역격자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[결정학]]에서, [[브라베 격자]]의 '''역격자'''(逆格子, {{lang|en|reciprocal lattice}})는 원래 격자의 모든 격자 벡터와의 내적이 정수인 벡터들이 이루는 브라베 격자이다.

== 정의 ==
<math>\Lambda\subset\mathbb R^n</math>이 [[브라베 격자]]라고 하자. 즉, 유한한 수의 생성원을 가지고, 그 [[선형생성 부분공간]]({{lang|en|span}})이 <math>\mathbb R^n</math> 전체인 [[아벨 군]]이라고 하자. 그렇다면 <math>\Lambda</math>의 '''역격자''' <math>\Lambda^{-1}</math>는 다음과 같은 집합이다.
:<math>\Lambda^{-1}=\{\mathbf v\in\mathbb R^n\colon\mathbf v\cdot\mathbf u\in\mathbb Z\forall\mathbf u\in\Lambda\}</math>.
<math>\Lambda^{-1}</math>이 브라베 격자를 이룬다는 사실은 쉽게 확인할 수 있다.

역격자의 [[기저 (선형대수학)|기저]]는 원래 격자의 기저들의 성분이 이루는 행렬의 [[역행렬]]이다. 즉, 원래 격자의 기저가 <math>\{\mathbf a_i\}</math> (<math>i=1,\dots,n</math>)이면, 역격자의 기저 <math>\{\mathbf b_i\}</math>는 다음을 만족한다.
:<math>
\left[\mathbf b_1\mathbf b_2\cdots\mathbf b_n\right]^\top =\left[\mathbf a_1\mathbf a_2\cdots\mathbf a_n\right]^{-1}.
</math>

3차원에서는 역격자의 기저를 [[벡터곱]]을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>\mathbf b_1=\frac{\mathbf a_2\times\mathbf a_3}{\mathbf a_1 \cdot (\mathbf a_2 \times \mathbf a_3)}</math>
:<math>\mathbf b_2=\frac{\mathbf a_3 \times \mathbf a_1}{\mathbf a_2\cdot (\mathbf a_3 \times \mathbf a_1)}</math>
:<math>\mathbf b_3=\frac{\mathbf a_1 \times \mathbf a_2}{\mathbf a_3\cdot (\mathbf a_1 \times \mathbf a_2)}</math>.

[[수학]]과 [[결정학]]에서는 위와 같은 정의를 사용하지만, [[고체물리학]]에서는 간혹 다음과 같은 정의를 사용하기도 한다.
:<math>\Lambda^{-1}=\{\mathbf v\in\mathbb R^n\colon\mathbf v\cdot\mathbf u/2\pi\in\mathbb Z\forall\mathbf u\in\Lambda\}</math>.
이는 앞의 정의에 비교하여 벡터가 <math>2\pi</math>배 더 긴 것 밖에는 차이가 없다.
== 같이 보기 ==
* [[브릴루앙 영역]]
* [[결정학]]
* [[에발트 구면]]
* [[밀러 지수]]

{{전거 통제}}
{{토막글|물리학|수학}}

[[분류:결정학]]
[[분류:격자점]]
[[분류:푸리에 해석학]]