알레프 수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서 '''알레프 수'''(ℵ數, {{llang|en|aleph number}})는 무한 [[기수 (수학)|기수]]를 나타내는 표기법이다. [[기수 (수학)|기수]]의 [[고유 모임]]은 [[정렬 순서]]를 가지므로, 이에 따라 무한 기수를 [[순서수]]와 [[일대일 대응]]시킨다.

== 정의 ==
편의상, [[체르멜로-프렝켈 집합론]] 및 [[선택 공리]]를 가정하고, [[존 폰 노이만]]의 순서수의 정의(순서수는 그보다 작은 모든 순서수의 집합)를 사용하자. 기수 <math>\kappa</math>의 '''바로 다음 기수'''({{llang|en|successor cardinal}})는 다음과 같다.
:<math>\kappa^+=\left|\inf\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\kappa<|\alpha|\}\right|</math>
[[하르톡스 수|하르톡스 정리]]에 따라 이 [[하한]]은 항상 존재한다. 여기서 부등식은 기수의 부등식이다.

[[순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여, '''알레프 수''' <math>\aleph_\alpha</math>는 다음과 같이 [[초한 귀납법]]으로 정의된다.
* <math>\aleph_0=|\mathbb N|</math> ([[자연수]]의 [[집합의 크기]])
* <math>\aleph_{\alpha+1}=\aleph_\alpha^+</math> (<math>\alpha+1</math>는 <math>\alpha</math>의 [[따름 순서수]])
* <math>\aleph_\lambda=\left|\inf\{\alpha\in\mathrm{Ord}\colon\forall\beta<\lambda\colon\aleph_\beta<|\alpha|\}\right|</math> (<math>\lambda</math>는 [[극한 순서수]])

== 성질 ==
알레프 수는 [[순서수]]의 [[고유 모임]] <math>\mathrm{Ord}</math>에서 [[기수 (수학)|기수]]의 [[고유모임]] <math>\mathrm{Card}</math>으로 가는 "함수"이다. (물론, [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 [[정의역]]과 [[공역]]이 집합이 아니므로 이는 엄밀히 말해 함수가 될 수 없다.) 이는 "[[단사 함수]]"이며, 그 "[[상 (수학)|상]]"은 무한 기수이다. 따라서, 모든 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여,
:<math>\aleph_\alpha<\kappa<\aleph_{\alpha+1}</math>
인 기수 <math>\kappa</math>는 존재하지 않는다.

=== 고정점 ===
[[기수 (수학)|기수]]를 [[순서수]]로 여겨, 알레프 수의 "[[고정점]]"(즉, <math>\aleph_\alpha=\alpha</math>인 <math>\alpha</math>)을 생각할 수 있다. 알레프 수는 순서수의 모임 위의 순서 보존 "함수"이므로, 모든 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
:<math>\alpha\le\aleph_\alpha</math>

모든 알레프 수의 고정점은 [[극한 기수]]이다. 모든 [[약하게 도달 불가능한 기수]]는 알레프 수의 고정점이다. 알레프 수의 최소의 고정점은 다음과 같다.
:<math>\kappa=\sup\left\{\aleph_0,\aleph_\omega,\aleph_{\omega_\omega},\dots\right\}</math>
이는 [[약하게 도달 불가능한 기수]]가 아니다.
{{증명}}
만약 <math>\kappa=\aleph_\kappa</math>라면, <math>\kappa</math>는 [[무한 기수]]이며, 특히 [[극한 순서수]]이다. 따라서 <math>\kappa=\aleph_\kappa</math>는 [[극한 기수]]이다.

[[약하게 도달 불가능한 기수]] <math>\aleph_\alpha</math>가 주어졌을 때,
:<math>\aleph_\alpha=\operatorname{cf}\aleph_\alpha=\operatorname{cf}\alpha\le\alpha</math>
이다. (<math>\operatorname{cf}\aleph_\alpha=\operatorname{cf}\alpha</math>는 <math>\alpha</math>가 [[극한 순서수]]이기 때문이다.) 따라서, <math>\aleph_\alpha=\alpha</math>이다.
{{증명 끝}}

=== 연속체 가설 ===
{{본문|연속체 가설}}
'''[[일반화 연속체 가설]]'''에 따르면,
:<math>\aleph_\alpha=\beth_\alpha</math>
가 성립한다. 여기서 <math>\beth_\alpha</math>는 [[베트 수]]이다. 이 명제는 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서 독립적이다 (즉, 증명하거나 반증할 수 없다). 또한, 대부분의 [[큰 기수]] 공리들을 추가해도 이는 변함이 없다. 위 가설에서 <math>\alpha=1</math>인 특수한 경우
:<math>\aleph_1=2^{\aleph_0}</math>
는 '''[[연속체 가설]]'''이라고 불리며, 역시 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]] 및 [[큰 기수]] 공리들에 대하여 독립적이다.

== 예 ==
=== ℵ<sub>0</sub> ===
<math>\aleph_0</math>은 [[가산 무한 집합]]의 [[집합의 크기|크기]]이다. 예를 들어, [[자연수]]의 집합 <math>\mathbb N</math>, [[정수]]의 집합 <math>\mathbb Z</math>, [[유리수]]의 집합 <math>\mathbb Q</math> 등이 이 크기이다.
:<math>\aleph_0=|\mathbb N|=|\mathbb Z|=|\mathbb Q|</math>

=== ℵ<sub>1</sub> ===
<math>\aleph_1</math>은 가장 작은 비가산 기수이다. 이는 모든 가산 [[순서수]]들의 [[집합의 크기]]이다. [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 [[연속체 가설]]이 독립적이므로, 실제로 크기가 <math>\aleph_1</math>이라고 증명할 수 있는 집합들은 그리 많지 않다.

=== ℵ<sub>ω</sub> ===
<math>\omega</math>가 가장 작은 무한 [[순서수]]라고 하자. <math>\aleph_\omega</math>는 <math>\{\aleph_n\colon n\in\mathbb N\}</math>의 [[상한]]이다. 또한, 이는 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서
:<math>2^{\aleph_0}\ne\kappa</math>
임을 증명할 수 있는 가장 작은 기수 <math>\kappa</math>이다.

== 역사 ==
이 표기법은 [[게오르크 칸토어]]가 [[기수 (수학)|기수]] 및 [[순서수]] 이론을 정의하면서 도입하였다. [[알레프]](ℵ)는 [[히브리 문자]]의 첫 글자이다. 칸토어가 왜 이 글자를 골랐는지는 확실하지 않다. 칸토어 자신이 [[유대인]]인지는 확실하지 않지만, 칸토어의 아내 발리 구트만({{llang|de|Vally Guttman}})은 유대인이었다.<ref>{{저널 인용|이름=Ivor|성=Grattan-Guinness|저널=Annals of Science|권=27|쪽=345–391|날짜=1971|제목=Towards a biography of Georg Cantor|doi=10.1080/00033797100203837|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용
  | last = Roitman
  | first = Judith
  | title = Introduction to modern set theory
  | 날짜 = 2011
  | publisher = Virginia Commonwealth University
  | isbn = 978-0-9824062-4-3 | 언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Aleph}}
* {{eom|title=Aleph-zero}}
* {{매스월드|id=Aleph|title=Aleph}}
* {{매스월드|id=Aleph-0|title=Aleph-0}}
* {{매스월드|id=Aleph-1|title=Aleph-1}}

== 같이 보기 ==
* [[베트 수]]

{{집합론}}

[[분류:기수]]
[[분류:무한]]