야코비 타원함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:JacobiEllipticFunction SN.png|섬네일|right|305px|sn(''u'')의 그래프. 붉은 선은 <math>m=0.05^2</math>, 녹색 선은 <math>m=1.05^2</math>이다.]]
[[파일:JacobiEllipticFunction CN.png|섬네일|right|305px|cn(''u'')의 그래프. 붉은 선은 <math>m=0.05^2</math>, 녹색 선은 <math>m=1.05^2</math>이다.]]
[[파일:JacobiEllipticFunction DN.png|섬네일|right|305px|dn(''u'')의 그래프. 붉은 선은 <math>m=0.25^2</math>, 녹색 선은 <math>m=1.05^2</math>이다.]]
[[수학]]에서 '''야코비 타원함수'''(Jacobi楕圓函數, {{llang|en|Jacobi elliptic function}})는 세 개의 [[특수 함수]] sn, cn, dn이다. 이들은 [[삼각함수]]와 유사한 항등식들을 만족시킨다.

== 정의 ==
'''야코비 타원함수''' sn, cn, dn은 두 개의 변수 <math>(u,m)</math>에 대한 함수이다. 여기서 <math>0\le m\le 1</math>이다.

다음과 같은 [[타원 적분]]을 생각하자.
:<math>u=\int_0^\phi\frac{d\theta}{\sqrt{1-m\sin^2\theta}}</math>
그렇다면 sn, cn, dn은 다음과 같이 정의된다.
:<math>\operatorname{sn}(u;m)=\sin\phi</math>
:<math>\operatorname{cn}(u;m)=\cos\phi</math>
:<math>\operatorname{dn}(u;m)=\sqrt{1-m\sin^2\phi}</math>

저자에 따라, 간혹 매개변수 ''m'' 대신 <math>k=\sqrt m</math> 또는 <math>\alpha=\arcsin\sqrt m</math>을 사용하는 경우도 있다. 이 경우 <math>0\le k\le 1</math>, <math>0\le\alpha\le\pi/2</math>이다.

=== 타원과의 관계 ===
[[긴 반지름]]이 <math>a\ge1</math>이며 [[짧은 반지름]]이 1인 [[타원]]을 생각하자. 이 타원은 [[데카르트 좌표계]]에서 다음과 같은 방정식에 의하여 정의된다.
:<math>x^2/a^2+y^2=1</math>
이들을 [[극좌표계]] <math>(r,\theta)=(\sqrt{x^2+y^2},\arctan(x/y))</math>로 변환하면, 다음과 같은 함수들을 얻는다.
:<math>x=x(\theta)</math>
:<math>y=y(\theta)</math>
:<math>r=r(\theta)=\sqrt{x(\theta)^2+y(\theta)^2}</math>
또한, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.
:<math>u=\int_0^\theta\,r(\phi)\,d\phi</math>
그렇다면, <math>u</math>의 함수로서 <math>x</math>, <math>y</math>, <math>r</math>은 다음과 같이 야코비 타원함수로 주어진다.
:<math>\operatorname{cn}(u)=x(\theta)/a</math>
:<math>\operatorname{sn}(u)=y(\theta)</math>
:<math>\operatorname{dn}(u)=r(\theta)/a</math>
이 경우, <math>m</math>은 타원의 [[이심률]]의 제곱이다.
:<math>m=k^2=1-1/a^2</math>

=== 보조 야코비 타원함수 ===
간혹 기본 야코비 타원함수 sn, cn, dn들의 비를 다음과 같이 정의하기도 한다.
{| class=wikitable style="text-align:center"
! || sn(''u'') || cn(''u'') || dn(''u'')
|-
! 1
|| ns(''u'')=1/sn(''u'') || nc(''u'')=1/cn(''u'') || nd(''u'')=1/dn(''u'')
|-
! sn(''u'')
|| 1 || sc(''u'')=sn(''u'')/cn(''u'') || sd(''u'')=sn(''u'')/dn(''u'')
|-
! cn(''u'')
|| cs(''u'')=cn(''u'')/sn(''u'') || 1 || cd(''u'')=cn(''u'')/dn(''u'')
|-
! dn(''u'')
|| ds(''u'')=dn(''u'')/sn(''u'') || dc(''u'')=dn(''u'')/cn(''u'') || 1
|}

== 성질 ==
=== 주기성 ===
야코비 타원함수는 [[타원 함수]]이다. 즉, 이들은 다음과 같은 주기성을 가진다. <math>f</math>가 sn, cn, 또는 dn이라고 하면,
:<math>f(u;m)=f(u+4K(m);m)=f(u+4iK'(m);m)</math>
여기서 <math>K(m)</math>과 <math>K'(m)</math>은 각각 '''실사분주기'''({{llang|en|real quarter period}})와 '''허사분주기'''({{llang|en|imaginary quarter period}})라는 [[특수 함수]]이며, 다음과 같다.
:<math>K(m)=\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-m\sin^2\theta}}</math>
:<math>K'(m)=K(1-m)</math>
즉, 야코비 타원함수는 [[타원 곡선]] <math>\mathbb C/\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\{4K(m),4iK'(m)\}</math> 위에 정의된 [[유리형 함수]]이다.

=== 극점과 영점 ===
sn, cn, dn 모두
:<math>u=iK'(m)</math>
에서 [[단순극]]을 가지며, 그 [[유수 (복소해석학)|유수]]는 1이다.

sn, cn, dn은 [[타원곡선]] 위에서 각각 하나의 영점을 가지며, 영점에서의 도함수는 1이다. 영점의 위치는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{sn}(0;m)=0</math>
:<math>\operatorname{cn}(K(m);m)=0</math>
:<math>\operatorname{dn}(K(m)+iK'(m);m)=0</math>

=== 삼각함수·쌍곡함수와의 관계 ===
<math>m=0</math>일 때, 야코비 타원함수는 [[삼각함수]]가 된다.
:<math>\operatorname{sn}(u;0)=\sin u</math>
:<math>\operatorname{cn}(u;0)=\cos u</math>
:<math>\operatorname{dn}(u;0)=1</math>
반대로, <math>m=1</math>일 때, 야코비 타원함수는 [[쌍곡함수]]가 된다.
:<math>\operatorname{sn}(u;1)=\tanh u</math>
:<math>\operatorname{cn}(u;1)=\operatorname{dn}(u;1)=\frac1{\cosh u}</math>

=== 항등식 ===
야코비 타원함수들은 [[삼각함수]]와 유사한, 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.
:<math>\operatorname{sn}^2(u;m)+\operatorname{cn}^2(u;m)=1</math>
:<math>m\operatorname{sn}^2(u;m)+\operatorname{dn}^2(u;m)=1</math>

=== 합 공식 ===
다음과 같은 합 공식이 존재한다. 여기서 매개변수 ''m''은 생략한다.
:<math>
\begin{align}
\operatorname{cn}(x+y) & =
{\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y)
- \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y)
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x) \;\operatorname{sn}^2 (y)}}, \\[8pt]
\operatorname{sn}(x+y) & =
{\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{cn}(y)\;\operatorname{dn}(y) +
\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{dn}(x)
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}, \\[8pt]
\operatorname{dn}(x+y) & =
{\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y)
- k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y)
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}.
\end{align}
</math>

=== 미분 ===
야코비 타원함수의 미분은 다음과 같다. 여기서 매개변수 ''m''은 생략한다.
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \operatorname{sn} z = \operatorname{cn}z\operatorname{dn}z</math>
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \operatorname{cn}z = -\operatorname{sn}z \operatorname{dn}z</math>
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \operatorname{dn}z = - m\operatorname{sn}z \operatorname{cn}z</math>

== 역사 ==
[[카를 구스타프 야코프 야코비]]가 1829년 저서 《타원함수론의 새로운 기반》({{llang|la|Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum}})에서 도입하였다.<ref>{{서적 인용|성=Jacobi | 이름=C. G. J. | 제목=Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum | url=http://archive.org/details/fundamentanovat00jacogoog | 위치=Königsberg | 출판사 = Borntraeger | 언어=la | 날짜=1829}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[세타 함수]]
* [[바이어슈트라스 타원함수]]
* [[타원 적분]]
* [[타원곡선]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{springer|title=Jacobi elliptic functions}}
* {{매스월드|id=JacobiEllipticFunctions|title=Jacobi Elliptic Functions}}

[[분류:타원함수]]