야코비 기호 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수론]]에서 '''야코비 기호'''(Jacobi symbol)는 [[르장드르 기호]]를 [[소수 (수론)|소수]]뿐만이 아니라 모든 양의 [[홀수]] 범위로 확장한 함수이다.

임의의 홀수 <math>n</math>이 <math>n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}</math>의 꼴로 [[소인수 분해]]될 때,
:<math>\Bigg(\frac{a}{n}\Bigg) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2} \cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}</math>
로 정의된다. 여기에서 <math>p</math>가 소수일 때의 <math>(\tfrac{a}{p})</math>는 [[르장드르 기호]]를 가리킨다.

[[크로네커 기호]]는 야코비 기호를 홀수 범위에서 모든 정수 범위로 확장한 기호이다.

== 성질 ==
아래의 네 성질은 르장드르 기호에서의 성질과 동일하다.
# <math>\left(\frac{ab}{n}\right) = \left(\frac{a}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right)</math>
# <math>a \equiv b \pmod{n}</math>이면 <math>\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{b}{n}\right)</math>
# <math>\left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{\frac{n-1}{2}}=\begin{cases}1\mbox{ if }n \equiv 1\pmod{4} \\-1\mbox{ if }n \equiv 3\pmod{4}  \end{cases}</math>
# m, n이 홀수일 때 <math>\left(\frac{m}{n}\right) = \left(\frac{n}{m}\right)(-1)^{\tfrac{m-1}{2}\tfrac{n-1}{2}}</math> ([[이차 상호 법칙]])

== 역사 ==
[[카를 구스타프 야코프 야코비]]가 1837년에 제시하였다.

== 값 표 ==
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== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
  | last1 = Cohen  | first1 = Henri
  | title = A Course in Computational Algebraic Number Theory
  | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
  | location = Berlin
  | date = 1993
  | isbn = 3-540-55640-0}}
* {{서적 인용
  | last1 = Ireland  | first1 = Kenneth
  | last2 = Rosen  | first2 = Michael
  | title = A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition)
  | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
  | location = New York
  | date = 1990
  | isbn = 0-387-97329-X}}
* {{서적 인용
  | last1 = Lemmermeyer  | first1 = Franz
  | title = Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein
  | url = https://archive.org/details/reciprocitylawsf0000lemm  | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
  | location = Berlin
  | date = 2000
  | isbn = 3-540-66957-4}}

== 외부 링크 ==
* [http://math.fau.edu/richman/jacobi.htm Calculate Jacobi symbol] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20161005150500/http://math.fau.edu/richman/jacobi.htm}} shows the steps of the calculation.

[[분류:수론]]
[[분류:모듈러 산술]]