안정 벡터 다발 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]과 [[미분기하학]]에서 '''안정 벡터 다발'''(安定vector다발, {{llang|en|stable vector bundle}})은 [[정칙 벡터 다발]] 가운데, [[모듈라이 공간]]을 잘 정의할 수 있는 것들이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* 콤팩트 [[복소다양체]] <math>M</math>
* 고차원 [[복소수 사영 공간]]으로의 [[단사 함수|단사]] [[정칙 함수]] <math>M \hookrightarrow \operatorname{\mathbb CP}^N</math>. 이에 따라, <math>M</math> 위에는 표준적인 [[켈러 다양체]] 구조가 주어지며, 켈러 형식의 코호몰로지류 <math>[\omega]\in\operatorname H^2(M;\mathbb R)</math>는 정수 계수 코호몰로지로 주어진다는 정수 계수이다. ([[고다이라 매장 정리]]에 의하여, 그 역 또한 성립한다.)
* <math>M</math> 위의 [[정칙 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>

=== 다발의 기울기 ===
<math>E \ne 0</math>이라고 할 때, <math>E</math>의 '''기울기'''({{llang|en|slope|슬로프}})는 다음과 같은 [[유리수]]이다.
:<math>\mu(E) = \frac{
\int_M [\omega]^{\dim_{\mathbb C} M -1 } \smile \operatorname c_1(E)
}{\dim_M E}\in\mathbb Q</math>
이 식에서, 분자가 정수인 것은 <math>M</math>이 [[사영 대수다양체]]이기 때문이다.

=== 에르미트-아인슈타인 접속 ===
콤팩트 리 군
:<math>\operatorname U(1)_{\operatorname{diag}} \le G \le \operatorname{GL}(n;\mathbb C)</math>
이 주어졌으며, <math>E \twoheadrightarrow M</math>가 <math>M</math> 위의, <math>G</math> 구조의 [[정칙 벡터 다발]]이라고 하고, 이에 대응되는 <math>G</math>-[[주다발]]이
:<math>P\twoheadrightarrow M</math>
이라고 하자.

그렇다면, <math>E</math> 위의 어떤 [[벡터 다발 접속]] <math>\nabla</math>의 곡률
:<math>F_{i\bar\jmath}^a \in \Omega^{1,1}(M;\mathfrak{ad}(P))</math>
을 정의할 수 있다. 이는 (1,1)차 [[벡터 값 미분 형식|벡터 값]] [[복소수 미분 형식]]이며, 이것이 값을 갖는 [[벡터 다발]]은 [[딸림표현]] [[연관 벡터 다발]]
:<Math>\mathfrak{ad}(P) = P \times_G \mathfrak{lie}(G)</math>
이다. 표현에 따라서
:<math>\mathfrak{ad}(P) \subseteq \operatorname{End}E</math>
이다. <math>\operatorname{End}E</math>에서, 스칼라에 대한 곱셈으로 구성된 부분 선다발
:<math>\mathbb C\operatorname{id}_E \subseteq \operatorname{End}E</math>
을 생각하자. 이는 표준적 대역적 [[단면 (올다발)|단면]]을 가지므로, 표준적으로 자명한 벡터 다발을 이룬다. 이 포함 사상을
:<math>m \colon M \times \mathbb C \hookrightarrow \operatorname{End}(E)</math>
이라고 하자. 이제, 만약
:<math>F \in \mathrm i\mathbb Rm(\omega) \subseteq \Omega^{1,1}(M;\operatorname{End}E)</math>
라면, <math>\nabla</math>를 '''에르미트-아인슈타인 접속'''이라고 한다. <math>\mathrm i\lambda</math>는 [[허수]]이므로, 이 경우 <math>E</math> 위에 임의의 [[에르미트 계량]]을 부여한다면, <math>\nabla</math>는 자명하게 유니터리 접속을 이룬다 (모든 [[모노드로미]]가 에르미트 계량에 대하여 [[유니터리 행렬]]이다).

=== 안정 벡터 다발 ===
<math>E \ne 0</math>일 때, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 정칙 벡터 다발을 '''안정 벡터 다발'''이라고 한다.<ref name="Donaldson85">{{저널 인용 | last1=Donaldson | first1=Simon K. | 저자링크=사이먼 도널드슨 | title=Anti self-dual Yang-Mills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles | mr=765366  | year=1985 | journal=Proceedings of the London Mathematical Society |series=Third Series | issn=0024-6115 | volume=50 | issue=1 | pages=1–26|doi=10.1112/plms/s3-50.1.1 | 언어=en }}</ref>
* <math>E</math>의 임의의 부분 [[정칙 벡터 다발]] <math>0\subsetneq F\subsetneq E</math>에 대하여, <math>\mu(F) < \mu(E)</math>이다.
* <math>E</math>는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 (<math>G = \operatorname{GL}(\mathbb C^{\operatorname{rk}E})</math>에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 (하나 이상) 존재한다.
* <math>E</math>는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 (<math>G = \operatorname{GL}(\mathbb C^{\operatorname{rk}E})</math>에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 유일하게 존재한다.

안정 벡터 다발의 첫 정의에서, <math>\mu(F) < \mu(E)</math>를 <math>\mu(F) \le \mu(E)</math>로 약화시키면, '''준안정 벡터 다발'''({{llang|en|semistable vector bundle}})의 개념을 얻는다.

=== 리만 곡면의 경우 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 콤팩트 [[리만 곡면]] <math>\Sigma</math>
* [[정칙 벡터 다발]] <math>E \twoheadrightarrow \Sigma</math>
이 경우, <math>\operatorname H^2(\Sigma)</math>가 1차원이므로, <math>\Sigma</math> 위에 임의의 [[켈러 다양체]] 구조를 부여하더라도, 그 스칼라배를 취하여 이것이 사영 다양체가 되게 만들 수 있다. 구체적으로, 이 경우 항상 <math>\Sigma</math>의 넓이가 1이 되게 규격화할 수 있다.

이 경우, <math>E</math>의 기울기는 켈러 구조에 의존하지 않으며, 따라서 안정성 여부 역시 켈러 구조에 의존하지 않는다.

== 성질 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* 복소수 1차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[켈러 다양체]] <math>\Sigma</math>
* [[정칙 벡터 다발]] <math>E \twoheadrightarrow \Sigma</math>
* <math>E</math> 위의 [[에르미트 구조]] <math>\eta \in \Gamma_\Sigma(E^*\otimes \bar E^*)</math>

만약 <math>E</math> 위에 [[벡터 다발 접속]] <math>\nabla</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 폐곡선
:<math>\gamma\colon [0,1]\to\Sigma</math>
:<math>\gamma(0) = \gamma(1) \in \Sigma</math>
에 대하여, 모노드로미
:<math>T_\gamma \in \operatorname{GL}(E_{\gamma(0)};\mathbb C)</math>
를 정의할 수 있다. 만약 이러한 모노드로미가 모두 [[유니터리 군]]
:<math>\operatorname U(E_{\gamma(0)}) \le \operatorname{GL}(E_{\gamma(0)};\mathbb C)</math>
에 속한다면, 이러한 접속을 '''유니터리 접속'''({{llang|en|unitary connection}})이라고 하자. 유니터리 접속 <Math>\nabla</math>이 주어졌을 때, 그 곡률
:<math>F_\nabla \in \Omega^2(\Sigma;\operatorname u(E))</math>
를 생각하자. (<math>\operatorname u(E)</math>는 <Math>E</math> 위의 유니터리 [[리 대수]]들의 [[벡터 다발]]이다.) 이제, [[부피 형식]]을 통한 [[호지 쌍대]]
:<math>*F_\nabla \in \Gamma(\operatorname u(E))</math>
를 생각하자.

'''나라심한-세샤드리 정리'''(நரசிம்மன்-சேஷாத்ரி定理, {{llang|en|Narasimhan–Seshadri theorem}})에 따르면,<ref name="Donaldson"/> <math>E</math>가 두 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없다고 가정하였을 때, <math>(E,\eta)</math>가 안정 벡터 다발일 [[필요 충분 조건]]은 <math>*F_\nabla = -2\pi \mathrm i \mu(E)</math>인 유니터리 접속을 갖는 것이다. 이 경우, 곡률이 상수이므로, 모노드로미를 통하여 임의의 점 <math>z\in\Sigma</math>에 대하여 [[군 준동형]]
:<math>\pi_1(\Sigma,z) \to \operatorname{PU}(E_z) = \frac{\operatorname U(E_z)}{\mathbb C^\times}</math>
이 존재한다.

=== 리만 곡면 위의 안정 벡터 다발의 모듈러스 공간 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 종수 <math>g</math>의 [[리만 곡면]] <math>\Sigma</math>
* [[자연수]] <math>r\in\mathbb N</math> ([[정칙 벡터 다발]]의 차원)
* [[정수]] <math>d \in \mathbb Z</math> ([[정칙 벡터 다발]]의 차수)
그렇다면, <math>\Sigma</math> 위의 <math>r</math>차원 <math>d</math>차 안정 [[정칙 벡터 다발]]들의 [[모듈라이 공간]]
:<math>\mathcal M(\Sigma,r,d)</math>
을 정의할 수 있다. 이는 [[연결 공간]]인 복소수 [[사영 대수다양체]]이다. <math>E\twoheadrightarrow \Sigma</math>에서, 그 [[접공간]]은 다음과 같다.
:<math>\mathrm T_E\mathcal M = \operatorname H^1(\Sigma,\operatorname{End}(E))</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 개략''':
<div class="mw-collapsible-content">
어떤 매개 변수 <math>t\in\mathbb R</math> 및 열린 덮개 <math>(U_i)_{i\in I}</math>에 대하여 전이 함수가 <math>\phi_{ij}(t)\colon U_i\cap U_j \to \operatorname{Aut}(E\restriction U_i\cap U_j)</math>라면,
:<math>\partial_t\ln\phi_{ij} \colon U_i\cap U_j \to \operatorname{End}(E)</math>
이며, 이러한 함수들의 족은 (<math>t=0</math>에서) [[층 코호몰로지]] <math>\operatorname H^1(\Sigma,\operatorname{End}(E))</math>의 원소를 정의한다. 여기서 <math>\operatorname{End}E = E^* \otimes_{\mathbb C} E</math>이다.
</div></div>
그 [[복소수]] 차원은 다음과 같다.
:<math> \mathcal M(\Sigma, r, d)  \ne \varnothing \implies \dim_{\mathbb C} \mathcal M(\Sigma, r, d) = 
r^2 (g-1) + 1 </math>
여기서 <math>\mathcal M(\Sigma, r, d)  \ne \varnothing</math>일 [[필요 충분 조건]]은 <math>g \ge 2</math>이거나, <math>g = 1</math>이며 <math>\gcd\{r,d\} = 1</math>이거나, <math>g = 0</math>이며 <math>r =1</math>인 것이다.
여기서 [[정칙 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow\Sigma</math>의 차수는 <math>\deg E = \textstyle\int_\Sigma \operatorname c_1(E) \in \mathbb Z</math>이며, <math>\operatorname c_1</math>은 1차 [[천 특성류]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>\mathcal M</math>의 차원은 물론 어떤 임의의 <math>E\in\mathcal M</math>에서의 [[접공간]]의 차원과 같다.

[[리만-로흐 정리]]에 따라서,
:<math>\dim \operatorname H^0(\Sigma,\operatorname{End}E)
-\dim\operatorname H^1(\Sigma,\operatorname{End}E)
= \deg (\operatorname{End}E) + (1-g)\dim(\operatorname{End}E)</math>
이다. 그런데 <math>\det (E^* \otimes E)</math>는 대역적 단면을 가지므로
:<math>\deg (\operatorname{End}E) = 0</math>
이며, <math>E</math>가 안정 벡터 다발이므로
:<math>\dim \operatorname H^0(\Sigma,\operatorname{End}E) = 1</math>
이다. (이는 올별 [[항등 함수]]의 스칼라배로 구성된다.)
물론
:<math>\dim(\operatorname{End}E) = r^2</math>
이다. 따라서
:<math>\dim\operatorname H^1(\Sigma,\operatorname{End}E) = r^2(g-1) + 1</math>
이다.
</div></div>

만약 <math>g = 0</math>일 경우 (<math>\Sigma \cong \operatorname{\mathbb CP}^1</math>), [[리만 구]] 위의 모든 [[정칙 벡터 다발]]은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\bigoplus_i\mathcal O(d_i)</math>
여기서 <math>\mathcal O(d)</math>는 [[보편 선다발]]의 <math>-d</math>차 텐서곱이다. 이 가운데 안정 벡터 다발인 것은 선다발 <math>\mathcal O(d)</math> 밖에 없으며, 준안정 벡터 다발인 것은 모든 <math>i</math>에 대하여 <math>d_1 = d_2 = \dotsb</math>인 것이다 (즉, <Math>\dim E \mid \deg E </math>). 즉,
:<math>\mathcal M(\operatorname{\mathbb CP}^1, r, d) = \begin{cases}
\{\bullet\} & r \mid d \\
\varnothing & r \nmid d
\end{cases}</math>
이다.

만약 <math>g = 1</math>일 경우, [[타원 곡선]] 위의 [[정칙 벡터 다발]] <math>E</math>가 안정 벡터 다발일 [[필요 충분 조건]]은 그 차수와 그 차원이 [[서로소 (수론)|서로소]]인 것이다.
:<math>\gcd\{\deg E,\dim E\} = 1</math>
이 경우,
:<math>\mathcal M(\Sigma,r,d) \cong \Sigma \qquad(\gcd\{r,d\}=1)</math>
이다.<ref>{{저널 인용|성=Atiyah|이름=Michael | 저자링크=마이클 아티야 | 날짜=1957 |제목= Vector bundles over an elliptic curve |doi=10.1112/plms/s3-7.1.414
 | 저널=Proceedings of the London Mathematical Society | 권=7 | 날짜=1957 | 쪽=414–452 | 언어=en}}</ref>

=== 하더-나라삼한 여과 ===
리만 곡면 <math>\Sigma</math> 위의 임의의 [[정칙 벡터 다발]] <math>E</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 여과
:<math>0 = E_0 \subseteq E_1 \subseteq \dotsb \subseteq E_k = E</math>
가 존재한다.
* 임의의 <math>i \in \{0,1,\dotsc, k-1\}</math>에 대하여, <math>E_{i+1}/E_i</math>는 <math>\Sigma</math> 위의 준안정 벡터 다발이다.
이를 '''하더-나라심한 여과'''({{llang|en|Harder–Narasimhan filtration}})라고 한다.<ref>{{저널 인용 | last1=Harder | first1=G. | last2=Narasimhan | first2=M. S. | title=On the cohomology groups of moduli spaces of vector bundles on curves | doi=10.1007/BF01357141 | mr=0364254  | year=1975 |  journal=Mathematische Annalen | issn=0025-5831 | volume=212 | pages=215–248 | issue=3|언어=en}}</ref>

== 역사 ==
[[데이비드 멈퍼드]]가 1963년에 도입하였다.

나라심한-세샤드리 정리는 무두바이 세샤차를루 나라심한({{llang|ta|முடும்பை சேஷ சாரலு நரசிம்மன்}}, {{llang|en|Mudumbai Seshacharlu Narasimhan}})과 칸지바람 스리랑가차리 세샤드리({{llang|ta|காஞ்சீவரம் ஶ்ரீ ரங்காசாரி சேஷாத்ரி}}, {{llang|en|Conjeevaram Srirangachari Seshadri}})가 1965에 최초로 대수기하학을 사용하여 증명하였으며,<ref>{{저널 인용 | last1=Narasimhan | first1=Mudumbai Seshacharlu | last2=Seshadri | first2=Conjeevaram Srirangachari | title=Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface |mr=0184252 | year=1965 | journal=Annals of Mathematics |series=Second Series | issn=0003-486X | volume=82 | pages=540–567 | doi=10.2307/1970710 | 언어=en}}</ref> 이후 1983년에 [[사이먼 도널드슨]]이 미분기하학을 사용하여 다른 정의를 발표하였으며,<ref name="Donaldson">{{저널 인용 | last1=Donaldson | first1=S. K. | 저자링크=사이먼 도널드슨 | title=A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri | doi=10.4310/jdg/1214437664 |mr=710055 | year=1983 | journal=Journal of Differential Geometry | issn=0022-040X | volume=18 | issue=2 | pages=269–277}}</ref> 1985년에 이 정리를 임의의 차원의 [[사영 대수다양체|사영]] [[켈러 다양체]]에 대하여 일반화하였다.<ref name="Donaldson85"/>

== 예 ==
모든 정칙 선다발(1차원 [[정칙 벡터 다발]])은 (자명하게) 안정 벡터 다발이다.

양의 차원의 두 정칙 선다발 <math>E</math>, <math>F</math>의 [[직합]] <math>E\oplus F</math>은 안정 벡터 다발이 될 수 없다.<ref name="Donaldson"/>{{rp|269}} 이 경우,
:<math>\operatorname c_1(E\oplus F) = \operatorname c_1(E) + \operatorname c_1(F)</math>
:<math>\dim (E\oplus F) = \dim E + \dim F</math>
이므로,
:<math>\min\{\mu(E),\mu(F)\} \le \mu(E\oplus F) \le \max\{\mu(E),\mu(F)\}</math>
이기 때문이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=stable vector bundle|title=Stable vector bundle}}
* {{nlab|id=stable bundle|title=Stable bundle}}
* {{nlab|id=Narasimhan–Seshadri theorem}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.columbia.edu/~chaoli/docs/StableVectorBundles.html | 제목=Stable vector bundles on curves | 이름=Chao | 성=Li | 언어=en}}
* {{웹 인용 | url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2012/09/16/moduli-of-vector-bundles-on-elliptic-curves/ | 제목=Moduli of vector bundles on elliptic curves | 날짜=2012-09-16 | 이름=Matt | 성=Ward | 웹사이트=A Mind for Madness | 언어=en | 확인날짜=2018-12-01 | 보존url=https://web.archive.org/web/20181201093530/https://hilbertthm90.wordpress.com/2012/09/16/moduli-of-vector-bundles-on-elliptic-curves/ | 보존날짜=2018-12-01 | url-status=dead }}
* {{웹 인용|url=https://ehsanmkermani.com/2012/11/30/classification-of-vector-bundles-on-elliptic-curves-2/ | 제목=
Classification of vector bundles on elliptic curves | 이름=Ehsan M. |성=Kermani | 날짜=2012-11-30 | 언어=en}}
* {{웹 인용 |url= http://math.iisc.ac.in/~vamsipingali/Notes%20on%20donaldson.pdf |날짜= 2018-07-18 |제목= Donaldson’s proof of the Narasimhan–Seshadri theorem |성= Pingali |이름= Vamsi Pritham |언어= en |확인날짜= 2018-10-09 |보존url= https://web.archive.org/web/20181010100952/http://math.iisc.ac.in/~vamsipingali/Notes%20on%20donaldson.pdf |보존날짜= 2018-10-10 |url-status= dead }}
* {{웹 인용|url=https://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahjde/YM-lectures/lecture11.pdf | 제목=Lecture 11: Holomorphic vector bundles Ⅱ (stability) | 이름=Jonathan | 성=Evans | 날짜=2011-11-01 | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahjde/YM-lectures/lecture12.pdf | 제목=Lecture 12: Holomorphic vector bundles Ⅲ (Harder–Narasimhan) | 이름=Jonathan | 성=Evans | 날짜=2011-11-03 | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahjde/YM-lectures/lecture13.pdf | 제목=Lecture 13: Narasimhan-Seshadri theorem Ⅰ | 이름=Jonathan | 성=Evans | 날짜=2011-11-08 | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahjde/YM-lectures/lecture14.pdf | 제목=Lecture 14: Narasimhan-Seshadri theorem Ⅱ | 이름=Jonathan | 성=Evans | 날짜=2011-11-10 |언어=en}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:미분기하학]]