안정점 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서, '''안정점'''(安定點, {{llang|en|stable point}})은 어떤 [[대수군]]의, [[사영 대수다양체]] 위의 [[군의 작용|작용]] 아래, 그 [[안정자군]]이 유한하며, 그 궤도가 [[닫힌집합]]인 점이다.<ref>{{저널 인용 | last1=Dieudonné | first1=Jean A. | author1-link = 장 디외도네 | last2=Carrell | first2=James B. | title=Invariant theory, old and new | doi=10.1016/0001-8708(70)90015-0 | mr = 0255525 | year=1970 | journal=Advances in Mathematics | issn=0001-8708 | volume=4 | pages=1–80|언어=en}}</ref><ref name="Mumford">{{서적 인용 | last1=Mumford | first1=David | author1-link=데이비드 멈퍼드 | last2=Fogarty | first2=J. | last3=Kirwan | first3=Frances | 제목=Geometric invariant theory | publisher=Springer-Verlag | 판=3 | 총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete | isbn=978-3-540-56963-3 |mr=1304906 | year=1994 | volume=34 | doi=10.1007/978-3-642-57916-5|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[복소수 벡터 공간]] <math>V</math>
* [[가약군|가약]] [[대수군]] <math>G \le \operatorname{SL}(V)</math>
그렇다면, 점 <math>x\in V</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''안정점'''이라고 한다.
# [[군의 작용의 궤도]] <math>G.x</math>의 차원이 <math>G</math>의 차원과 같다. (즉, [[안정자군]]이 유한하다.)
# <math>G.x</math>가 <math>V</math>의 [[닫힌집합]]이다.
안정점의 집합을 <math>X^{\operatorname{s}}</math>라고 표기하자.

점 <math>x\in V</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''준안정점'''({{llang|en|semistable point}})이라고 한다.
* 어떤 <math>k</math>차 <math>G</math>-[[불변 다항식|불변]] [[동차 다항식]] <math>p</math>에 대하여 (<math>k\ge1</math>), <math>p(x) \ne 0</math>이다.
준안정점의 집합을 <math>X^{\operatorname{ss}}</math>라고 표기하자.

<math>V</math>에 대한 [[복소수 사영 공간]] <math>\mathbb P(V)</math>의 점 <math>[x]\in \mathbb P(V)</math>의 경우, 그 점의 대표원 <math>x\in V</math>이 (준)안정점일 경우 마찬가지로 (준)안정점이라고 한다. <math>X</math>가 <math>\mathbb P(V)</math> 속의, <math>G</math>의 작용에 대하여 불변인 [[사영 대수다양체]]일 경우에도 마찬가지로 정의한다.

== 성질 ==
[[사영 대수다양체]] <math>X\subseteq\operatorname{\mathbb CP}^n = \operatorname{Proj} \mathbb C[x_0,x_1,\dotsc,x_n]</math>를 정의하는 동차 [[아이디얼]]
:<math>\mathfrak I \subseteq \mathbb C[x_0,x_1,\dotsc,x_n]</math>
을 생각하자. 그렇다면, <math>G</math>는 <math>\mathbb C[x_0,x_1,\dotsc,x_n] / \mathfrak I</math> 위에 작용한다. 이에 대한 [[고정점]]의 집합
:<math>(\mathbb C[x_0,x_1,\dotsc,x_n] / \mathfrak I)^G </math>
을 생각하자. 이는 복소수체 위의 유한 생성 가환 [[결합 대수]]를 이루며, 어떤 [[사영 대수다양체]]를 정의한다. 이를 <math>X/\!/G</math>라고 한다.

이 경우, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
X^{\operatorname{s}} & \subseteq & X^{\operatorname{ss}} & \subseteq X \\
\downarrow && \downarrow \\
X^{\operatorname{s}}/G & \subseteq & X/\!/G
\end{matrix}</math>
여기서, <math>X^{\operatorname{ss}}</math>와 <math>X^{\operatorname{s}}</math>는 <math>X</math>의 [[열린집합]]이며, 마찬가지로 <math>X^{\operatorname{s}}/G</math>는 <math>X/\!/G</math>의 열린집합이다.

=== 안정성의 수치 조건 ===
<math>n</math>차원 [[복소수 벡터 공간]] <math>V</math>의 [[복소수 사영 공간]] <math>\operatorname P(V)</math> 위에 <math>G \le \operatorname{SL}(V;\mathbb C)</math>가 작용한다고 하자. 그렇다면, 임의의 대수적 군 준동형
:<math>\lambda \colon \mathbb C^\times \to G</math>
에 대하여, <math>V</math>를 다음과 같이 복소수 벡터 공간의 직합으로 분해할 수 있다.
:<math>V_i = \{v\in V\colon \lambda(t)v = t^iv\}</math>
:<math>V = \bigoplus_{i \in\mathbb Z} V_i</math>
(일부 <math>i</math>에 대하여 <math>V_i = 0</math>일 수 있다.) 이에 대한 사영 사상을
:<math>\pi_i \colon V \twoheadrightarrow V_i</math>
라고 하자.

그렇다면, 임의의 <math>v\in V</math>에 대하여
:<math>\mu_\lambda(v) = \min \{i\in \mathbb Z \colon \pi_i(v) \ne 0\}</math>
을 정의하자. '''힐베르트-멈퍼드 수치 조건'''(Hilber-Mumford數値條件, {{llang|en|Hilbert–Mumford numerical condition for stability}})에 따르면, 임의의 <math>v \in V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 임의의 <math>\lambda \colon \mathbb C^\times \to G</math>에 대하여 <math>\mu_\lambda(v) < 0</math>이다.
* <math>v</math>는 안정점이다.
마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 임의의 <math>\lambda \colon \mathbb C^\times \to G</math>에 대하여 <math>\mu_\lambda(v) \le 0</math>이다.
* <math>v</math>는 준안정점이다.

== 역사 ==
1893년에 [[다비트 힐베르트]]가 (현대적 용어로는) 준안정점이 아닌 점을 ‘영형식’({{llang|de|Nullform|눌포름}})이라는 이름으로 연구하였다.<ref>{{저널 인용|날짜=1893|이름=David|성=Hilbert | 저자링크=다비트 힐베르트|제목=Über die vollen Invariantensysteme|url=https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1893_42/page/n315|저널=Mathematische Annalen|권=42|쪽=313|doi=|doi=10.1007/BF01444162|언어=de}}</ref> 이후 [[데이비드 멈퍼드]]가 1965년에 안정점과 준안정점의 개념을 도입하였다.<ref name="Mumford"/>

== 같이 보기 ==
* [[기하 불변량 이론 몫]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=GIT-stable point}}

[[분류:대수군]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:스킴 이론]]