야코비-앙거 전개 문서 원본 보기

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'''야코비-앙거 전개'''(Jacobi–Anger expansion) 또는 '''야코비-앙거 등식'''(Jacobi–Anger identity)은 [[삼각 함수]]의 지수 꼴을 [[조화 함수]]로 풀어 쓰는 것을 말한다. 물리에서 [[평면파]]와 [[원통형 파]] 사이의 전환 시에, 또는 [[신호 처리]]에서 [[주파수 변조]](FM) 신호를 서술할 때 쓰인다. 19세기의 수학자 [[카를 구스타프 야코프 야코비]]와 [[카를 테오도어 앙거]]의 이름을 딴 것이다.

가장 일반적인 꼴은<ref name=ColtonKress> David Colton, Rainer Kress, ''Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory'' (1998), page 32, Applied Mathematical Sciences (Book 93), 2nd. Ed. {{ISBN|978-3-540-62838-5}}</ref><ref name=Cuyt> A. Cuyt, V. Petersen, B. Verdonk, H. Waadeland, W. B. Jones, ''Handbook of continued fractions for special functions'', page 344, Springer (2008), {{ISBN|978-1-4020-6948-2}}</ref>

:<math>e^{i z \cos \theta}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} i^n\, J_n(z)\, e^{i n \theta}</math>

및

:<math>e^{iz \sin \theta} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z) e^{in\theta}</math>

이고, 여기서 <math>J_n(z)</math>는 ''n''차 [[베셀 함수]]이다. 정수 ''n''에 대해 <math>J_{-n}(z) = (-1)^n\, J_{n}(z)</math>인 관계를 쓰면 위의 식은<ref name=ColtonKress/><ref name=Cuyt/>

:<math>e^{i z \cos \theta}=J_0(z)\, +\, 2\, \sum_{n=1}^{\infty}\, i^n\, J_n(z)\, \cos\, (n \theta)</math>

로 다시 쓸 수 있다.

다음과 같은 [[실수 함수]] 꼴도 자주 쓰인다.<ref>Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Chapter 9, ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'', New York: Dover, {{ISBN|978-0486612720}}, MR 0167642 [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_361.htm p. 361, 9.1.42–45].</ref>

:<math>
\begin{align}
  \cos(z \cos \theta) &= J_0(z)+2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n J_{2n}(z) \cos(2n \theta),
  \\
  \sin(z \cos \theta) &= -2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n J_{2n-1}(z) \cos\left[\left(2n-1\right) \theta\right],
  \\
  \cos(z \sin \theta) &= J_0(z)+2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{2n}(z) \cos(2n \theta),
  \\
  \sin(z \sin \theta) &= 2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{2n-1}(z) \sin\left[\left(2n-1\right) \theta\right].
\end{align}
</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용| last=Weisstein | first=Eric W | title=Jacobi–Anger expansion | publisher= MathWorld — a Wolfram web resource | url=http://mathworld.wolfram.com/Jacobi-AngerExpansion.html | accessdate=2008-11-11 }}

{{전거 통제}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:항등식]]