, 다음이 성립한다.
:<math>\Vert\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x)-\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x')\Vert\le\frac 12\Vert\mathbf x-\mathbf x'\Vert
\qquad\forall\mathbf x,\mathbf x'\in V,\;\mathbf y\in\mathbb R^n</math>

이제 <math>\mathbf f|_V</math>가 단사 함수임을 보이자. <math>\mathbf x,\mathbf x'\in V</math>가 <math>\mathbf f(\mathbf x)=\mathbf f(\mathbf x')</math>를 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, <math>\mathbf x,\mathbf x'</math>는 모두 <math>\mathbf F_{\mathbf f(\mathbf x)}</math>의 고정점이다. 즉, <math>\mathbf F_{\mathbf f(\mathbf x)}(\mathbf x)=\mathbf x</math>이며 <math>\mathbf F_{\mathbf f(\mathbf x)}(\mathbf x')=\mathbf x'</math>이다. 이를 위에 대입하면, <math>\mathbf x=\mathbf x'</math>를 얻는다. 따라서 <math>\mathbf f|_V</math>는 단사 함수이다.

이제 <math>\mathbf f(V)</math>가 열린집합임을 보이자. 즉, 임의의 <math>\mathbf x'\in V</math>에 대하여, <math>\operatorname B(\mathbf f(\mathbf x'),\epsilon)\subseteq\mathbf f(V)</math>인 <math>\epsilon>0</math>을 찾자. 그러려면 임의의 <math>\mathbf y\in\operatorname B(\mathbf f(\mathbf x'),\epsilon)</math>에 대하여, <math>\mathbf F_{\mathbf y}</math>가 <math>V</math>에서 고정점을 가지는 것으로 족하다. <math>\delta>0</math>가 <math>\bar\operatorname B(\mathbf x',\delta)\subseteq V</math>를 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>\mathbf y\in\operatorname B(\mathbf f(\mathbf x'),\epsilon)</math>에 대하여 <math>\mathbf F_\mathbf y(\operatorname B(\mathbf x',\delta))\subseteq \operatorname B(\mathbf x',\delta)</math>가 성립함을 보이는 것으로 족하다. 사실, <math>\epsilon=\delta/2\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}\Vert</math>를 취하면, 임의의 <math>\mathbf y\in\bar\operatorname B(\mathbf f(\mathbf x'),\epsilon)</math> 및 <math>\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf x',\delta)</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}\Vert\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x)-\mathbf x'\Vert
&\le\Vert\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x)-\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x')\Vert+
\Vert\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x')-\mathbf x'\Vert\\
&\le\frac 12\Vert\mathbf x-\mathbf x'\Vert+
\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}(\mathbf y-\mathbf f(\mathbf x'))\Vert\\
&<\delta
\end{align}</math>
즉, <math>\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x)\in\bar\operatorname B(\mathbf x',\delta)</math>이다. 즉, <math>\mathbf F_{\mathbf y}</math>는 <math>\bar\operatorname B(\mathbf x',\delta)</math> 위의 [[축약 사상]]이며, [[바나흐 고정점 정리]]에 따라, <math>\mathbf F_{\mathbf y}</math>는 고정점 <math>\mathbf x\in\bar\operatorname B(\mathbf x',\delta)</math>를 갖는다. 따라서, <math>\mathbf y=\mathbf f(\mathbf x)\in\mathbf f(\bar\operatorname B(\mathbf x',\delta))\subseteq\mathbf f(V)</math>이며, <math>\mathbf f(V)</math>는 열린집합이다.

이제 임의의 <math>\mathbf x\in V</math>에 대하여, <math>\mathrm D\mathbf f(\mathbf x)</math>가 가역 행렬임을 보이자. <math>\mathbf h\in\mathbb R^n</math>가 <math>\mathrm D\mathbf f(\mathbf x)\mathbf h=\mathbf 0</math>을 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}0
&=\Vert\mathrm D\mathbf f(\mathbf x)\mathbf h\Vert\\
&\ge\Vert\mathrm D\mathbf f(\mathbf a)\mathbf h\Vert-
\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a)-\mathrm D\mathbf f(\mathbf x))\mathbf h\Vert\\
&\ge\frac{\Vert\mathbf h\Vert}{\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}\Vert}-
\Vert\mathrm D\mathbf f(\mathbf a)-\mathrm D\mathbf f(\mathbf x)\Vert\Vert\mathbf h\Vert\\
&\ge\frac{\Vert\mathbf h\Vert}{2\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}\Vert}\\
\end{align}</math>
즉, <math>\mathbf h=\mathbf 0</math>이다. 따라서 <math>\mathrm D\mathbf f(\mathbf x)</math>는 가역 행렬이다.

이제 <math>\mathbf g\colon\mathbf f(V)\to\mathbb R^n</math>, <math>\mathbf f(\mathbf x)\to\mathbf x</math>가 <math>\mathcal C^k</math> 함수임을 보이자. 임의의 <math>\mathbf y,\mathbf y+\mathbf k\in\mathbf f(V)</math>에 대하여, <math>\mathbf y=\mathbf f(\mathbf x)</math> 또한 <math>\mathbf y+\mathbf k=\mathbf f(\mathbf x+\mathbf h)</math>인 <math>\mathbf x,\mathbf x+\mathbf h\in V</math>를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}\frac 12\Vert\mathbf h\Vert
&\ge\Vert\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x+\mathbf h)-\mathbf F_{\mathbf y}(\mathbf x)\Vert\\
&=\Vert\mathbf h-(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}\mathbf k\Vert\\
&\ge\Vert\mathbf h\Vert-\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}\Vert\Vert\mathbf k\Vert
\end{align}</math>
즉, <math>\Vert\mathbf k\Vert\ge\Vert\mathbf h\Vert/(2\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}\Vert)</math>이다. 따라서, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}\limsup_{\mathbf k\to\mathbf 0}
\frac{\Vert\mathbf g(\mathbf y+\mathbf k)-\mathbf g(\mathbf y)-
(\mathrm D\mathbf f(\mathbf x))^{-1}\mathbf k\Vert}{\Vert\mathbf k\Vert}
&=\limsup_{\mathbf k\to\mathbf 0}
\frac{\Vert\mathbf h-(\mathrm D\mathbf f(\mathbf x))^{-1}(\mathbf f(\mathbf x+\mathbf h)-\mathbf f(\mathbf x))\Vert}{\Vert\mathbf k\Vert}\\
&\le\limsup_{\mathbf h\to\mathbf 0}
\frac{\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf x))^{-1}\Vert}{\Vert(\mathrm D\mathbf f(\mathbf a))^{-1}\Vert}
\frac{\Vert\mathbf f(\mathbf x+\mathbf h)-\mathbf f(\mathbf x)-(\mathrm D\mathbf f(\mathbf x))^{-1}\mathbf h\Vert}{\Vert\mathbf h\Vert}\\
&=0
\end{align}</math>
즉, <math>\mathrm D\mathbf g(\mathbf x)=(\mathrm D\mathbf f(\mathbf g(\mathbf y))^{-1}</math>이며, <math>\mathbf g</math>는 <math>\mathcal C^k</math> 함수이다.

== 따름정리 ==
=== 열린 함수 관련 ===
열린집합 <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 <math>\mathcal C^1</math> 함수 <math>\mathbf f\colon U\to\mathbb R^n</math>가 다음을 만족시킨다고 하자.
:<math>\det\mathrm D\mathbf f(\mathbf x)\ne 0\qquad\forall\mathbf x\in U</math>
그렇다면, <math>\mathbf f</math>는 [[열린 함수]]이다. 즉, 모든 열린집합 <math>\widetilde U\subseteq U</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>\mathbf f(\widetilde U)</math>은 역시 열린집합이다.

=== (대역) 미분동형사상 관련 ===
열린집합 <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 단사 <math>\mathcal C^k</math> 함수 <math>\mathbf f\colon U\to\mathbb R^n</math>가 다음을 만족시킨다고 하자.
:<math>\det\mathrm D\mathbf f(\mathbf x)\ne 0\qquad\forall\mathbf x\in U</math>
그렇다면, <math>\mathbf f</math>는 <math>\mathcal C^k</math> 미분동형사상이다. 즉, 다음이 성립한다.
* <math>\mathbf f(U)</math>는 열린집합이다.
* <math>\mathbf f^{-1}\colon f(U)\to\mathbb R^n</math>은 역시 <math>\mathcal C^k</math> 함수이다.

== 예 ==
=== 미분동형사상이 아닌 국소 미분동형사상 ===
다음과 같은 함수 <math>\mathbf f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2</math>를 생각하자.
:<math>\mathbf f(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>
그렇다면, <math>\mathbf f</math>는 <math>\mathcal C^\infty</math> 함수이며, 또한 다음을 만족시킨다.
:<math>\det\mathrm D\mathbf f(x,y)=e^{2x}\ne 0</math>
음함수 정리에 따라, <math>\mathbf f</math>는 (모든 점에서) 국소 <math>\mathcal C^\infty</math> 미분동형사상이다. 그러나 <math>\mathbf f</math>는 삼각 함수의 주기성에 따라 단사 함수가 아니므로, 미분동형사상이 아니다.

=== 야코비 행렬식이 0인 점을 갖는 C<sup>0</sup> 미분동형사상 ===
다음과 같은 함수 <math>\mathbf f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2</math>를 생각하자.
:<math>\mathbf f(x,y)=(x^3,y)\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>
그렇다면, <math>\mathbf f</math>는 연속 함수이며, 다음과 같은 연속 역함수 <math>f^{-1}</math>를 갖는다.
:<math>f^{-1}(u,v)=(u^{1/3},v)\qquad\forall u,v\in\mathbb R</math>
즉, <math>\mathbf f</math>는 <math>\mathcal C^0</math> 미분동형사상이다. 그러나, <math>\det\mathrm D\mathbf f(0,0)=0</math>이다. 즉, <math>\mathcal C^0</math> 미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가질 수 있다. <math>k>0</math>일 경우, <math>\mathcal C^k</math> 미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가지지 않는다.

== 같이 보기 ==
* [[음함수 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=InverseFunctionTheorem|title=Inverse function theorem}}

[[분류:미적분학 정리]]
[[분류:역함수]]