아핀 사상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서, '''아핀 사상'''(affine寫像, {{llang|en|affine morphism}})은 모든 [[아핀 스킴|아핀]] [[열린집합]]의 [[원상 (수학)|원상]]이 [[아핀 스킴|아핀]] [[열린집합]]인 [[스킴 사상]]이다. [[아핀 스킴]]의 개념의 상대화(相對化)이다.

== 정의 ==
두 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[스킴 사상]]을 '''아핀 사상'''이라고 한다.
* <math>Y</math>의 임의의 아핀 [[열린집합]] <math>\operatorname{Spec}R\cong U\subseteq Y</math>에 대하여, [[열린집합]] <math>f^{-1}(U)\subseteq X</math> 역시 [[아핀 스킴]]이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|128, Exercise II.5.17(a)}}
*  모든 <math>f</math>-[[원상 (수학)|원상]]이 [[아핀 스킴|아핀]] [[열린집합]]이 되는 [[아핀 스킴|아핀]] [[열린집합]] <math>U_i\subseteq Y</math>들로 구성된 <math>Y</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]] <math>(U_i)_{i\in I}</math>가 존재한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|128, Exercise II.5.17}}

== 성질 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[분리 스킴]] <math>X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>
* [[스킴 (수학)|스킴]] <math>Y</math>
* [[준콤팩트 함수]]인 [[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>
그렇다면, '''세르 아핀성 조건'''(Serre affine性條件, {{llang|en|Serre’s criterion of affineness}})에 따르면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>ÉGA II 5.2.2, ÉGA IV 1.7.17</ref>
* <math>f</math>는 아핀 사상이다.
* [[준연접층]] 범주 사이의 직상 [[함자 (수학)|함자]] <math>f_*\colon\operatorname{QCoh}(X)\to\operatorname{QCoh}(Y)</math>는 [[완전 함자]]이다.
특히, <math>Y=\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>일 경우를 생각하면, 임의의 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[아핀 스킴]]이다.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서 [[콤팩트 공간]]이며, [[분리 스킴]]이며, <math>X</math> 위의 모든 [[준연접층]]의 고차 [[층 코호몰로지]] 군은 [[자명군]]이다. 즉, 임의의 [[준연접층]] <math>\mathcal F\in\operatorname{QCoh}(X)</math>에 대하여, <math>\forall i\in\mathbb Z^+\colon\operatorname H^i(X;\mathcal F)=0</math>이다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
유한 개의 아핀 사상들의 [[함수의 합성|합성]]은 아핀 사상이다.

아핀 사상의 성질은 밑 전환에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 세 스킴 <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math> 및 아핀 사상 <math>f\colon X\to Y</math> 및 [[스킴 사상]] <math>g\colon Z\to Y</math>에 대하여, <math>(f,g)</math>에 대한 [[올곱]] <math>X_YZ</math>를 정의하면, [[올곱]]의 정의에 등장하는 표준적 사상 <math>\pi_Z\colon X\times_YZ\to Z</math> 역시 아핀 사상이다.
:<math>\begin{matrix}
X\times_YZ&\overset{\pi_Z}\to&Z\\
{\scriptstyle \pi_X}\downarrow\color{White}{\scriptstyle \pi_X}&&{\color{White}\scriptstyle g}\downarrow\scriptstyle g\\
X&\underset f\to&Y
\end{matrix}</math>

=== 함의 관계 ===
모든 아핀 사상은 [[준콤팩트 함수]]이자 [[분리 사상]]이다. 모든 [[유한 사상]]은 아핀 사상이다.
:{| style="text-align: center"
| || || [[분리 사상]]
|-
| || || ∪
|-
| [[준콤팩트 함수]] || ⊃ || 아핀 사상 || ⊃ || [[유한 사상]] || ⊃ || [[닫힌 몰입]]
|}

== 예 ==
두 [[아핀 스킴]] 사이의 [[스킴 사상]]은 (자명하게) 항상 아핀 사상이다.

임의의 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[아핀 스킴]]이다. 즉, <math>X\cong\operatorname{Spec}R</math>인 [[가환환]] <Math>R</math>가 존재한다.
* 유일한 [[스킴 사상]] <math>X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>가 아핀 사상이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Affine morphism}}
* {{nlab|id=affine morphism|title=Affine morphism}}
* {{nlab|id=Serre's criterion of affineness}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2012/08/01/serres-criterion-for-affineness-as-morita-theory/|제목=Serre’s criterion for affineness as Morita theory|날짜=2012-08-01|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|이름=Akhil|성=Mathew|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/15291/affine-morphisms-in-different-settings-coincide/58486|제목=Affine morphisms in different settings coincide?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:스킴 이론]]