약콤팩트 기수 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서 '''약콤팩트 기수'''(弱compact基數, {{llang|en|weakly compact cardinal}})는 그 만큼 무한한 수의 항들의 [[논리합]] 및 제한 기호 <math>\forall</math>를 사용하는 [[무한 논리]]에서, 약한 형태의 [[콤팩트성 정리]]가 성립하는 [[기수 (수학)|기수]]이다. [[큰 기수]]의 하나이다.

==  정의 ==
비가산 기수에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 기수를 '''약콤팩트 기수'''라고 한다.
* <math>[\kappa]^2=\{S\subset\kappa\colon|S|=2\}</math>라고 하자. 그렇다면 임의의 함수 <math>f\colon[\kappa]^2\to\{0,1\}</math>에 대하여, <math>[S]^2\subset f^{-1}(0)</math> 또는 <math>[S]^2\subset f^{-1}(1)</math>인 <math>S\subset\kappa</math>가 존재한다.
* 크기가 <math>\kappa</math>인 임의의 [[전순서 집합]]은 [[순서형]]이 <math>\kappa</math>인 [[정렬 집합|정렬 부분 집합]]을 갖는다.
* (확장성 {{llang|en|extension property}}) 임의의 <math>U\subset V_\kappa</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[추이적 집합]] <math>X</math> 및 그 부분집합 <math>S\subset X</math>가 존재한다.
** <math>(V_\kappa,\in,U)</math>는 <math>(X,\in,S)</math>의 [[구조 (논리학)|기본적 부분 구조]]이다. 여기서 <math>U</math>와 <math>S</math>는 (같은) 1항 관계로 여긴다.
* [[무한 논리]] <math>L_{\kappa,\kappa}</math>는 약한 [[콤팩트성 정리]]를 만족시킨다. 즉, 다음이 성립한다. 임의의 이론 <math>\mathcal T\subset L_{\kappa,\kappa}</math>에 대하여, 만약 <math>|\mathcal T|\le\kappa</math>라면 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
** 만약 모든 <math>\mathcal S\subset\mathcal T</math>에 대하여, <math>|\mathcal S|<\kappa</math>라면 <math>\mathcal M_{\mathcal S}\models\mathcal S</math>인 [[구조 (논리학)|구조]] <math>\mathcal M_{\mathcal S}</math>가 존재한다.
** <math>\mathcal M\models\mathcal T</math>인 구조 <math>\mathcal T</math>가 존재한다.
* [[무한 논리]] <math>L_{\kappa,\omega}</math>는 약한 콤팩트성 정리를 만족시킨다.

== 성질 ==
모든 [[말로 기수]]({{llang|en|Mahlo cardinal}})는 약콤팩트 기수이다. (따라서 모든 [[도달 불가능한 기수]]는 약콤팩트 기수이다.) 모든 [[강콤팩트 기수]]는 약콤팩트 기수이다.

== 역사 ==
[[에르되시 팔]]과 [[알프레트 타르스키]]가 도입하였다.<ref>{{서적 인용|authorlink=에르되시 팔|last= Erdős|first= Paul|author2-first=Alfred|author2-last=Tarski|저자링크2=알프레트 타르스키|장=On some problems involving inaccessible cardinals|날짜=  1961 |title= Essays on the foundations of mathematics |쪽= 50–82 |출판사=Magnes Press|위치=[[예루살렘]]|mr=0167422|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Kanamori | first=Akihiro | 저자링크=가나모리 아키히로 | 날짜=2003 | 출판사=Springer | 제목=The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings | 판=2판 | isbn=978-3-540-88866-6 | zbl = 1022.03033 | 총서 = Springer Monographs in Mathematics | issn = 1439-7382 | doi = 10.1007/978-3-540-88867-3 | 언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Strong axioms of infinity and elementary embeddings|이름=Robert M.|성=Solovay|저자링크=로버트 솔로베이|이름2=William N.|성2=Reinhardt|이름3=Akihiro|성3=Kanamori|저자링크3=가나모리 아키히로|저널=Annals of Mathematical Logic|권=13|날짜=1978-02|쪽=73–116|url=http://math.bu.edu/people/aki/d.pdf|doi=10.1016/0003-4843(78)90031-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Weakly_compact|제목=Weakly compact cardinal|웹사이트=Cantor’s Attic|언어=en|확인날짜=2014-12-27|보존url=https://web.archive.org/web/20141225195658/http://cantorsattic.info/Weakly_compact|보존날짜=2014-12-25|url-status=dead}}

== 같이 보기 ==
* [[강콤팩트 기수]]
* [[무한 논리]]
* [[콤팩트성 정리]]

{{집합론}}

{{전거 통제}}

[[분류:큰 기수]]