양자 조화 진동자 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|조화 진동자|양자역학|고전역학}}
'''양자 조화 진동자'''(量子調和振動子, {{llang|en|quantum harmonic oscillator}})는 [[양자역학|양자]] 물리계의 하나로, 고전적 [[조화 진동자]]를 [[양자화 (물리학)|양자화]]하여 얻는다. 양자역학에서 해석적으로 풀 수 있는 몇 안되는 계 가운데 하나다.

== 1차원 양자 조화 진동자 ==
=== [[퍼텐셜]] ===
1차원 양자 조화 진동자의 퍼텐셜은 다음과 같다.
:<math>V(x) = \frac12kx^2 = \frac12m\omega^2 x^2</math>.
여기서 <math>k</math>는 [[용수철 상수]]이고, <math>\omega</math>는 퍼텐셜에 갇힌 입자의 운동의 [[각진동수]]이다. <math>m</math>은 입자의 질량이다.

== 에너지 고유 상태 ==
[[파일:HarmOsziFunktionen.png|오른쪽|섬네일|300px|양자 조화 진동자의 n=0~7인 경우에 대한 파동함수. (표준화되어 있지 않다.)]]
시간에 무관한 [[슈뢰딩거 방정식]] (시간독립 [[슈뢰딩거 방정식]], Time-Independent Schrödinger Equation)을 풀면 다음과 같은 에너지 고유 상태 <math>|n\rangle</math>와 [[에너지 준위]] <math>E_n</math>을 얻는다.

:<math>\langle x|n\rangle=\psi_n(x) = N_n \cdot H_n\left(\sqrt{\alpha} x \right) \cdot e^{
- \frac{\alpha x^2}{2 }}=  \frac{1}{(2^n\,n!)^{1/2}}  \left(\frac{\alpha}{\pi }\right)^{1/4} \cdot H_n\left(\sqrt{\alpha} x \right) \cdot e^{- \frac{\alpha x^2}{2 }}</math>
:<math>E_n = \hbar \omega \left(n + {1 \over 2} \right)</math>.

여기서,
:<math>H_n (x) \; </math> : [[에르미트 다항식]]
:<math>\alpha = \left( {mk \over \hbar^2} \right)^{1/2} = {m\omega \over \hbar} </math>
:<math>n=0,1,2,3,\ldots \;</math>
이다.

=== 해석적인 풀이 ===
1차원에서 시간에 무관한 [[슈뢰딩거 방정식]]은 다음과 같다.
:<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + {1 \over 2}m\omega^2x^2 \psi(x) = E \psi(x) </math>

:<math>\hbar</math>: [[디랙 상수]] <math>h/2\pi</math>
:<math>m</math>: 진동자의 질량
:<math>\psi(x)</math>: 진동자의 파동함수
:<math>E</math>: 진동자의 에너지

여기에 다음과 같은 변수 변환
:<math> \epsilon = {2E \over \hbar \omega}</math>
:<math> y = \sqrt{{m \omega \over \hbar}} x = \sqrt{\alpha} x</math>
를 취하면 다음의 방정식을 얻는다. (이는 방정식에 나타난 물리량을 단위가 없는 양으로 바꾸기 위함이다.)
:<math>\frac{d^2 \psi(y)}{dy^2} + (\epsilon - y^2) \psi(y) = 0</math>

지금 당장 이 형태는 풀기 어렵다. 따라서, [[평형점]](x=0)으로부터 한없이 멀리 떨어진 곳에서의 파동함수의 거동을 살펴보자. (이렇게 하면 해를 구하는 과정에서 x → ∞ 이면 파동함수의 함수값이 0 이 되어야 한다는 양자역학의 통계적 해석에 관한 기본 조건이 풀이에 자연스럽게 이용된다.) 이 경우, 상수인 ''ε''에 비해 ''y''는 매우 커지므로(x → ∞ 이면 y → ∞), 위 식의 두 번째 항에서 ''ε''항을 무시할 수 있다. 그러면,
:<math>\frac{d^2 \psi_0(y)}{dy^2} - y^2 \psi_0(y) = 0</math>

의 간단한 방정식을 얻는다. 이 방정식의 해는 실제 파동함수가 x → ∞ 일 때 원래의 해가 점근적으로 수렴해 가는 함수이다. 이 [[미분 방정식]]을 풀면
:<math>\psi_0(y) = e^{-{y^2 \over 2}}</math>

를 얻는다. 그런데 이는 x 가 한없이 큰 곳에서의 해이므로, 실제 [[슈뢰딩거 방정식]]의 해는 특정 함수가 곱해진 형태인 다음과 같은 형태의 함수일 것이라 생각해볼 수 있다.
:<math>\psi(y) = h(y) e^{-{y^2 \over 2}}</math>

따라서 이 함수를 [[시험해]]로 사용하여 [[슈뢰딩거 방정식]]에 대입하여 정리하면 다음과 같은 새로운 미분방정식을 얻는다.
:<math>\frac{d^2 h(y)}{dy^2} -2y \frac{d h(y)}{dy} + (\epsilon - 1 ) h(y) </math>

위 방정식을 [[급수해 풀이법]]으로 풀면, 그 해로 [[에르미트 다항식]] ''H(y)''를 얻는다.
:<math>h(y) = H(y) \;</math>

이를 표준화를 시키면 앞의 표준화 상수 N<sub>n</sub>를 구할 수 있고, 다시 ''y''와 ''ε''을 역변환하면 아래의 양자 조화 진동자 파동함수를 얻는다.
:<math>\psi_n = N_n \cdot H_n\left(\sqrt{\alpha} x \right) \cdot e^{
- \frac{\alpha x^2}{2 }}=  \frac{1}{(2^n\,n!)^{1/2}}  \left(\frac{\alpha}{\pi }\right)^{1/4} \cdot H_n\left(\sqrt{\alpha} x \right) \cdot e^{- \frac{\alpha x^2}{2 }} \,</math>

=== 대수적인 풀이 ===
양자 조화 진동자의 에너지 고유 상태와 에너지 준위의 주요한 성질은 미분 방정식을 직접 풀지 않아도 대수적인 방법으로 유추할 수 있다.

[[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]을 다음과 같이 인수분해하자.
:<math>H=\frac12m\omega^2x^2+\frac1{2m}p^2</math>
::<math>=\frac12\left((\omega\sqrt mx-ip/\sqrt m)(\omega\sqrt mx+ip/\sqrt m)+\hbar\omega\right)</math>
::<math>=(a^\dagger a+\frac12)\hbar\omega</math>.
여기서
:<math>a=\frac1{\sqrt2}\left(\omega\sqrt mx+ip/\sqrt m\right)</math>
:<math>a^\dagger=\frac1{\sqrt2}\left(\omega\sqrt mx-ip/\sqrt m\right)</math>
는 [[사다리 연산자]]이다. 이들은 에르미트 연산자가 아니므로, 관측 가능량이 아니다.

다음과 같이 '''입자수 연산자'''(粒子數演算子, {{lang|en|particle-number operator}}) <math>N</math>을 정의하자.
:<math>N=a^\dagger a</math>.
이는 에르미트 연산자이다. 따라서 그 고유 기저를 <math>|n\rangle</math>이라고 적자. 즉
:<math>N|n\rangle=n|n\rangle</math>
이다.
:<math>\langle\psi|N|\psi\rangle=(\langle\psi|a^\dagger)(a|\psi\rangle)=\left|a|\psi\rangle\right|^2</math>
이므로, <math>N</math>의 [[고윳값]]은 음이 아닌 실수다.

입자수 연산자와 사다리 연산자의 교환자는 다음과 같다.
:<math>[a,a^\dagger]=1</math>
:<math>[a,N]=a</math>
:<math>[a^\dagger,N]=-a^\dagger</math>.
따라서
:<math>Na|n\rangle=a(N-1)|n\rangle=(n-1)a|n\rangle</math>
이므로,
:<math>a|n\rangle\propto|n-1\rangle</math>
이다. 마찬가지로,
:<math>a^\dagger|n\rangle\propto|n+1\rangle</math>
임을 보일 수 있다. 즉, <math>a</math>는 <math>N</math>의 양자수를 1 감소시키고, <math>a^\dagger</math>는 <math>N</math>의 양자수를 1 증가시킨다. 이 때문에 <math>a^\dagger</math>를 '''생성 연산자'''(生成演算子, {{lang|en|creation operator}}), <math>a</math>를 '''소멸 연산자'''(消滅演算子,{{lang|en|annihilation operator}})라고 부른다.

그 [[비례]] 상수는 다음과 같이 계산할 수 있다.
:<math>n=\langle n|N|n\rangle=\left|a|n\rangle|\right|^2</math>.
따라서
:<math>a|n\rangle=\sqrt n|n-1\rangle</math>
이다. 마찬가지로,
:<math>n+1=\langle n|(N+1)|n\rangle=\left|a^\dagger|n\rangle\right|^2</math>
이므로,
:<math>a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle</math>
이다.

이에 따라,
:<math>a^k|n\rangle=\sqrt{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}|n-k\rangle</math>
이다. 만약 <math>n</math>이 정수가 아니라면, <math>k>n</math>일 때 음의 고윳값 <math>n-k</math>을 가진 고유벡터 <math>|n-k\rangle</math>가 존재하게 된다. 그러나 <math>N</math>의 고윳값은 항상 음이 아닌 실수이므로, <math>n</math>은 항상 정수이다. 즉, <math>N</math>의 고윳값은 항상 음이 아닌 정수이고, 바닥 상태 <math>|0\rangle</math>로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>|n\rangle=\frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle</math>.
입자수 <math>N</math>의 고윳값이 음이 아닌 정수이므로, 해밀토니언 <math>H=\hbar\omega(N+1/2)</math>의 고윳값([[에너지 준위]]) <math>E_n</math>은 다음과 같다.
:<math>E_n=\hbar\omega(n+1/2)</math>.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Sakurai|이름=Jun John|연도=1994|제목=Modern Quantum Mechanics|출판사=Addison-Wesley|ISBN=0-201-53929-2|언어=영어}}

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[상자 속 입자]]
* [[퍼텐셜 우물]]
* [[조화 진동자]]
* [[결맞는 상태]]
* [[글라우버-수다르샨 표현]]

{{전거 통제}}

[[분류:양자 모형]]
[[분류:양자역학]]