에일렌베르크-매클레인 공간 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''에일렌베르크-매클레인 공간'''(-空間, {{llang|en|Eilenberg–MacLane space}})은 주어진 특정 차수의 [[호모토피 군]]을 제외하고 다른 호모토피 군이 모두 [[자명군]]인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
군 <math>G</math> 및 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, '''에일렌베르크-매클레인 공간''' <math>K(G,n)</math>은 다음과 같은 [[호모토피 군]]을 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.
:<math>\pi_k(K(G,n))=\begin{cases}G&k=n\\1&k\ne n\end{cases}</math>
만약 <math>n>1</math>이라면, <math>G</math>는 [[아벨 군]]이어야만 한다. 이러한 성질을 갖는 공간은 항상 존재하며, 항상 [[CW 복합체]]로 잡을 수 있으며, [[약한 호모토피 동치]]를 무시하면 유일하다.

주어진 [[아벨 군]] <math>G</math>에 대하여, [[고리 공간]] 함자 <math>L</math>을 통해
:<math>\cdots\xrightarrow LK(G,2)\xrightarrow LK(G,1)\xrightarrow K(G,0)</math>
을 정의할 수 있다. 이는 [[스펙트럼 (위상수학)|스펙트럼]]을 이루며, '''에일린베르크-매클레인 스펙트럼'''이라고 한다. 이는 <math>G</math> 계수의 코호몰로지를 나타내는 스펙트럼이다.

== 구성 ==
임의의 군 <math>G</math> 및 양의 정수 <math>n</math>이 주어졌으며, 만약 <math>n>1</math>이라면 <math>G</math>가 [[아벨 군]]이라고 하자. 그렇다면
<math>K(G,n)</math>는 다음과 같이 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.

=== CW 복합체를 통한 구성 ===
<math>K(G,n)</math>을 이루는 [[CW 복합체]]를 다음과 같이 구성할 수 있다.

우선, <math>n</math>차원 초구들의 [[쐐기합]]의 <math>n</math>차 [[호모토피 군]]은 <math>n=1</math>일 경우 [[자유군]]이고, <math>n>1</math>일 경우 [[자유 아벨 군]]이다.
:<math>\pi_1\left(\bigvee_I\mathbb S^1\right)\cong\langle I\rangle</math>
:<math>\pi_n\left(\bigvee_I\mathbb S^n\right)\cong\mathbb Z^{\oplus I}</math>

군 <math>G</math>의 [[군의 표시|표시]]
:<math>G\cong \langle I| (R_j)_{j\in J}\rangle\qquad(R_j\in F(I)</math>
를 임의로 고르자. 여기서 <math>F(I)</math>는 <math>n=1</math>일 경우 [[집합]] <math>I</math> 위의 [[자유군]]이며 <math>n>1</math>일 경우 [[집합]] <math>I</math> 위의 [[자유 아벨 군]]이다. 그렇다면, <math>n</math>차원 [[초구]]들의 [[쐐기합]]
:<math>X_n=\bigvee_{i\in I}\mathbb S^n</math>
을 생각하자. 각 <math>j\in J</math>에 대하여, <math>R_j\in F(I)\cong \pi_n(X_1)</math>에 대응하는 사상
:<math>f_j\colon\mathbb S^n\to\pi_n(X_1)</math>
을 고르자. 이 사상을 따라, <math>n+1</math>차원 세포들을 붙여 [[CW 복합체]] <math>X_{n+1}</math>을 만들 수 있다. 그렇다면
:<math>\pi_i(X_{n+1})=0\qquad\forall i<n</math>
:<math>\pi_n(X_{n+1})\cong G</math>
이다. 그러나 <math>X_{n+1}</math>은 자명하지 않은 고차 [[호모토피 군]]을 가질 수 있다.

이를 차례로 다음과 같이 없앨 수 있다.
* <math>\pi_{n+1}(X_{n+1})</math>의 생성원들을 골라, 그 수만큼 <math>n+2</math>차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 <math>X_{n+2}</math>라고 하자.
* <math>\pi_{n+2}(X_{n+2})</math>의 생성원들을 골라, 그 수만큼 <math>n+3</math>차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 <math>X_{n+3}</math>라고 하자.
* ⋮
이와 같이 계속하여 모든 <math>n</math>에 대하여 <math>X_n</math>을 정의한 뒤, 그 [[귀납적 극한]]
:<math>X_\infty=\varinjlim_{n\to\infty}X_n</math>
을 취하자. 그렇다면 <math>X_n</math>은 <math>K(G,n)</math>을 이룬다.

=== 분류 공간을 통한 구성 ===
군 <math>G</math>에 [[이산 위상]]을 주자. 그렇다면, [[분류 공간]] <math>\operatorname BG</math>는 1차 에일렌베르크-매클레인 공간
:<math>\operatorname BG\simeq K(G,1)</math>
을 이룬다.  이러한 분류 공간은 다음과 같이 [[단체 복합체]]로 구성할 수 있다. 우선, <math>\operatorname EG</math>가 다음과 같은 무한 차원 단체 복합체라고 하자.
* <math>\operatorname EG</math>의 <math>n</math>차원 [[단체 (수학)|단체]]의 집합은 <math>G^{n+1}</math>이다.
* <math>[g_0,\dots,g_n]\in G^{n+1}</math>은 각 <Math>i</math>에 대하여 면 <math>[g_0,\dots,\hat g_i,\dots,g_n]\in G^n</math>과 붙여져 있다.
이는 [[축약 가능 공간]]이다. <math>\operatorname EG</math> 위에는 다음과 같은 <math>G</math>의 [[군의 작용|작용]]이 존재한다.
:<math>g\colon \operatorname EG\to\operatorname EG</math>
:<math>g\colon (g_0,\dots,g_n)\mapsto (gg_0,\dots,gg_n)</math>
이에 따라 [[몫공간]] <Math>\operatorname BG=\operatorname EG/G</math>를 정의할 수 있다. 정의에 따라 이는 <math>\pi_1(\operatorname BG)\cong G</math>이며 고차 호모토피 군을 갖지 않는다.

마찬가지로 고차 에일렌베르크-매클레인 공간도 유사한 방법으로 정의할 수 있다.

== 성질 ==
다음이 성립한다.
:<math>K(G,n)\times K(H,n)\simeq K(G\times H,n)</math>
:<math>K(G,n-1)\simeq \Omega K(G,n)</math>
여기서 <math>\Omega X</math>는 <math>X</math> 위의 [[고리 공간]]({{llang|en|loop space}})이다.

에크먼-힐튼 쌍대성({{llang|en|Eckman–Hilton duality}}) 및 [[브라운 표현 정리]]에 따라, 코호몰로지는 에일렌베르크-매클레인 스펙트럼에 의하여 [[표현 가능 함자|표현]]된다.
:<math>\operatorname{H}^n(X;G)\cong\hom_{\operatorname{hTop}_\bullet}\left(X,K(G,n)\right)</math>
특히,
:<math>\operatorname H^1(X;\mathbb Z)\cong\hom_{\operatorname{hTop}_\bullet}\left(X,\mathbb S^1\right)</math>
:<math>\operatorname H^2(X;\mathbb Z)\cong\hom_{\operatorname{hTop}_\bullet}\left(X,\mathbb{CP}^\infty\right)</math>
이다.
* 첫 등식은 <math>\operatorname S^1</math>이 [[무한 순환군]]의 [[분류 공간]] <math>\operatorname B\mathbb Z</math>이므로, <math>\mathbb Z</math>-[[주다발]]은 1차 코호몰로지류에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, <math>f\colon X\to\mathbb S^1</math>에 대응하는 코호몰로지류는 <math>\mathbb S^1</math>의 유일한 1차 코호몰로지류의 [[당김 (범주론)|당김]]이다.
* 둘째 등식은 <math>\mathbb{CP}^1</math>이 [[원군]]의 [[분류 공간]] <math>\operatorname B\operatorname U(1)</math>이므로, U(1)-[[주다발]] (복소수 [[선다발]])은 2차 코호몰로지류 ([[천 특성류]])에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, <math>f\colon X\to\mathbb{CP}^\infty</math>에 대응하는 코호몰로지류는 <math>\mathbb{CP}^\infty</math>의 2차 코호몰로지 <math>\operatorname H^2(\mathbb{CP}^\infty)\cong\mathbb Z</math>의 생성원의 [[당김 (범주론)|당김]]이다.

== 예 ==
대표적인 에일렌베르크-매클레인 공간으로는 다음이 있다.
{| class=wikitable
|-
| <math>K(\mathbb Z,1)</math> || <math>\mathbb S^1</math>
|-
| <math>K(\mathbb Z^{\oplus n},1)</math> || [[타원면]] <math>\mathbb T^n</math>
|-
| <math>K(F_k,1)</math> (<math>k</math>차 [[자유군]]) || 원의 [[쐐기합]] <math>\bigwedge_{i=1}^k\mathbb S^1</math>
|-
| <math>K(\mathbb Z/2,1)</math> || 무한 차원 [[실수 사영 공간]] <math>\mathbb P^\infty(\mathbb R)</math>
|-
| <math>K(\mathbb Z/m,1)</math> || 무한 차원 [[렌즈 공간]] <math>\mathbb S^\infty/(\mathbb Z/m)</math>
|-
| <math>K(\pi_1(\Sigma_g),1)</math> || <math>\Sigma_g</math> (종수 <math>g</math> 콤팩트 가향 곡면)
|-
| <math>K(\pi_1(S^3\setminus K),1)</math> || <math>S^3\setminus K</math> (<math>K</math>는 [[매듭 (수학)|매듭]])
|-
| <math>K(\mathbb Z,2)</math> ||  무한 차원 [[복소수 사영 공간]] <math>\mathbb P^\infty(\mathbb C)</math>
|-
| <math>K(\mathbb Z,n)</math> || [[초구]] 위의 무한 차원 [[짜임새 공간]] <math>\operatorname{Conf}^\infty(\mathbb S^n)</math>
|}

유한 차수 원소를 갖는 군 <math>G</math>에 대하여, <math>K(G,1)</math>은 유한 차원 [[CW 복합체]]가 될 수 없다.

== 역사 ==
[[사무엘 에일렌베르크]]와 [[손더스 매클레인]]이 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=S.|성=Eilenberg|이름2=S.|성2=MacLane|저자링크=사무엘 에일렌베르크|저자링크2=손더스 매클레인|제목=Relations between homology and homotopy groups of spaces|저널= Annals of Mathematics |권=46|날짜=1945|쪽=480–509|issn=0003-486X|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=S.|성=Eilenberg|이름2=S.|성2=MacLane|저자링크=사무엘 에일렌베르크|저자링크2=손더스 매클레인|제목=Relations between homology and homotopy groups of spaces II|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1950-05_51_3/page/n23|저널= Annals of Mathematics |권=51|날짜=1950|쪽=514–533|issn=0003-486X|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[포스트니코프 탑]]
* [[무어 공간 (대수적 위상수학)]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Eilenberg-MacLane space}}
* {{매스월드|id=Eilenberg-MacLaneSpace|title=Eilenberg-Mac Lane space}}
* {{nlab|id=Eilenberg-Mac Lane space}}
* {{nlab|id=generalized Eilenberg-MacLane space|title=Generalized Eilenberg-MacLane space}}
* {{nlab|id=Eilenberg-Mac Lane object}}
* {{nlab|id=twisted Eilenberg-MacLane space|title=Twisted Eilenberg-MacLane space}}

{{전거 통제}}

[[분류:호모토피 이론]]