여과 범주 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서, '''여과 범주'''(濾過範疇, {{llang|en|filtered category}})는 [[상향 원순서 집합]]의 개념의 [[범주론]]적 일반화이다. 여과 범주를 [[정의역]]으로 하는 [[쌍대 극한]]은 유한 [[극한 (수학)|극한]]과 가환한다.

== 정의 ==
[[정칙 기수]] <math>\kappa</math>가 주어졌다고 하자. [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal J</math>가 다음 조건들을 만족시킨다면, '''<math>\kappa</math>-여과 범주'''라고 한다.
* 임의의 [[작은 범주]] <math>\mathcal I</math> 및 [[함자 (수학)|함자]] <math>D\colon\mathcal I\to\mathcal J</math>에 대하여, 만약 <math>\mathcal I</math>의 [[사상 (수학)|사상]] 집합의 [[집합의 크기|크기]]가 <math>\kappa</math> 미만이라면, <math>D</math>는 쌍대뿔({{llang|en|cocone}})을 갖는다.

<math>\aleph_0</math>-여과 범주는 단순히 '''여과 범주'''라고 한다.

마찬가지로, '''<math>\kappa</math>-쌍대 여과 범주'''({{llang|en|<math>\kappa</math>-cofiltered category}})는 <math>\kappa</math>-여과 범주의 [[반대 범주]]이다.

== 성질 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal J</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\aleph_0</math>-여과 범주이다.
* 다음 세 조건들을 만족시킨다.
** 하나 이상의 대상을 갖는다. (이는 <math>\mathcal I</math>가 아무 대상을 갖지 않을 때의 경우이다.)
** (두 대상의 상계의 존재) 임의의 두 대상 <math>I,J\in\mathcal J</math>에 대하여, 대상 <math>K\in\mathcal J</math> 및 두 사상 <math>I\xrightarrow fK\xleftarrow gJ</math>이 존재한다.
** (두 사상의 상계의 존재) 같은 [[정의역]]과 [[공역]]을 갖는 두 사상 <math>f,g\colon I\to J</math>에 대하여, <math>h\circ f=h\circ g</math>가 되는 대상 <math>K</math> 및 사상 <math>h\colon J\to K</math>가 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
I&\overset f\to&J\\
{\scriptstyle g}{\downarrow}{\color{White}\scriptstyle g}&&{\color{White}\scriptstyle h}{\downarrow}\scriptstyle h\\
J&\underset h\to&K
\end{matrix}</math>

=== 극한의 교환 법칙 ===
임의의 [[완비 범주]] <math>\mathcal C</math> 및 임의의 [[작은 범주]] <math>\mathcal J</math>에 대하여 [[극한 (범주론)|극한]] 함자
:<math>\varprojlim_{\mathcal J}\colon{\mathcal C}^{\mathcal J}\to\mathcal C</math>
를 정의할 수 있으며, 임의의 [[쌍대 완비 범주]] <math>\mathcal C</math> 및 임의의 [[작은 범주]] <math>\mathcal J</math>에 대하여 [[쌍대 극한]] 함자
:<math>\varinjlim_{\mathcal J}\colon{\mathcal C}^{\mathcal J^{\operatorname{op}}}\to{\mathcal C}</math>
를 정의할 수 있다. 특히, [[작은 범주]]의 범주는 [[데카르트 닫힌 범주]]이므로, 두 개의 [[작은 범주]] <math>\mathcal I</math>, <math>\mathcal J</math> 및 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>D\colon\mathcal J\times\mathcal I^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>
:<math>D\in\operatorname{Set}^{\mathcal J\times\mathcal I^{\operatorname{op}}}
\simeq(\operatorname{Set}^{\mathcal J})^{\mathcal I^{\operatorname{op}}}
\simeq(\operatorname{Set}^{\mathcal I^{\operatorname{op}}})^{\mathcal J}
</math>
에 대하여, [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\varinjlim_{\mathcal I}D\in\operatorname{Set}^{\mathcal J}</math>
:<math>\varprojlim_{\mathcal J}D\in\operatorname{Set}^{\mathcal I^{\operatorname{op}}}</math>
및 [[집합]]
:<math>\varinjlim_{\mathcal J}\varprojlim_{\mathcal I}D\in\operatorname{Set}</math>
:<math>\varprojlim_{\mathcal I}\varinjlim_{\mathcal J}D\in\operatorname{Set}</math>
를 정의할 수 있다. 또한, [[극한 (범주론)|극한]] 또는 [[쌍대 극한]]의 [[보편 성질]]에 의하여 표준적인 [[함수]]
:<math>\varinjlim_{\mathcal J}\varprojlim_{\mathcal I}D\to\varprojlim_{\mathcal I}\varinjlim_{\mathcal J}D</math>
가 존재한다.

[[작은 범주]] <math>\mathcal J</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\aleph_0</math>-여과 범주이다.
* (극한과 쌍대 극한의 [[교환 법칙]]) 임의의 유한 개의 사상들을 갖는 범주 <math>\mathcal I</math> 및 임의의 함자 <math>D\colon\mathcal J\times\mathcal I^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>에 대하여, 표준적인 사상 <math>\varinjlim_{\mathcal J}\varprojlim_{\mathcal I}D\to\varprojlim_{\mathcal I}\varinjlim_{\mathcal J}D</math>는 항상 [[전단사 함수]]이다.

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=filtered category|title=Filtered category}}
* {{nlab|id=filtered limit|title=Filtered limit}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/53548/motivation-of-filtered-colimits|제목=Motivation of filtered colimits|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.stackexchange.com/questions/444557/why-are-there-no-filtered-limits|제목=Why are there no filtered limits?|출판사=StackExchange|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:범주론]]