양-밀스 순간자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''양-밀스 순간자'''(楊-Mills瞬間子, {{llang|en|Yang–Mills instanton}})는 4차원 [[매끄러운 다양체]] 위의 [[주다발]]의 [[주접속]] 가운데, 그 주곡률의 [[호지 쌍대]]가 스스로의 &minus;1배와 같은 것이다. [[양자역학]]에서, 이는 [[양-밀스 이론]]의 특별한 (고전적) 해에 해당하며, [[순간자]]로 해석될 수 있다. 양-밀스 순간자의 [[모듈라이 공간]]으로부터 [[도널드슨 불변량]]을 정의할 수 있다.<ref>{{서적 인용|날짜=2003-03 |제목=Geometrical and topological methods for quantum field theory. Proceedings of the summer school, Villa de Leyva, Colombia, 9–27 July 2001 | 이름=Marcos | 성=Mariño | 장= An introduction to Donaldson–Witten theory | 장url=http://www.pdmi.ras.ru/EIMI/2013/Cohomology/lect/mm.pdf | doi= 10.1142/9789812705068_0005 | 쪽=265–311 |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=The Mathai-Quillen Formalism and Topological Field Theory|url=https://archive.org/details/arxiv-hep-th9203026|이름=Matthias|성=Blau|날짜=1992|arxiv=hep-th/9203026|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
=== (반) 자기 쌍대 형식 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* <math>2n</math>차원 [[유향 다양체|유향]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] <math>(M,g,\omega)</math>
* <math>M</math> 위의 임의의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math> 및 그 위의 양의 정부호 내적 <math>\langle-,-\rangle</math>
그렇다면, [[벡터 값 미분 형식]]의 공간 <math>\Omega^\bullet(M;E)</math>를 정의할 수 있으며, 그 [[호지 쌍대]]
:<math>*\colon\Omega^\bullet(M;E) \to \Omega^{2n-\bullet}(M;E)</math>
:<math>\alpha\wedge*\beta = \langle \alpha,\beta\rangle\omega</math>
를 정의할 수 있다. 물론, <math>k</math>차 [[미분 형식]]에 대하여 <math>*^2 = (-)^{k(2n-k)}</math>이다.

특히, 가운데 차수 (<Math>n</math>차) [[미분 형식]]에 대하여, [[호지 쌍대]]는 [[자기 사상]]을 이루며, 이 경우 <Math>*^2 = (-)^{n^2}</math>이다. 만약 <math>n</math>이 짝수일 경우, <math>* \restriction \Omega^n(M;E)</math>의 [[고윳값]]은 ±1이 된다. 이에 따라, 가운데 차수 [[미분 형식]]의 공간을 [[호지 쌍대]]의 [[고유 공간]]에 따라 다음과 같이 분해할 수 있다.
:<math>\Omega^n(M;E)=\Omega^{n,+}(M;E)\oplus\Omega^{n,-}(M;E)</math>
여기서 <math>\Omega^{n,+}(M)</math>의 원소는 '''자기 쌍대 미분 형식'''({{llang|en|self-dual differential form}}), <math>\Omega^2_-(M)</math>의 원소는 '''반 자기 쌍대 미분 형식'''({{llang|en|anti-self-dual differential form}})라고 한다. 이에 대한 사영 사상을
:<math>\operatorname{proj}^\pm \colon \Omega^n(M;E) \to \Omega^{n,+}(M;E)</math>
라고 표기하자.

(만약 <math>n</math>이 홀수라면, <math>*</math>의 고윳값은 <math>\pm\mathrm i</math>가 된다. 따라서 [[복소수]] 계수에서 유사한 분해를 가할 수 있다.)

다양체 <math>M</math>의 [[방향 (다양체)|방향]]을 뒤집으면, 자기 쌍대 미분 형식은 반 자기 쌍대 미분 형식이 되며, 그 역도 마찬가지다. 즉, 자기 쌍대 / 반 자기 쌍대의 선택은 임의적이다.

=== 순간자수 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 4차원 [[유향 다양체|유향]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* 콤팩트 [[리 군]] <math>G</math>
* <math>\mathfrak{lie}(G)</math> 위의 양의 정부호 2차 [[불변 다항식]] <math>K(-,-)</math>
* <math>G</math>-[[매끄러운 주다발]] <math>G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M</math>
그렇다면, <math>P</math>의 [[천-베유 준동형]]
:<math>\operatorname{CW}_P\colon\mathbb C[\mathfrak{lie}(G)]^G \to \operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)</math>
을 정의할 수 있으며, <math>K(-,-)</math>의 [[천-베유 준동형]] 아래의 [[상 (수학)|상]]
:<math>\operatorname{CW}_P(K) \in \operatorname H^4(M;\mathbb C)\cong \mathbb C</math>
를 정의할 수 있다. 이는 [[천 특성류]]로 정의되는 특성수이며, 모든 가능한 주다발들에 대하여 그 값들은 어떤 <math>\lambda \in \mathbb C</math>에 대하여
:<math>\operatorname{CW}_P(K) \in \lambda \mathbb Z\subsetneq\mathbb C</math>
의 꼴이다. 이 경우, <math>\lambda^{-1}\operatorname{CW}_P(K) \in \mathbb Z</math>를 주다발 <math>P</math>의 '''순간자수'''({{llang|en|instanton number}})라고 한다. (이는 <math>\lambda\mapsto-\lambda</math> 아래 부호의 모호성을 가진다.)

만약 <math>M = \mathbb S^4</math> (4차원 초구)이며, <math>G</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[단순 리 군]]이라면, <math>\mathbb S^4</math> 위의 <math>G</math>-주다발은 순간자수만으로 완전히 분류된다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 개략''':
<div class="mw-collapsible-content">
<math>\mathbb S^4</math> 위의 주다발이 주어졌다고 하자. 그 위에 임의의 주접속 <math>A</math>를 부여하자. 또한, 어떤 임의의 점 <Math>\infty \in \mathbb S^4</math>을 무한대로 여겨, <math>\mathbb R^4 \cong \mathbb S^4 \setminus\{\infty\}</math>로 여길 수 있다.

4차원 유클리드 공간 <math>\mathbb R^4</math>은 [[축약 가능 공간]]이므로, 그 위의 <Math>G</math>-주다발은 하나 밖에 없으며, 이를 자명한 주다발로 여길 수 있다. <math>A</math>는 그 위의 주접속으로 여길 수 있다. 4차원 유클리드 공간 <math>\mathbb R^4</math>의 무한대는 <math>\mathbb S^3</math>이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속 함수
:<math>\mathbb S^3 \to G</math>
를 나타낸다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 같은 <math>\mathbb S^4</math> 위의 서로 동형인 주다발에 정의될 수 있다. 따라서, 주다발들은 <math>\mathbb S^3 \to G</math> [[호모토피류]], 즉 <math>G</math>의 3차 [[호모토피 군]]에 의하여 분류된다. 그런데 <math>G</math>가 콤팩트 [[단순 리 군]]이라면 이는 <math>\mathbb Z</math>이며, 이는 순간자수에 해당한다.
</div></div>

=== (반) 자기 쌍대 주접속 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 4차원 [[유향 다양체|유향]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] <math>(M,g,\omega)</math>
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]] <math>G</math>
* <math>\mathfrak{lie}(G)</math> 위의 [[양의 정부호]] 2차 [[불변 다항식]] <math>K(-,-)</math>
* <math>G</math>-[[매끄러운 주다발]] <math>P\twoheadrightarrow M</math>
그렇다면, <math>P</math>의 [[주접속]]들을 생각하자. [[연관 벡터 다발]]
:<math>\operatorname{ad}(P) = P \times_G \operatorname{ad}(G)</math>
을 정의하면, 주접속 [[모듈라이 공간]]은
:<math>\Omega^1(M;\operatorname{ad}(P))</math>
에 대한 [[아핀 공간]]이다. (<math>\operatorname{ad}(G)</math>는 <math>G</math>의 [[딸림표현]]이다.) [[주접속]] <math>A</math>로부터, 주곡률 <math>F \in \Omega^2(M;\operatorname{ad}(G))</math>을 정의할 수 있다. <math>K(-,-)</math>가 [[양의 정부호]] 2차 [[불변 다항식]]이므로, 이는 <math>\operatorname{ad}(G)</math> 위의 [[양의 정부호]] 내적을 정의한다. 따라서 주곡률의 [[호지 쌍대]]를 정의할 수 있다.

[[주접속]] 가운데, 그 주곡률이 반 자기 쌍대인 것을 '''반 자기 쌍대 주접속'''({{llang|en|anti-self-dual connection}}) 또는 '''양-밀스 순간자'''({{llang|en|Yang–Mills instanton}})라고 한다.

이 경우, [[게이지 변환]]에 대하여 서로 동치인 주접속은 같은 순간자로 간주한다. 이 경우 [[게이지 변환군]]은
:<math>\mathcal G = \mathcal C^\infty(M,G)</math>
이다. 이 대신, <math>M</math>에 임의의 밑점을 골라 [[점을 가진 공간]] <math>(M,\bullet)</math>을 만들어, 밑점에서 자명한 게이지 변환들의 부분군
:<math>\mathcal G_0 = \mathcal C_\bullet^\infty((M,\bullet),(G,1_G))</math>
을 생각할 수 있다. 이는 [[짧은 완전열]]
:<math>1 \to \mathcal G_0 \to \mathcal G \to G \to 1</math>
을 이룬다. <math>\mathcal G_0</math>에 대한 반 자기 쌍대 주접속의 [[동치류]]를 '''틀 갖춘 순간자'''({{llang|en|framed instanton}})이라고 한다. 순간자의 모듈라이 공간을 <math>\mathcal M</math>, 틀 갖춘 순간자의 [[모듈라이 공간]]을 <math>\tilde{\mathcal M}</math>이라고 하면, 이는 <math>G</math>-[[주다발]]
:<math>G \hookrightarrow \tilde{\mathcal M} \twoheadrightarrow\mathcal M</math>
을 이룬다.

== 성질 ==
=== 순간자 모듈라이 공간의 국소 모형 ===
반 자기 쌍대 주접속의 [[모듈라이 공간]] <math>\mathcal M_{\text{ASD}}(M,G)</math>의 [[접공간]]은 다음과 같이 묘사할 수 있다. 우선, 반 자기 쌍대 주접속 <Math>[A]\in\mathcal M_{\text{ASD}}(M,G)</math>이 주어졌을 때, 다음과 같은 [[짧은 완전열]]을 정의할 수 있으며, 이를 '''순간자 변형 복합체'''(瞬間子變形複合體, {{llang|en|instanton deformation complex}})라고 한다.
:<math>0 \to \Omega^0(M;\operatorname{ad}(P)) \,\xrightarrow{\nabla_A}\, \Omega^1(M;\operatorname{ad}(P)) \,\xrightarrow{\operatorname{proj}^+\nabla_A}\,\Omega^{2,+}(M;\operatorname{ad}(P)) \to 0</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''완전열 조건의 증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 <math>\phi\in\Omega^0(M;\operatorname{ad}(P))</math>가 주어졌을 때,
:<math>\nabla_A\nabla_A\phi = [F,\phi]</math>
이다. 여기서 <math>F\in\Omega^2(M;\operatorname{ad}(P))</math>는 <Math>A</math>의 주곡률이다. <math>F</math>가 반 자기 쌍대 [[2차 미분 형식]]이라고 가정하였으므로,
:<math>\operatorname{proj}^+(\nabla_A\nabla_A\phi) = [\operatorname{proj}^+(F),\phi] = 0</math>
이다.
</div></div>
여기서
* <math>\Omega^{2,+}(M;\operatorname{ad}(P))</math>는 자기 쌍대 미분 형식으로 구성된, <Math>\Omega^2(M;\operatorname{ad}(P))</math>의 부분 [[실수 벡터 공간]]이다.
* <math>\operatorname{proj}^+ \colon \Omega^2(\operatorname{ad}(P)) \to \Omega^{2,+}(\operatorname{ad}(P))</math>는 자기 쌍대 [[2차 미분 형식]]에 대한 사영이다.
* <math>\nabla_A \colon\Omega^\bullet(M;\operatorname{ad}(P)) \to \Omega^{\bullet+1}(M;\operatorname{ad}(P))</math>는 <math>A</math>에 대한 공변 미분이다.
순간자 변형 복합체의 (가운데) 코호몰로지 군
:<math>\operatorname H^1 = \frac{\ker (\operatorname{proj}^+ \circ \nabla_A)}{\operatorname{im}\nabla_A}</math>
은 <math>\mathcal M_{\text{ASD}}(M,G)</math>의, <math>A \in\mathcal M_{\text{ASD}}(M,G)</math>에서의 [[접공간]]과 표준적으로 동형이다. 그 해석은 다음과 같다. 임의의 <math>X \in \Omega^1(M;\operatorname{ad}(P))</math>에 대하여,
* <math>\operatorname{proj}^+ (\nabla_A X) = 0</math> 조건은 반 자기 쌍대 조건이 성립해야 함을 뜻한다.
* <math>\nexists\phi\in\Omega^0(M;\operatorname{ad}(P))\colon \nabla_A\phi = X</math> 조건은 [[게이지 변환군]]의 작용에 대한 몫을 취한 것이다.

순간자 변형 복합체의 [[오일러 지표]]
:<math>\operatorname{ind} = -\dim \operatorname H^0 + \dim \operatorname H^1 - \dim \operatorname H^2</math>
를 모듈라이 공간의 '''가상 차원'''(假想次元, {{llang|en|virtual dimension}})이라고 한다. 이는 [[아티야-싱어 지표 정리]]를 통해 계산될 수 있으며, 모듈라이 공간의 실제 차원의 [[하계 (수학)|하계]]를 이룬다. 많은 주접속의 경우, 이는 실제 차원과 일치한다.

주다발 <math>P</math>에 대하여, 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ind} = 4h^\vee(G)|k| \le \dim\tilde{\mathcal M}</math>
여기서 <math>k</math>는 순간자수이며, <math>h^\vee(G)</math>는 <math>G</math>의 [[이중 콕서터 수]]이다. 즉, 이는 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 하계이다. 틀이 없는 순간자 모듈라이 공간의 차원은 물론 이보다 <math>|G|</math>만큼 작다.
:<math>4h^\vee(G)|k| - \dim G \le \dim\mathcal M</math>

=== 순간자 모듈라이 공간 ===
양-밀스 순간자의 [[모듈라이 공간]] <math>\mathcal M_{\text{ASD}}(P)</math>를 생각하자. 그 위에는 <math>M</math>의 리만 계량 및 <math>\mathfrak{lie}(G)</math> 위의 2차 [[불변 다항식]]으로 유도되는 [[리만 계량]]이 존재한다.

만약 <math>M</math>이 4차원 [[유클리드 공간]]의 콤팩트화라면, 이에 따라 틀 달린 순간자 모듈라이 공간 <math>\mathcal M_{\text{ADS}}(P)</math>는 (특이점을 제외하면 국소적으로) [[초켈러 다양체]]를 이룬다. 특히, 그 가상 차원은 항상 4의 배수이다.

4차원 유클리드 공간(의 콤팩트화) 위에서, 게이지 군이 <math>G</math>일 경우, 1차 및 2차 [[베티 수]]가 0이므로, 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 일치하며, 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|bibcode=1977PhRvD..16.2967B|doi=10.1103/PhysRevD.16.2967|제목=Pseudoparticle parameters for arbitrary gauge groups|성=Bernard|이름=Claude W.|이름2=Norman H.|성2=Christ|저자링크3=앨런 구스|이름3=Alan H.|성3=Guth|이름4=Erick J.|성4=Weinberg|저널=Physical Review D|권=16|호=10|날짜=1977-11-15|쪽=2967–2977|issn=1550-7998|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=The Hilbert series of the one instanton moduli space|이름=Sergio|성=Benvenuti|공저자=Amihay Hanany, Noppadol Mekareeya|arxiv=1005.3026|doi=10.1007/JHEP06(2010)100|bibcode=2010JHEP...06..100B|저널=Journal of High Energy Physics|권=2010|호=6|날짜=2010-06|쪽=100|issn=1029-8479|언어=en}}</ref>{{rp|§2}}
:<math>\dim\tilde{\mathcal M}(k,G)=4|k|h^\vee(G)</math>
:<math>\dim\mathcal M(k,G)=4|k|h^\vee(G)-\dim G</math>
모든 순간자들을 평행 이동시킬 수 있고, 이 방향으로는 모듈라이 공간이 평탄하다. 즉, 모듈라이 공간 <math>\tilde M</math>은 <math>\mathbb R^4</math> 등거리 대칭을 갖는다. 이에 대한 몫을 취하면, <math>4|k|h^\vee(G)-4</math> 차원의 [[초켈러 다양체]]를 얻는다.

=== ADHM 작도 ===
{{본문|ADHM 작도}}
4차원 유클리드 공간의 콤팩트화 (즉, 4차원 [[초구]]) <math>\mathbb S^4</math> 위의 양-밀스 순간자 모듈라이 공간은 <math>\mathcal N=2</math> 게이지 이론의 힉스 가지({{llang|en|Higgs branch}})로 나타낼 수 있다. 이를 통해 순간자를 힉스 가지의 모듈라이로 작도할 수 있다. 이를 '''[[ADHM 작도]]'''라고 한다.<ref name="Tong">{{저널 인용|arxiv=hep-th/0509216|제목=TASI lectures on solitons|url=https://archive.org/details/arxiv-hep-th0509216|이름=David|성=Tong|bibcode=2005hep.th....9216T|날짜=2005|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|doi=10.1016/S0370-1573(02)00301-0|arxiv=hep-th/0206063|bibcode=2002PhR...371..231D|제목=The calculus of many instantons|성=Dorey|이름=Nick|공저자=Timothy J. Hollowood, Valentin V. Khoze, Michael P. Mattis|저널=Physics Reports|권=371|호=4-5|쪽=231-459|날짜=2002-12|언어=en}}</ref> [[마이클 아티야]], [[블라디미르 드린펠트]], [[나이절 히친]], [[유리 마닌]]이 1978년에 3쪽밖에 되지 않는 유명한 논문에 발표하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Atiyah | first=Michael Francis | authorlink=마이클 아티야|공저자=[[블라디미르 드린펠트|Vladimir Drinfeld]], [[나이절 히친|Nigel Hitchin]], [[유리 마닌|Yuri Manin]] | title=Construction of instantons | doi=10.1016/0375-9601(78)90141-X | mr=598562 | zbl = 0424.14004 | 날짜=1978-03-06 | journal=Physics Letters A | issn=0375-9601 | volume=65 | issue=3 | pages=185–187|bibcode = 1978PhLA...65..185A|언어=en}}</ref>

=== 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식 ===
(반) 자기 쌍대 주접속은 '''보고몰니-프라사드-소머필드 부등식'''({{llang|en|Bogomol’nyi–Prasad–Sommerfield bound}}, BPS 부등식)을 충족시킨다.<ref>{{저널 인용|성= Богомольный|이름=Евгений Борисович|날짜=1976|저널=Ядерная физика|권=24|쪽=861–872|issn=0044-0027|제목=Устойчивость классических решений|언어=ru}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Prasad|이름=M. K.|공저자=Charles H. Sommerfield|날짜=1975-09-22|저널=Physical Review Letters|권=35|호=12|쪽=760–762|제목=Exact classical solution for the ’t Hooft monopole and the Julia–Zee dyon|언어=en|doi=10.1103/PhysRevLett.35.760|issn=0031-9007}}</ref>

<math>M</math> 위의 부피 형식 <math>\omega</math>가 [[리만 계량]]에 의하여 주어지며, 또한 <math>\mathfrak{lie}(G)</math> 위에 [[양의 정부호]] [[쌍선형 형식]]을 이루는 2차 [[불변 다항식]] <math>K(-,-)</math>이 주어졌다고 하자. ([[반단순 리 대수]]의 경우, 이는 [[킬링 형식]]에 비례한다.) 이 경우, <math>\Omega^2(M;\operatorname{ad}(P))</math> 위에 자연스러운 [[양의 정부호]] 내적
:<math>\langle B,C\rangle = \int_M K(B\wedge*C)</math>
이 주어진다. 이 내적 아래, 자기 쌍대 [[2차 미분 형식]]의 공간과 반 자기 쌍대 [[2차 미분 형식]]의 공간은 서로 수직이다.

이에 대한 주곡률의 노름 <math>\langle F,F\rangle</math>을 주접속의 '''양-밀스 작용'''({{llang|en|Yang–Mills action}})이라고 하며, 이는 [[양-밀스 이론]]의 [[작용 (물리학)|작용]]이다. 임의의 주곡률
:<math>F \in \Omega^2(M;\operatorname{ad}(P))</math>
의 (반) 자기 쌍대 성분을 <math>F^\pm</math>이라고 하자 (<math>F = F^+ + F^-</math>, <math>*F = F^+ - F^-</math>). 그렇다면
:<math>\langle F,F\rangle
=\langle F_+,F_+\rangle+\langle F_-,F_-\rangle
\ge
|\langle F_+,F_+\rangle-\langle F_-,F_-\rangle|
= \langle F,*F\rangle
= \left|\int_M K(F\wedge F)\right|</math>
이다. 우변은 <math>F</math>의 (어떤 충실한 [[군의 표현|표현]]에 대한 [[연관 벡터 다발]]의) 2차 [[천 특성류]](의 [[절댓값]])에 비례한다. 즉, 양-밀스 작용은 [[천 특성류]]의 [[절댓값]]에 의하여 [[하계 (수학)|하계]]를 갖는다. 이를 [[주접속]]의 '''보고몰니-프라사드-소머필드 부등식'''이라고 한다.

(반) 자기 쌍대 접속의 경우, <math>F^+</math> 또는 <math>F^-</math>가 0이므로, 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식 부등식이 포화된다. 즉, (반) 자기 쌍대 접속은 양-밀스 작용을 (국소적으로) 최소화시킨다.

== 예 ==
=== 유클리드 공간 ===
4차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^4</math> 위의, 게이지 군 <math>G</math>의 양-밀스 순간자를 생각하자. <math>\mathbb R^4</math>의 콤팩트화 <math>\mathbb S^4</math>는 자명한 위상을 가지므로, 그 위의 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 같다.
:<math>\dim\mathcal M(G,k) = 4h^\vee(G)|k|</math>

예를 들어, <math>G=\operatorname{SU}(N)</math>인 경우 [[이중 콕서터 수]]는 <math>h^\vee=N</math>이며, 틀 달린 순간자 모듈라이 공간의 차원은 <math>4N|k|</math>이다.<ref name="Tong"/>{{rp|9–12}} 하나의 순간자(<math>k=1</math>)인 경우, 이는 다음과 같다.
* 4차원 공간 속의 점입자이므로, 4개의 평행 이동({{llang|en|translation}}) [[자유도]]가 있다.
* 4차원 순수 [[양-밀스 이론]](또는 [[𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론]])은 [[등각 장론]]이므로, 순간자의 크기를 마음대로 놓을 수 있다. 이에 따라 1개의 확대 변환({{llang|en|dilatation}}) 자유도가 있다.
* <math>\operatorname{SU}(2)\cong S^3</math>이므로, 원점에서 무한히 떨어진 <math>S^3</math>에서 순간자의 게이지 퍼텐셜은 이 [[SU(2)]]를 따라 감기게 된다. SU(2)는 3차원이므로, 무한대에서 상수 게이지 변환 3개가 있다.
* <math>\operatorname{SU}(N)</math>에서 [[SU(2)]] 부분군을 골라야 하는데, 이 모듈라이 공간은 [[잉여류]] 공간
::<math>\frac{\operatorname{SU}(N)}{(\operatorname U(2)\times\operatorname U(N-2))/\operatorname U(1)}=\frac{\operatorname U(N)}{\operatorname U(2)\times\operatorname U(N-2)}</math>
:이고, 그 차원은
::<math>N^2-4-(N-2)^2=4N-8</math>
:이다.
따라서, 순간자수 1의 모듈라이 공간의 가상 차원은
:<math>4+1+3+4N-8=4N</math>
이다. 만약 순간자수가 <math>k</math>라면, 순간자들이 멀리 떨어져 있을 경우 차원이 <math>4kN</math>이 되며, 모듈라이 공간의 가상 차원은 일정하므로 이는 순간자들이 서로 가까이 있을 때에도 성립한다.

하나의 순간자의 모듈라이 공간은
:<math>\mathbb R^4 \times \mathbb R^4 / \operatorname{Cyc}(2)</math>
이다.<ref name="Tong"/>{{rp|1.25}} 이 경우, [[오비폴드]]의 특이점은 작은 순간자 극한에 해당한다.

=== 칼로론 ===
{{본문|칼로론}}
<math>\mathbb R^3 \times \mathbb S^1</math> 위의 양-밀스 순간자는 '''[[칼로론]]'''이라고 하며, 잘 알려져 있다.

=== 초켈러 다양체 ===
[[점근 국소 유클리드 공간]]<ref>{{저널 인용|이름=Peter B.|성=Kronheimer|이름2=Hiraku|성2=Nakajima|제목=Yang–Mills instantons on ALE gravitational instantons|doi=10.1007/BF01444534|저널=Mathematische Annalen|issn=0025-5831|날짜=1990|권=288|호=1|쪽=263–307|언어=en}}</ref>과 [[토브-너트 공간]]<ref name="Cherkis1">{{저널 인용|이름=Sergey A.|성=Cherkis|제목=Moduli spaces of instantons on the Taub–NUT space|총서=Communications in Mathematical Physics|권=290|쪽=719–736|날짜=2009|arxiv=0805.1245|doi=10.1007/s00220-009-0863-8|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Sergey A.|성=Cherkis|제목=Instantons on gravitons|저널=Communications in Mathematical Physics|권=306|쪽=449–483|날짜=2011|arxiv=1007.0044|doi=10.1007/s00220-011-1293-y|언어=en}}</ref>의 경우에도 양-밀스 순간자가 알려져 있다.

[[파일:Taub–NUT instanton bow diagram.svg|thumb|right|[[토브-너트 공간]] 위의 [[SU(2)]] 순간자 [[모듈라이 공간]]을 나타내는 활 도형]]
[[토브-너트 공간]] 위의 (무한대에서 주어진 모노드로미 행렬 <math>\operatorname{diag}(\exp(2\pi\lambda/l),\exp(-2\pi\lambda/l))</math>을 갖는) <math>k</math>개의 [[SU(2)]] 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간은 초켈러 축소
:<math>\frac{\mathrm{TGL}(k;\mathbb C) \times \mathbb H^k \times \operatorname{TGL}(k;\mathbb C) \times \mathbb H^k \times \operatorname{TGL}(k;\mathbb C) \times \mathbb H^{k^2}}{\operatorname U(k)\times\operatorname U(k)\times\operatorname U(k)\times\operatorname U(k)}</math>
로 주어진다.<ref name="Cherkis1"/>{{rp|(11), §4}} 이는 [[활 도형]]({{llang|en|bow diagram}})으로 유도할 수 있다. 따라서, 모듈라이 공간의 실수 차원은
:<math>\dim\mathcal M_{l,\lambda,k} = 4\left(k^2 + k + k^2 + k + k^2 + k^2 - k^2 - k^2 - k^2-k^2\right) = 8k</math>
이다.

== 역사 ==
양-밀스 순간자의 수학적 중요성은 [[사이먼 도널드슨]]이 1983년에 지적하였다.<ref>{{인용|last=Donaldson |first=Simon |저자링크=사이먼 도널드슨|title=An application of gauge theory to four dimensional Topology |journal=Journal of Differential Geometry |volume=18 |issue=2 |year=1983 |pages=279–315|doi=10.4310/jdg/1214437665|zbl=0507.57010 |mr=710056|언어=en }}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://www.physics.rutgers.edu/~gmoore/SCGP-FourManifoldsNotes-2017.pdf | 제목=Lectures On The Physical Approach To Donaldson And Seiberg-Witten Invariants Of Four-Manifolds | 이름= Gregory | 성=Moore | 저자링크= 그레고리 윈스럽 무어 | 날짜=2017| 언어=en}}
* {{eom|title=Yang-Mills functional, geometry of the}}
* {{nlab|id=Yang-Mills instanton}}
* {{nlab|id=self-dual Yang-Mills theory|title=Self-dual Yang-Mills theory}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:게이지 이론]]