엇호프트-폴랴코프 자기 홀극 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''엇호프트-폴랴코프 자기 홀극'''({{lang|en|'t Hooft–Polyakov monopole}})은 [[게이지 이론]]에서 발생하는 [[자기 홀극]]이다. [[헤라르뒤스 엇호프트]]와 [[알렉산드르 마르코비치 폴랴코프]]가 독립적으로 [[1974년]]에 고안하였다.<ref>{{저널 인용|이름=G.|성='t Hooft|저자링크=헤라르뒤스 엇호프트|저널=Nuclear Physics B|권=79|호=2|쪽=276–284|bibcode=1974NuPhB..79..276T|doi=10.1016/0550-3213(74)90486-6|날짜=1974-09-18|제목=Magnetic monopoles in unified gauge theories|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=А.М.|성=Поляков|저자링크=알렉산드르 마르코비치 폴랴코프|제목=Спектр частиц в квантовой теории поля|권=20|호=6|쪽=430–432|날짜=1974-09-25|저널={{lang|ru|Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики Письма и Редакцию}}|url=http://www.jetpletters.ac.ru/ps/874/article_13444.pdf|언어=ru|bibcode=1974ZhPmR..20..430P}}</ref> [[표준 모형]]에는 존재하지 않지만, 대부분의 [[대통일 이론]]은 이를 포함한다. 아직 실험적으로 발견되지 않았다.

== 정의 ==
시공간이 <math>\mathbb R^{d+1}</math>이라고 하자. 가능한 진공 상태들의 집합을 <math>\mathcal M</math>이라고 하자. 그렇다면 위상수학적으로 자명하지 않은 상태들은 공간의 무한대 <math>S^{d-1}</math>에서 <math>\mathcal M</math>으로 가는 연속함수들의 [[호모토피류]]들의 집합, 즉 제<math>d-1</math>차 호모토피 군 <math>\pi_{d-1}(\mathcal M)</math>에 의하여 분류된다.

게이지 군 <math>G</math>를 가진 [[게이지 이론]]이 [[자발 대칭 깨짐]]을 겪어 <math>H\subset G</math>로 깨진다고 하자. 이 경우, 진공 상태들의 집합은 [[잉여류]] 공간 <math>G/H</math>이다. 이에 따라, 만약 [[호모토피 군]] <math>\pi_{d-1}(G/H)</math>가 자명하지 않다면 위상수학적으로 보존되는 상태들이 존재한다. 이들은 <math>H</math>에 대하여 [[자기 홀극]]임을 보일 수 있다. 이들을 '''엇호프트-폴랴코프 자기 홀극'''이라고 한다.

[[호모토피 군]] <math>\pi_{d-1}(G/H)</math>는 다음과 같은 [[긴 완전열]]을 통해 계산할 수 있다.
:<math>\dotsb\to\pi_k(H)\to\pi_k(G)\to\pi_k(G/H)\to\pi_{k-1}(H)\to\pi_{k-1}(G)\to\pi_{k-1}(G/H)\to\dotsb\to\pi_1(H)\to\pi_1(G)\to\pi_1(G/H)\to\pi_0(H)\to\pi_0(G)\to0</math>
특히, [[리 군]]의 2차 호모토피 군은 항상 자명하다. 따라서, <math>d=3</math>인 경우,
:<math>0\to\pi_2(G/H)\to\pi_1(H)\xrightarrow\iota\pi_1(G)\to\dotsb</math>
이므로
:<math>\pi_2(G/H)=\ker\iota\subset\pi_1(H)</math>
이다. 만약 <math>G</math>가 [[단일 연결 공간]]이라면,
:<math>\pi_2(G/H)\cong\pi_1(H)</math>
이다.

== 대통일 이론에서의 자기 홀극 ==
[[대통일 이론]]에서는
* <math>G</math>는 대통일군 (예를 들어 SU(5) 또는 SO(10))
* <math>H=SU(3)\times SU(2)\times U(1)</math>는 [[표준 모형]]의 게이지군
* <math>d=3</math> (공간의 차원)
이다. 대통일군은 보통 반단순(semisimple) 리 군인데, 이 경우 그 [[기본군]]은 유한 [[아벨 군]]이다. 예를 들어,
* <math>\pi_1(SU(N))=\pi_1(\operatorname{Spin}(N))=1</math> ([[자명군]])
* <math>\pi_1(SO(N))=\mathbb Z/2</math>
이다. 반면 표준 모형의 게이지 군의 기본군은
* <math>\pi_1(H)=\pi_1(U(1))=\mathbb Z</math>
이다. 따라서, <math>\pi_1(G)=\Gamma</math>가 유한 아벨 군이라면 [[군 준동형]]
:<math>\mathbb Z\to\Gamma</math>
의 [[핵 (수학)|핵]]은 항상 <math>\mathbb Z</math>이다. 따라서, 대통일군이 [[반단순 리 군]]인 경우 (또는 일반적으로 대통일군의 [[기본군]]이 [[유한군]]일 때) 항상 자기 홀극이 존재한다.

== 특성 ==
[[양-밀스 이론]]에서 게이지 군이 [[힉스 메커니즘]]으로 인하여 [[자발 대칭 깨짐]]을 겪는 경우 발생한다. [[디랙 자기 홀극]]과 유사하지만 [[특이점]]이 없고, 유한한 총 에너지를 가진다.

엇호프트-폴랴코프 홀극은 원점을 근처로 국소화돼 있으며, 원점에서 멀리 떨어진 곳에서는 디랙 자기홀극으로 수렴한다. 그러나 원점에서는 게이지 군은 깨지지 않는다. 힉스 장 <math>H_i</math> (<math>i=1,2,3</math>)
은 <math>x_i f(|x|)</math>에 비례한다.

대부분의 [[게이지 이론]]은 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극을 가지지만, 특수한 경우에는 그렇지 않을 수도 있다. 정확히 말하면, ([[콤팩트 리 군]]이라고 가정한) 게이지 대칭 [[리 대수]]가 가환 부분을 가지고, 또 [[전하]] 연산자가 [[리 대수]]의 반단순 부분대수에 포함되지 않은 경우, 자기 홀극이 존재하지 않을 수 있다.<ref>B. T. McInnes (1984). J. Phys. A: Math. Gen. '''17''': 3287.</ref> [[표준 모형]]의 경우 SU(2)×U(1)에서 U(1)이라는 가환부분군이 있고, 또 전하 연산자가 순수히 SU(2)안에 들어있지 않고 SU(2)×U(1)에 대각으로 걸쳐 있으므로, 자기 홀극이 존재하지 않는다.

대부분의 [[대통일 이론]]은 [[반단순 리 군]](SU(5), SO(10) 등)으로 나타내어지므로, 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극을 가진다. 그러나 자기 홀극은 아직 실험적으로 관측되지 않았다.

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:자기 홀극]]
[[분류:게이지 이론]]