약수 함수 문서 원본 보기

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[[정수론]]에서 '''약수 함수'''(約數函數, {{llang|en|divisor function}})는 주어진 수의 양의 [[약수]]들의 거듭제곱의 합으로 정의되는 [[수론적 함수]]다.

== 정의 ==
[[자연수]] <math>n</math>과 [[복소수]] <math>a</math>에 대하여, '''약수 함수''' <math>\sigma_a(n)</math>는 다음과 같다.
:<math>\sigma_a(n)=\sum_{d\mid n}d^a</math>
여기서 <math>\textstyle \displaystyle \sum_{d\mid n}</math>은 <math>n</math>의 양의 [[약수]]들에 대한 합이다. 이 경우 1과 <math>n</math> 자신을 포함시키지만, 양수가 아닌 약수는 포함시키지 않는다.

<math>\sigma_0(n)</math>은 <math>d(n)</math>로도 나타내며, <math>n</math>의 약수의 개수에 해당한다.
:<math>\sigma_0(n)=\#\{d\in\mathbb Z^+\colon d\mid m\}</math>

<math>\sigma_1(n)</math>은 '''시그마 함수''' <math>\sigma(n)</math>라고 하며 <math>n</math>의 모든 양의 약수의 합을 나타낸다.
:<math>\sigma(n)=\sigma_{1}(n)=\sum_{d\mid n}d</math>

<math>s(n)</math> = <math>\sigma(n)</math> - <math>n</math>으로 표시하며, 이 값은 <math>n</math>에서 자기 자신을 제외한 양의 약수의 합에 해당한다. <math>s(n)</math> = <math>n</math>이 되는 수를 [[완전수]]라 한다.

== 성질 ==
''p''가 [[소수 (수론)|소수]]일 때에만
:<math>\sigma_1(p)=p+1</math>
이 성립한다. 정의에 의해 소수의 양의 약수는 1과 소수 자신 뿐이기 때문이다.

약수 함수는 [[곱셈적 함수|곱셈적]]이다. 그러나 완전 곱셈적은 아니다.

만약 <math>n = \prod_{i=1}^{r}p_{i}^{\alpha_{i}}</math>
로 [[소인수 분해]]된다면,
:<math>d(n) = \prod_{i=1}^{r} (\alpha_{i}+1)</math>,
:<math>\sigma(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{\alpha_{i}+1}-1}{p_{i}-1}</math>
이 된다. 일반적으로 ''a>0''인 경우,
:<math>\sigma_{a}(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(\alpha_{i}+1)a}-1}{p_{i}^a-1}</math>
이 성립한다.

그리고 [[오일러-마스케로니 상수]] 값을 γ로 적을 때,
:<math>\limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{\sigma(n)}{n \ln \ln n} = e^\gamma</math>
가 된다.

== 약수 함수열 ==
{| class=wikitable
! 함수 !! [[온라인 정수열 사전|OEIS]] 번호 !! σ<sub>''k''</sub>(''n'') (''n''=1, 2, 3, …)
|-
| σ<sub>0</sub> || {{OEISSEQ|id=A000005}} || 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, …
|-
| σ<sub>1</sub> || {{OEISSEQ|id=A000203}} || 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, …
|-
| σ<sub>2</sub> || {{OEISSEQ|id=A001157}} || 1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, …
|-
| σ<sub>3</sub> || {{OEISSEQ|id=A001158}} || 1, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, …
|-
| σ<sub>4</sub> || {{OEISSEQ|id=A001159}} || 1, 17, 82, 273, 626, 1394, 2402, 4369, 6643, 10642, …
|-
| σ<sub>5</sub> || {{OEISSEQ|id=A001160}} || 1, 33, 244, 1057, 3126, 8052, 16808, 33825, 59293, …
|-
| σ<sub>6</sub> || {{OEISSEQ|id=A013954}} || 1, 65, 730, 4161, 15626, 47450, 117650, 266305, …
|-
| σ<sub>7</sub> || {{OEISSEQ|id=A013955}} || 1, 129, 2188, 16513, 78126, 282252, 823544, 2113665, …
|-
| ⋮|| 	⋮ ||
|-
| σ<sub>24</sub> || {{OEISSEQ|id=A013972}} || 1, 16777217, 282429536482, 281474993487873, …
|}

== 같이 보기 ==
* [[수론적 함수]]
* [[오일러 피 함수]]
* [[유니타리 약수]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=DivisorFunction|title=Divisor function}}

[[분류:수론]]
[[분류:해석적 수론]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]