에어리 함수 문서 원본 보기

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[[파일:Airy Functions.svg|오른쪽|섬네일|400px|에어리 함수의 그래프]]
[[수학]]에서 '''에어리 함수'''({{lang|en|Airy function}})는 [[특수 함수]]의 한 종류다. 두 개가 있으며, 기호는 Ai와 Bi다. [[조지 비델 에어리]]가 광학을 연구하기 위해 1838년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=George Biddell|성=Airy|저자링크=조지 비델 에어리|제목={{lang|en|On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic}}|저널=Transactions of the Cambridge Philosophical Society|권=6|쪽=379–402|연도=1838}}</ref>

== 정의 ==
다음과 같은 <math>f(x)</math>에 대한 이차 선형 [[상미분 방정식]]을 '''에어리 미분 방정식'''({{lang|en|Airy differential equation}})이라고 한다.
:<math>f''(x)=xf(x)</math>.
'''에어리 함수'''는 에어리 미분 방정식의 두 개의 독립적인 해로, 에어리 미분 방정식의 일반적인 해는 두 에어리 함수의 [[선형결합]]이다. 에어리 함수는 다음과 같이 적분으로 표현할 수 있다.
:<math>\operatorname{Ai}(x) = \frac1\pi \int_0^\infty \cos(t^3/3+xt)\,dt</math>
:<math>\operatorname{Bi}(x) = \frac1\pi \int_0^\infty\left[\exp\left(-\tfrac13t^3 + xt\right) + \sin\left(\tfrac13t^3 + xt\right)\right]\,dt</math>.

== 성질 ==
<math>x\gg1</math>일 때, 에어리 함수는 다음을 만족한다.
:<math>Ai(x)\approx\frac{\exp(-\frac23x^{3/2})}{2\sqrt{\pi}x^{1/4}}</math> (분모에 2가 있는 것에 주의!)
:<math>Bi(x)\approx\frac{\exp(\frac23x^{3/2})}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}</math>
:<math>Ai(-x)\approx\frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\pi/4)}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}</math>
:<math>Bi(-x)\approx\frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\pi/4)}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}</math>.

== 그래프 ==
{| style="text-align:center" align=center
! <math>\Re \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] </math>
! <math>\Im \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] </math>
! <math>| \mathrm{Ai} ( x + iy) | \, </math>
! <math>\mathrm{arg} \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] \, </math>
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! <math>\Re \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] </math>
! <math>\Im \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] </math>
! <math>| \mathrm{Bi} ( x + iy) | \, </math>
! <math>\mathrm{arg} \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] \, </math>
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|}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| 성=Olver|이름=Frank W.J.|연도=1997|제목=Asymptotics and Special Functions|판=2판|출판사=A. K. Peters/CRC Press|isbn=1568810695|url=http://www.crcpress.com/product/isbn/9781568810690}}
* {{인용 | last1=Press | first1=WH | last2=Teukolsky | first2=SA | last3=Vetterling | first3=WT | last4=Flannery | first4=BP | year=2007 | title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing | edition=3rd | publisher=Cambridge University Press | publication-place=New York | isbn=978-0-521-88068-8 | chapter=Section 6.6.3. Airy Functions | chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=289 | access-date=2012-09-12 | archive-date=2011-08-11 | archive-url=https://web.archive.org/web/20110811154417/http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=289 | url-status= }}
* {{인용 | last1=Vallée | first1=Olivier | last2=Soares | first2=Manuel | title=Airy functions and applications to physics | url=http://www.worldscibooks.com/physics/p345.html | publisher=Imperial College Press | location=London | isbn=978-1-86094-478-9 | mr=2114198 | year=2004 | access-date=2012-09-12 | archive-date=2010-01-13 | archive-url=https://web.archive.org/web/20100113044654/http://worldscibooks.com/physics/p345.html }}
* {{매스월드| id=AiryFunctions | title=Airy Functions}}
* Wolfram Functions Site: [http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/AiryAi/ Ai], [http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/AiryBi/ Bi].

== 같이 보기 ==
* [[베셀 함수]]
* [[에어리 제타 함수]]
* [[슈뢰딩거 방정식]]
* [[WKB 근사]]

{{전거 통제}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:상미분 방정식]]
[[분류:특수 초기하함수]]