야코비 행렬 문서 원본 보기

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{{미적분학}}
[[벡터 미적분학]]에서 '''야코비 행렬'''({{llang|en|Jacobian matrix}})은 [[다변수 함수|다변수]] [[벡터 함수]]의 [[도함수]] [[행렬]]이다. '''야코비 행렬식'''({{llang|en|Jacobian determinant}})은 야코비 행렬의 [[행렬식]]을 뜻한다.

== 정의 ==
[[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math>에 정의된 함수 <math>\mathbf f\colon U\to\mathbb R^m</math>가 점 <math>\mathbf a\in U</math>에서 미분 가능하다고 하자. 이 경우 <math>\mathbf f</math>의 <math>\mathbf a</math>에서의 '''야코비 행렬''' <math>J(\mathbf f)(\mathbf a)</math>은 다음과 같다.
:<math>J(\mathbf f)(\mathbf a)=
\begin{pmatrix}
(\partial f_1/\partial x_1)(\mathbf a) & (\partial f_1/\partial x_2)(\mathbf a) & \cdots & (\partial f_1/\partial x_n)(\mathbf a) \\
(\partial f_2/\partial x_1)(\mathbf a) & (\partial f_2/\partial x_2)(\mathbf a) & \cdots & (\partial f_2/\partial x_n)(\mathbf a) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
(\partial f_m/\partial x_1)(\mathbf a) & (\partial f_m/\partial x_2)(\mathbf a) & \cdots & (\partial f_m/\partial x_n)(\mathbf a)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\nabla f_1(\mathbf a) \\
\nabla f_2(\mathbf a) \\
\vdots \\
\nabla f_m(\mathbf a)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
(\partial\mathbf f/\partial x_1)(\mathbf a) & (\partial\mathbf f/\partial x_2)(\mathbf a) & \cdots & (\partial\mathbf f/\partial x_n)(\mathbf a)
\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(m,n;\mathbb R)
</math>
즉, 각 <math>J(\mathbf f)(\mathbf a)_{ij}=(\partial f_i/\partial x_j)(\mathbf a)</math>는 <math>\mathbf f</math>의 <math>i</math>번째 성분의 <math>j</math>번째 변수에 대한 [[편도함수]]이다.

만약 <math>n=m</math>일 경우, 야코비 행렬은 정사각행렬이므로, 그 [[행렬식]] <math>\det J(\mathbf f)(\mathbf a)</math>을 취할 수 있다. 이를 <math>\mathbf f</math>의 <math>\mathbf a</math>에서의 '''야코비 행렬식'''이라고 한다.

특히, 열린집합 <math>U\subseteq\mathbb R^n</math>에 정의된 [[미분 가능 함수]] <math>\mathbf f\colon U\to\mathbb R^m</math>의 야코비 행렬 <math>J(\mathbf f)</math>은 다음과 같다.
:<math>J(\mathbf f)\colon U\to\operatorname{Mat}(m,n;\mathbb R)</math>
:<math>J(\mathbf f)\colon\mathbf x\mapsto J(\mathbf f)(\mathbf x)\qquad\forall\mathbf x\in U</math>

야코비 행렬의 표기에는 다음과 같은 표기들이 쓰인다.
* <math>J(\mathbf f)</math>
* <math>\mathbf f'</math>
* <math>\mathrm D\mathbf f</math>
* <math>\frac{\partial(f_1,\dotsc,f_m)}{\partial(x_1,\dotsc,x_n)}</math>
마지막 표기는 일부 문헌에서 야코비 행렬식을 나타내는 데 사용된다.

== 성질 ==
열린집합 <math>U\subseteq\mathbb R^n</math>에 정의된 함수 <math>\mathbf f\colon U\to\mathbb R^m</math>가 점 <math>\mathbf a\in U</math>에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\mathbf f(\mathbf a+\Delta x)-\mathbf f(\mathbf a)=J(\mathbf f)(\mathbf a)\Delta\mathbf x+\mathbf o(\Vert\Delta\mathbf x\Vert)
\qquad(\Delta\mathbf x\to\mathbf 0)</math>
즉, <math>J(\mathbf f)(\mathbf a)</math>는 <math>\mathbf f</math>의 <math>\mathbf a</math>에서의 [[프레셰 도함수]]이다.

== 예 ==
다음과 같은 함수 <math>\mathbf f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2</math>를 생각하자.
:<math>\mathbf f(x,y)=(xy,\sin xy)\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>
모든 편도함수는 다음과 같다.
:<math>\frac{\partial f_1}{\partial x}=y,\;\frac{\partial f_1}{\partial y}=x,\;\frac{\partial f_2}{\partial x}=y\cos xy,\;\frac{\partial f_2}{\partial y}=x\cos xy\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>
따라서, <math>\mathbf f</math>의 야코비 행렬은 다음과 같다.
:<math>J(\mathbf f)(\mathbf x)=
\begin{pmatrix}
y & x \\
y\cos xy & x\cos xy
\end{pmatrix}\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>
또한, <math>\mathbf f</math>의 야코비 행렬식은 다음과 같다.
:<math>\det J(\mathbf f)(\mathbf x)=0\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>

== 같이 보기 ==
* [[헤세 행렬]]
* [[설계 행렬]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Jacobian|title=Jacobian}}

[[분류:다변수 미적분학]]
[[분류:미분학]]
[[분류:미분의 일반화]]
[[분류:행렬]]
[[분류:행렬식]]