야코비 삼중곱 문서 원본 보기

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'''야코비 삼중곱'''(Jacobi triple product)은 수학자 [[카를 구스타프 야코프 야코비|야코비]]가 발견한 수학 공식으로, 내용은 아래와 같다.

<math>\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-q^{2n}\right)\left(1+q^{2n-1}z\right)\left(1+q^{2n-1}z^{-1}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} q^{n^2}z^n</math>

<math>\text{※ }q,z\text{는 복소수 , }q<1,z\ne0</math>

== 성질 ==

== 증명 ==
'''1.''' 제시된 곱셈 <math>\prod_{n=1}^\infty (1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}z^{-1})</math>은 아래와 같이 무한급수로 바꿀 수 있다.

<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(q)z^n</math>

<math>=\prod_{n=1}^\infty (1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}z^{-1})</math>

<math>=\frac{1+qz}{1+q^{-1}z^{-1}}\prod_{n=1}^\infty (1+q^{2n+1}z)(1+q^{2n-3}z^{-1})</math>

<math>=\frac{qz(1+qz)}{qz+1}\prod_{n=1}^\infty (1+q^{2n-1}q^2z)(1+q^{2n-1}q^{-2}z^{-1})</math>

<math>=qz\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(q)(q^2z)^n</math>

<math>=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(q)q^{2n+1}z^{n+1}</math>

<math>=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n-1}(q)q^{2n-1}z^n</math>

양변 계수 비교:

<math>a_n(q)=a_{n-1}(q)q^{2n-1}\overset{\text{점화}}=a_0(q)q^{n^2}</math>

<math>\prod_{n=1}^\infty (1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}z^{-1})=a_0(q)\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}z^n</math>


'''2.''' 이번에는 주어진 곱셈을 직접 까보면 아래와 같이 풀리고

<math>\prod_{n=1}^\infty (1+q^{2n-1}z)</math>

<math>=1+z\sum_{n=1}^{\infty}q^{2n-1}+z^2\sum_{\begin{matrix}n_1=1\\n_2=n_1+1\end{matrix}}^{\infty}q^{2(n_1+n_2)-2}+z^3\sum_{\begin{matrix}n_1=1\\n_2=n_1+1\\n_3=n_2+1\end{matrix}}^{\infty}q^{2(n_1+n_2+n_3)-3}+...</math>

<math>=1+z\sum_{n=1}^{\infty}q^{2n-1}+z^2\sum_{\begin{matrix}n_1=1\\n_2'=1\end{matrix}}^{\infty}q^{2(2n_1+n_2')-2}+z^3\sum_{\begin{matrix}n_1=1\\n_2'=1\\n_3'=1\end{matrix}}^{\infty}q^{2(3n_1+2n_2'+n_3')-3}+...</math>

<math>=1+z\frac{q}{1-q^2}+z^2\frac{q^4}{(1-q^2)(1-q^4)}+z^3\frac{q^9}{(1-q^2)(1-q^4)(1-q^6)}+...</math>

<math>\prod_{n=1}^\infty (1+q^{2n-1}z)</math> 역시 위 과정에서 z만 1/z로 바꾸면 되며, 이 식들을 1번식에 대입한 뒤 z랑 1/z가 서로 상쇄되는 항을 추려 양변을 비교하면 아래와 같다.

<math>a_0(q)=1+\frac{q^2}{(1-q^2)^2}+\frac{q^8}{(1-q^2)^2(1-q^4)^2}+\frac{q^{18}}{(1-q^2)^2(1-q^4)^2(1-q^6)^2}+...</math>

'''3.''' 2번식 양변에 <math>(1-q^2)</math>를 곱하면

<math>a_0(q)(1-q^2)=1-q^2+\frac{q^2}{1-q^2}+\frac{q^8}{(1-q^2)(1-q^4)^2}+\frac{q^{18}}{(1-q^2)(1-q^4)^2(1-q^6)^2}+...</math>

<math>=1+\frac{q^4}{1-q^2}+\frac{q^8}{(1-q^2)(1-q^4)^2}+\frac{q^{18}}{(1-q^2)(1-q^4)^2(1-q^6)^2}+...</math>

이 되고, 여기에 <math>(1-q^4)</math>를 더 곱하면

<math>a_0(q)(1-q^2)(1-q^4)=1-q^4+\frac{q^4-q^8}{1-q^2}+\frac{q^8}{(1-q^2)(1-q^4)}+\frac{q^{18}}{(1-q^2)(1-q^4)(1-q^6)^2}+...</math>

<math>=1+\frac{q^6}{1-q^2}+\frac{q^{12}}{(1-q^2)(1-q^4)}+\frac{q^{18}}{(1-q^2)(1-q^4)(1-q^6)^2}+...</math>

, <math>(1-q^6)</math>를 더 곱하면

<math>a_0(q)(1-q^2)(1-q^4)(1-q^6)=1-q^6+\frac{q^6-q^{12}}{1-q^2}+\frac{q^{12}-q^{18}}{(1-q^2)(1-q^4)}+\frac{q^{18}}{(1-q^2)(1-q^4)(1-q^6)}+...</math>

<math>=1+\frac{q^8}{1-q^2}+\frac{q^{16}}{(1-q^2)(1-q^4)}+\frac{q^{24}}{(1-q^2)(1-q^4)(1-q^6)}+...</math>

으로 나타나는 것을 보아하니 다음 차례 계산에 대해서도 아래와 같이 예상할 수 있다.

<math>a_0(q)\prod_{n=1}^N(1-q^{2n})=\sum_{n=1}^{N-1}\frac{q^{2Nn}}{\prod_{k=1}^n(1-q^{2k})}+\sum_{n=N}^{\infty}\frac{q^{2n^2}}{\prod_{k=1}^{N-1}(1-q^{2k})\times\prod_{k=N}^{\infty}(1-q^{2k})^2}</math>

이 식 양변에 <math>(1-q^{2N})</math>을 곱하고 계산한 뒤 양변을 비교하면 수학적 귀납법에 따라 참임을 알 수 있으며, N을 무한으로 놓으면 q(<1)에 대한 항은 최소 2N차임에 따라 0이 되므로

<math>a_0(q)\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})=1</math>이 된다.

[[분류:타원함수]]
[[분류:항등식]]
[[분류:수론 정리]]