아핀 리 대수 문서 원본 보기

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[[파일:Affine Dynkin diagrams.png|347px|섬네일|right|비틀리지 않은 아핀 딘킨 도표들. 새로 추가한 꼭짓점은 녹색이다.]]
[[파일:Twisted affine Dynkin diagrams.png|300px|섬네일|right|비틀린 아핀 딘킨 도표들.]]
[[리 대수]] 이론에서, '''아핀 리 대수'''(affine Lie代數, {{llang|en|affine Lie algebra}})는 유한 차원 단순 리 대수 계수를 가진 [[로랑 급수|로랑 다항식]] 대수에 중심 원소를 더하여 얻는 무한 차원 복소 리 대수다.<ref name="Kac">{{서적 인용|이름=Victor G.|성= Kac|저자링크=빅토르 카츠|title=Infinite dimensional Lie algebras |url=https://archive.org/details/infinitedimensio0000kacv|판=3|publisher=Cambridge University Press|날짜= 1990|isbn=978-0-521-37215-2|doi=10.1017/CBO9780511626234|zbl=0716.17022|mr=1104219 |언어=en}}</ref><ref name="Fuchs">{{서적 인용|제목=Affine Lie algebras and quantum groups: an introduction with applications in conformal field theory|이름=Jürgen A.|성=Fuchs
|출판사=Cambridge University Press | 총서=Cambridge Monographs on Mathematical Physics | 날짜=1995-03 | isbn=978-052148412-1
|url=http://www.cambridge.org/vn/academic/subjects/physics/theoretical-physics-and-mathematical-physics/affine-lie-algebras-and-quantum-groups-introduction-applications-conformal-field-theory|zbl=0952.17016 | mr = 1337497 | 언어=en}}</ref><ref name="Frenkel">{{서적 인용|장=Beyond affine Lie algebras | 이름=I. B.|성=Frenkel | 제목=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, California, USA, 1986. Volume Ⅰ | 장url=https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1986.1/ICM1986.1.ocr.pdf#page=923 | 날짜=1987 | 쪽=821–839 | 언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|first=P.|last= Di Francesco|first2=P. |last2=Mathieu|first3=D. |last3=Sénéchal|title=Conformal field theory|url=https://archive.org/details/conformalfieldth0000difr|publisher=Springer-Verlag| year=1997|isbn=0-387-94785-X}}</ref><ref>{{서적 인용|first=Toshitake|last= Kohno|title=Conformal field theory and topology|year=1998|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8218-2130-X}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Andrew|성=Pressley|이름2=Graeme|성2=Segal|title=Loop groups|publisher=Oxford University Press|year=1986|isbn=0-19-853535-X}}</ref> [[물리학]]의 [[등각 장론]]에서 중요한 역할을 한다. [[카츠-무디 대수]]의 특별한 경우다.

== 정의 ==
아핀 리 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.
* 아핀 리 대수는 [[카츠-무디 대수]]의 특별한 종류이다.
* 아핀 리 대수는 [[단순 리 대수]] 계수의 [[로랑 다항식]]의 리 대수의 [[중심 확대]]이다.
* 아핀 리 대수는 어떤 특별한 프레셰 [[리 군]]의 [[리 대수]](의 복소화의 부분 공간)이다.
이 정의들은 서로 동치이다.

=== 카츠-무디 대수로서의 정의 ===
'''아핀 리 대수'''는 [[카츠-무디 대수]] 가운데, [[카르탕 행렬]] <math>A</math>가 [[양의 준정부호]] 행렬이지만 [[양의 정부호]] 행렬이 아닌 것들이다. 즉, 만약 아핀 리 대수 <math>\mathfrak g</math>가 <math>n+1</math>개의 단순근을 갖는다면, 그 카르탕 행렬은 <math>(n+1)\times(n+1)</math> [[정사각 행렬]]이며 그 [[계수 (선형대수학)|계수]]는 <math>l</math>이다.

=== 대수적 구성 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[복소수체]] 위의 유한 차원 [[이차 리 대수]] <math>(\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C},\langle |\rangle \colon\stackrel\circ{\mathfrak g}\otimes_K\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}\to\mathbb C)</math>. (만약 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math>가 [[반단순 리 대수]]라면, 이는 [[킬링 형식]]으로 잡을 수 있다. 만약 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math>가 [[아벨 리 대수]]라면, 마찬가지로 적절한 쌍선형 형식을 잡을 수 있다. 만약 둘 다 아니라면, 이는 0으로 놓을 수 있다.)
그렇다면, '''아핀 리 대수''' <math>\hat{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math>는 <math>K</math>-[[벡터 공간]]으로서 다음과 같다.
:<math>\hat{\mathfrak g}=\stackrel\circ{\mathfrak g}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]\oplus \mathbb C\mathsf k</math>.
즉, <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math>의 계수를 가진 [[로랑 급수|로랑 다항식]] <math>\mathfrak g^{\mathbb C}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]</math>에 [[중심 확대]] <math>\mathsf k</math>를 더한 것이다. 물리학적으로 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]</math>는 대칭의 보존류들을 나타내고, <math>\mathsf k</math>는 대칭의 [[변칙 (물리학)|변칙]]을 나타낸다.

<math>\hat{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math> 위에는 다음과 같은 [[리 대수|리 괄호]]를 정의한다. <math>a,b\in\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math>라고 하면,
:<math>[a\mathsf z^m,b\mathsf z^n]=[a,b]\mathsf z^{m+n}+\delta_{m+n,0}m\langle a|b\rangle\mathsf k</math>
:<math>[\mathsf k,a\mathsf z^n]=[\mathsf k,\mathsf k]=0</math>
<math>\mathsf k</math>는 중심 원소이므로, 리 대수의 [[짧은 완전열]]
:<math>0 \to \mathbb C\mathsf k \to \hat{\mathfrak g}^{\mathbb C} \to \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C} \otimes \mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \to 0</math>
이 존재한다.

형식적 변수 <math>\mathsf z</math> 대신, <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 [[정규 직교 기저]] <math>g^a</math>를 잡아, 직접
:<math>g^a_m = g^a \mathsf z^m</math>
를 적을 수 있다. 이 경우 리 괄호는 다음과 같다.
:<math>[g^a_m,g^b_n]=f^{ab}{}_cg^c_{m+n}+\delta_{m+n,0}m\delta^{ab}\mathsf k</math>
:<math>[\mathsf k,g^a_m] = 0</math>
여기서 <math>f^{ab}{}_c</math>는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 구조 상수이다.

==== 실수 형태 ====
<math>\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math>가 실수 [[이차 리 대수]] <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb R}</math>의 복소화라고 하자. 그렇다면,
복소수 아핀 리 대수 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math>는 [[실수 리 대수]]로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다.
:<math>\mathsf z \mapsto \mathsf z^{-1}</math>
:<math>\mathrm i \mapsto -\mathrm i</math>
:<math>\mathsf k \mapsto \mathsf k</math>
:<math>x \mapsto x \qquad\forall x\in \stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb R}</math>
즉, 이는 두 [[복소수 벡터 공간]] 사이의 반선형({{llang|en|antilinear}}) 사상이다. 이 반선형 사상의 [[고정점]]
:<math>\hat{\mathfrak g}^{\mathbb R} = \stackrel\circ{\mathfrak g} \otimes_{\mathbb R}\mathbb R[z+z^{-1},\mathrm i(z-z^{-1})] + \mathbb R\mathsf k</math>
은 [[실수 리 대수]]를 이룬다.

==== 미분 연산의 추가 ====
[[복소수 벡터 공간]]
:<math>\tilde{\mathfrak g}^{\mathbb C} = \hat{\mathfrak g}^{\mathbb C} \oplus \mathbb C\mathsf d</math>
위에 다음과 같은 [[리 대수|리 괄호]]를 정의할 수 있다.
:<math>[\mathsf d,az^m]=-\mathrm ima\mathsf z^m \qquad \forall a\in\stackrel\circ{\mathfrak g}^{\mathbb C}</math>
:<math>[\mathsf d,\mathsf c]=0</math>
즉,
:<math>[\mathsf d,-] = -\mathrm i\mathsf z \frac{\mathrm d}{\mathrm d\mathsf z}</math>
이다. 만약 형식적으로 <math>\mathsf z = \exp(\mathrm i\mathsf t)</math>로 놓는다면,
:<math>[\mathsf d,-] = \frac{\mathrm d}{\mathrm d\mathsf t}</math>
가 된다.

또한,
:<math>[\mathsf d,a(z+z^{-1})] = - a\mathrm i(z - \mathsf z^{-1})</math>
:<math>[\mathsf d,\mathrm ia(z-z^{-1})] = a(z + \mathsf z^{-1})</math>
이므로, 이 미분 연산은 실수 형태 <math>\hat{\mathfrak g}^{\mathbb R}</math>에도 잘 정의된다.

==== 뒤틀린 아핀 리 대수 ====
<math>\stackrel\circ{\mathfrak g}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]</math>를 원 위의 [[푸리에 급수]]로 해석할 수 있다. 즉, <math>z=\exp(\mathrm i\mathsf t)</math>로 놓으면, <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]</math>를 주기적 함수 <math>\mathbb S^1\to\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>로 해석할 수 있다. 즉, <math>a(0)=a(2\pi)</math>의 주기적 경계 조건을 놓은 경우다.

만약 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>가 자명하지 않은 [[자기 동형]] <math>\sigma\in\operatorname{Aut}(\stackrel\circ{\mathfrak g})</math>를 가진다면, 다음과 같은 경계 조건을 생각할 수 있다.
:<math>\sigma a(0)=a(2\pi)</math>.
이와 같은 경우를 '''뒤틀린 아핀 리 대수'''({{lang|en|twisted affine Lie algebra}})라고 한다. 마찬가지로 '''뒤틀린 카츠-무디 대수'''({{lang|en|twisted Kač–Moody algebra}})를 정의할 수 있다.

=== 아핀 리 대수의 기하학적 정의 ===
아핀 리 대수는 기하학적으로 [[리 대수]] 값의 [[주기 함수]]를 통해 구성될 수 있다.<ref name="Frenkel"/>{{rp|824, §4.1}}

구체적으로, [[킬링 형식]]이 [[음의 정부호]]인 실수 [[단순 리 대수]] <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[실수 프레셰 공간]]
:<math>\mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,\stackrel\circ{\mathfrak g})</math>
을 정의할 수 있다. 이는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>값의 [[매끄러운 함수|매끄러운]] [[주기 함수]]로 구성된다. 그 위의 [[실수 벡터 공간]] 구조는 점별 덧셈이며, 점별 [[리 괄호]]를 부여하면 이는 [[리 대수]]를 이룬다. 그 복소화는 ([[푸리에 급수]]로서) 다음과 같은 부분 [[벡터 공간]]을 갖는다.
:<math>\iota\colon \mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \otimes_{\mathbb R} \stackrel\circ{\mathfrak g} \subseteq \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} \otimes_{\mathbb R} \mathbb C</math>
:<math>\iota(\mathsf z^n \otimes x)\colon t \mapsto \exp(\mathrm itn)x \qquad(x\in\mathfrak g,\;t\in \mathbb R/2\pi\mathbb Z = \mathbb S^1)</math>
이 경우, 우변을 좌변의 ([[프레셰 공간]]으로의) [[완비 균등 공간|완비화]]로 여길 수 있다. 실수 계수로는, 이는
:<math>\iota_{\mathbb R} \colon \mathbb R[\mathsf z+\mathsf z^{-1},\mathrm i(\mathsf z-\mathsf z^{-1})] \otimes_{\mathbb R} \stackrel\circ{\mathfrak g} \to \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>
이다.

고리 리 대수 <math>\mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 [[리 대수 코호몰로지]]에서, 다음과 같은 2차 [[공사슬]]이 존재한다.
:<math>\alpha \colon \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} \times \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} \to \mathbb R</math>
:<math>\alpha\colon (x, y) \mapsto \frac{\delta^2}{2\pi}\int_{\mathbb S^1} \langle x(t)|y(t)\rangle \,\mathrm dt</math>
여기서
* <math>\langle-|-\rangle</math>은 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math> 위의 어떤 임의의 [[불변 다항식|불변]] [[비퇴화 이차 형식]]이다. (이는 [[킬링 형식]]의 스칼라배이다.) 비퇴화성으로 인하여, 이는 [[쌍대 공간]] <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}^*</math> 위의 [[비퇴화 이차 형식]]으로도 여길 수 있다.
* <math>\delta^2</math>는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 [[근계]]의 가장 긴 근의 제곱 노름이다. 여기서 제곱 노름은 <math>\langle-|-\rangle</math>에 따른 것이다.
* <math>\mathbb S^1</math>의 [[측도]] <math>\mathrm dt</math>에 따르면, <math>\textstyle\int_{\mathbb S^1}\mathrm dt = 2\pi</math>이다.
이 2차 [[공사슬]]은 [[리 대수]]의 [[짧은 완전열]]
:<math>0 \to \mathbb R \to \bar{\mathfrak g} \to \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} \to 0</math>
을 정의한다. 이 경우, <math>\mathfrak g</math>에 대응하는 뒤틀리지 않은 아핀 리 대수 <math>\hat{\mathfrak g}</math>는 자연스럽게 다음과 같이 <math>\bar{\mathfrak g}</math>의 부분 리 대수가 된다.
:<math>
\begin{matrix}
0 & \to & \mathbb R & \to & \hat{\mathfrak g} & \to & \stackrel\circ{\mathfrak g} \otimes_{\mathbb R} \mathbb R[z+z^{-1}, \mathrm i(z-z^{-1})] & \to & 0 \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
0 &\to & \mathbb R& \to & \bar{\mathfrak g} & \to & \mathrm L\stackrel\circ{\mathfrak g} & \to & 0
\end{matrix}</math>

=== 리 군의 기하학적 정의 ===
실수 계수 아핀 리 대수의 [[프레셰 공간]] 완비화는 어떤 [[프레셰 다양체]]인 리 군의 [[리 대수]]이다.<ref name="Frenkel"/>{{rp|825, §4.1}}

구체적으로, [[단일 연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[단순 리 군]] <math>\stackrel\circ G</math>와 그 [[실수 리 대수]] <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 [[고리군]]을 정의할 수 있다.
:<math>\mathrm L\stackrel\circ G = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1, \stackrel\circ G)</math>
즉, 이는 <math>\stackrel\circ G</math>값의 [[매끄러운 함수|매끄러운]] [[주기 함수]]의 공간이다. 이는 [[프레셰 다양체]]를 이루며, 점별 곱셈을 통하여 [[위상군]]을 이룬다.

아핀 리 대수는 <math>\mathbb R[\mathsf z+\mathsf z^{-1},\mathrm i(\mathsf z-\mathsf z^{-1})] \otimes_{\mathbb R} \stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 [[중심 확대]]이다. [[위상군]]으로서, 이는 [[짧은 완전열]]
:<math>1\to \operatorname U(1) \to \hat G \to \mathrm L\stackrel\circ G \to 1</math>
에 해당한다. 위상수학적으로, 이는 [[U(1)]] [[주다발]]을 이룬다.

구체적으로, 원판 <math>\mathbb D^2</math>를 생각하자. 이제,
:<math>\mathrm L\stackrel\circ G = G_{\mathbb D^2} / \mathcal G</math>
:<math>G_{\mathbb D^2} = \mathcal C^\infty(\mathbb D^2, G)</math>
:<math>\mathcal G = \{\alpha\in G_{\mathbb D^2} \colon \alpha \restriction \partial\mathbb D^2 = 1_{\stackrel\circ G} \} \cong \mathcal C^\infty_\bullet(\mathbb S^2, \stackrel\circ G)</math>
이다. 여기서 <math>\mathcal G</math>는 일종의 [[게이지 변환군]]으로 여길 수 있다. 이제, <math>G_{\mathbb D^2}</math> 위의 다음과 같은 함수를 생각하자.
:<math>\gamma \colon G_{\mathbb D^2} \times G_{\mathbb D^2} \to \mathbb R</math>
:<math>\gamma (g,h) = \frac1{4\pi\delta^2}\int_{\mathbb D^2} \langle g^{-1}\mathrm dg|h^{-1}\mathrm dh\rangle</math>
여기서
* <math>\langle-|-\rangle</math>는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math> 위의 [[불변 다항식|불변]] [[비퇴화 이차 형식]]이며, (예를 들어) [[딸림표현]]에서의 [[대각합]] <math>\langle x,y\rangle = \operatorname{tr}(xy)</math>으로 여길 수 있다.
* <math>\delta^2</math>는 <math>\langle-|-\rangle</math>에 따른, <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 [[근계]]의 가장 긴 근의 제곱 노름이다. 
그렇다면,
:<math>\exp(\mathrm il\gamma(-,-)) \colon G_{\mathbb D^2} \times G_{\mathbb D^2} \to \mathbb C\qquad(l\in\mathbb Z)</math>
는 (자명한 계수의) <math>\mathcal C^\infty(\mathbb D^2, G)</math>의 [[군 코호몰로지]]의 2차 [[공사슬]]을 이루며, 이는 <math>G_{\mathbb D^2}</math>의 [[중심 확대]]
:<math>1\to\operatorname U(1) \to \hat G_{\mathbb D^2} \to G_{\mathbb D^2} \to 1</math>
를 정의한다. 

이제, 임의의 <math>\alpha\in\mathcal G</math>에 대하여,
:<math>\iota_l \colon \mathcal G \to \hat G_{\mathbb D^2}</math>
:<math>\iota_l \colon \alpha \mapsto  \left(\alpha, \exp\left(
\frac{\mathrm il}{12\pi\delta^2}
\int_{\mathbb D^3} \operatorname{tr}(\bar\alpha^{-1} \mathrm d\bar\alpha)^3
\right)\right)</math>
를 정의할 수 있다. 여기서
:<math>\bar\alpha \colon \mathbb D^3 \to\stackrel\circ G </math>
:<math>(\bar\alpha \restriction \partial\mathbb D^3) = \alpha</math>
는 <math>\alpha\colon \mathbb S^2 \to\stackrel\circ G</math>의, 3차원 공 <math>\mathbb D^3</math>으로의 임의의 확장이다. 이 경우, 위 표현이 <math>\bar\alpha</math>의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이 사상은 사실상 [[베스-추미노-위튼 모형]]의 [[작용 (물리학)|작용]]의 항에 해당한다.

이 사상은 [[단사 함수]]이자 [[군 준동형]]이며, <math>\iota_l(\mathcal G)</math>는 <math>\hat G_{\mathbb D^2}</math>의 [[정규 부분군]]이다. 따라서, [[몫군]]
:<math>\hat G_l = \frac{\hat G_{\mathbb D^2}}{\iota_l(\mathcal G)}</math>
을 정의할 수 있다. 이는 [[짧은 완전열]]
:<math>1 \to \operatorname U(1) \to \hat G_l \to \mathrm LG \to 1</math>
을 구성한다. (정수 <math>l \in \mathbb Z</math>은 <math>\hat{\mathfrak g}</math>의 표현의 준위에 해당한다.) 정의에 따라, <math>\hat G_l</math>의 [[리 대수]]는 (<math>l\ne 0</math>일 경우, <math>l</math>의 값에 상관없이) <math>\hat{\mathfrak g}</math>이다.

== 성질 ==
아핀 리 대수는 항상 대칭화 가능 카츠-무디 대수이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분은 중복수 1의 고윳값 0을 가지며, 나머지 고윳값들은 모두 양수이다. 따라서, 아핀 리 대수의 카르탕 행렬식은 항상 0이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분의 나머지 고윳값들은 그 기본 단순 리 대수의 것들과 같다.

=== 콕서터 수와 쌍대 콕서터 수 ===
아핀 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 단순근들이 <math>\alpha_0,\dots,\alpha_n</math>이며, 단순 쌍대근들이 <math>\alpha_0^\vee,\dots,\alpha_n^\vee</math>라고 하자. '''콕서터 라벨'''({{llang|en|Coxeter label}}) <math>a_i</math>와 '''쌍대 콕서터 라벨'''({{llang|en|dual Coxeter label}}) <math>a_i^\vee</math>는 [[카르탕 행렬]] <math>A</math>에 대하여
:<math>0=a^\top A=Aa^\vee</math>
를 만족시키는 벡터이다.<ref name="Fuchs"/>{{rp|96, (2.1.16)}} 이 경우, <math>a</math> 및 <math>a^\vee</math>의 모든 성분들이 양의 정수이며 [[최대 공약수]]가 1이게 정의한다.

아핀 리 대수의 '''콕서터 수'''({{llang|en|Coxeter number}}) <math>h</math>와 '''쌍대 콕서터 수'''({{llang|en|dual Coxeter number}}) <math>h^\vee</math>는 각각 (쌍대) 콕서터 라벨의 성분들의 합이다.
:<math>\mathsf h(\mathfrak g)=\sum_{i=0}^na_i</math>
:<math>\mathsf h^\vee(\mathfrak g)=\sum_{i=0}^na_i^\vee</math>

아핀 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 '''표준 중심 원소'''(標準中心元素, {{llang|en|canonical central element}}) <math>k\in\mathfrak h</math>는 다음과 같이 정의되는, [[카르탕 부분 대수]] <math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math>의 원소이다.
:<math>k=\sum_{i=0}^na_i^\vee\alpha_i^\vee</math>
그렇다면, <math>\mathfrak g</math>의 중심은 1차원 부분 대수
:<math>\operatorname Z(\mathfrak g)=\mathbb C\mathsf k</math>
이다. 마찬가지로,
:<math>\delta=\sum_{i=0}^na_i\alpha_i</math>
를 정의하자.

=== 근계의 구조 ===
아핀 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 기본 단순 리 대수가 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>라고 하자. <math>r</math>가 아핀 리 대수를 구성할 때 사용한 [[자기 동형]]의 차수라고 하자. 예를 들어, <math>\tilde D_4^{(3)}</math>의 경우, <math>r=3</math>이다. 그렇다면, <math>\mathfrak g</math>의 실근들의 집합 <math>\Delta^{\text{re}}(\mathfrak g)</math>는 구체적으로 다음과 같다.<ref name="Kac"/>{{rp|83, Proposition 6.3a,b,c}}
:<math>\Delta^{\text{re}}(\mathfrak g)=\begin{cases}
\stackrel\circ\Delta+\mathbb Z\delta&r=1\\
(\stackrel\circ\Delta_\text{short}+\mathbb Z\delta)\cup(\stackrel\circ\Delta_{\text{long}}+r\mathbb Z\delta)&r\in\{2,3\},\;\mathfrak g\not\cong A_{2n}^{(2)}\\
\frac12\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{long}}+(2\mathbb Z-1)\delta\right)\cup
\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{short}}+\mathbb Z\delta\right)\cup
\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{long}}+2\mathbb Z\delta\right)
&\mathfrak g\cong A_{2n}^{(2)}
\end{cases}</math>
<math>\mathfrak g</math>의 허근들의 집합 <math>\Delta^{\text{im}}(\mathfrak g)</math>는 다음과 같다.<ref name="Kac"/>{{rp|64, Theorem 5.6b}}
:<math>\Delta^{\text{im}}(\mathfrak g)=(\mathbb Z\setminus\{0\})\delta</math>
(영벡터는 정의에 따라 근이 아니다.) 또한, <math>\delta</math>는 항상 양근이다. 즉, 양의 허근들의 집합은 다음과 같다.<ref name="Kac"/>{{rp|64, Theorem 5.6b}}
:<math>\Delta^{\text{im},+}(\mathfrak g)=\mathbb Z^+\delta</math>

=== 기본 단순 리 대수 ===
단순근들의 순서를 임의로 잡았을 때, <math>\mathfrak g</math>의 '''축척 원소'''({{llang|en|scaling element}}) <math>d\in\mathfrak h</math>는 다음 성질을 만족시키는, 카르탕 부분 대수의 원소이다.
:<math>\langle\alpha_i,d\rangle=\delta_{i,0}</math>
축척 원소를 선택하였다면, <math>\mathfrak g</math>와 그 카르탕 부분 대수 <math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math>는 다음과 같은 구체적인 기저로 나타낼 수 있다.
:<math>\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathfrak g]\oplus\mathbb C\mathsf d</math>
:<math>\mathfrak h=\operatorname{Span}\{\alpha_0^\vee,\dots,\alpha_r^\vee,d\}</math>
<math>\mathfrak h</math>에서, <math>k</math> 및 <math>d</math>에 수직이 되는 부분 공간을 <math>\stackrel\circ{\mathfrak h}</math>라고 하자.
:<math>\mathfrak h=\stackrel\circ{\mathfrak h}\oplus\mathbb C\mathsf k\oplus\mathbb C\mathsf d</math>

아핀 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 슈발레 생성원을
:<math>(e_0,f_0),\dots,(e_n,f_n)</math>
이라고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 '''기본 단순 리 대수'''({{llang|en|underlying simple Lie algebra}}) <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}\subsetneq\mathfrak g</math>는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak h}</math> 및 <math>(e_1,f_1),\dots,(e_n,f_n)</math>로 생성되는 리 부분 대수이다. 이는 항상 유한 차원 [[단순 리 대수]]이며, 기본 단순 리 대수 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 카르탕 부분 대수는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak h}</math>이며, 그 근계 및 쌍대 근계는
:<math>\stackrel\circ\Delta=\Delta\cap\stackrel\circ{\mathfrak h}^*</math>
:<math>\stackrel\circ\Delta^\vee=\Delta^\vee\cap\stackrel\circ{\mathfrak h}</math>
이며, 그 단순근 및 단순 쌍대근들은 각각
:<math>\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}</math>
:<math>\{\alpha_1^\vee,\dots,\alpha_n^\vee\}</math>
이다.

=== 바일 군 ===
아핀 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 [[바일 군]] <math>\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)</math>은 아핀 [[콕서터 군]]이며, 그 기본 단순 리 대수 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 바일 군 <math>\operatorname{Weyl}(\stackrel\circ{\mathfrak g})</math>과 어떤 [[자유 아벨 군]]의 [[반직접곱]]이다.<ref name="Kac"/>{{rp|88, Proposition 6.5}}
:<math>\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)=\operatorname{Weyl}(\stackrel\circ{\mathfrak g}) \rtimes M</math>
여기서
:<math>M=\begin{cases}\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\stackrel\circ\Delta&r=1\\
\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\stackrel\circ\Delta^\vee&r\in\{2,3\}
\end{cases}</math>
는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak h}</math> 속의 격자(의 병진 이동군)이다. 여기서, 단순 리 대수의 근계에 주어진 내적을 사용하여 동형 <math>\circ{\mathfrak h}\cong\circ{\mathfrak h}^*</math>를 암묵적으로 사용하였다.

=== 표현론 ===
<math>\stackrel\circ\mathfrak g</math>의 유한 차원 유니터리 표현
:<math>\stackrel\circ\rho\colon \mathfrak g \to \mathfrak u(n)</math>
이 주어졌으며, [[자연수]] <math>k\in\mathbb N</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 <math>\hat{\mathfrak g}</math>에서, 포함 관계 <math>\iota\colon\stackrel\circ{\mathfrak g} \to \hat{\mathfrak g}</math>에 대하여
:<math>\stackrel\circ\rho = \rho \circ \iota</math>
이며
:<math>\rho(\mathsf k) = k</math>
가 되는, 무한 차원 [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[복소수 힐베르트 공간]]으로 가는 [[기약 표현]]
:<math>\rho \colon \hat{\mathfrak g} \to \mathcal L(\mathcal H,\mathcal H)</math>
이 유일하게 존재한다.

=== 스가와라 구성 ===
[[단순 리 대수]] <math>\stackrel\circ\mathfrak g</math>에 대응되는 (뒤틀리지 않은) 복소수 아핀 리 대수 <math>\hat\mathfrak g=\mathbb g[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \oplus \mathbb C\mathsf c</math>의 [[리 대수의 표현|표현]] <math>V</math>가 주어졌다고 하자.

이 경우, <math>V</math>에 다음과 같은 [[비라소로 대수]]의 표현이 존재한다.
:<math>\mathsf L_n = \frac1{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\mathfrak g)} \sum_{m \in\mathbb Z} \eta_{ab} (x^a\mathsf z^m)(x^b\mathsf z^{-m}) \qquad (n\ne0)</math>
:<math>\mathsf L_0 = \frac2{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\mathfrak g)} \sum_{m =0}^\infty \eta_{ab} (x^a\mathsf z^m)(x^b\mathsf z^{-m})</math>
:<math>\mathsf c = \frac{\mathsf k\dim \stackrel\circ{\mathfrak g}}{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\stackrel\circ{\mathfrak g})}</math>
이를 '''스가와라 구성'''([菅原]構成, {{llang|en|Sugawara construction}})이라고 한다.<ref name="Schlichenmaier">{{저널 인용|제목=Sugawara construction for higher genus Riemann surfaces|이름=Martin |성=Schlichenmaier|arxiv=math/9806032|날짜=1998|언어=en}}</ref><ref name="Gawedzki">{{저널 인용|제목=Conformal field theory: a case study|이름=Krzysztof|성=Gawędzki|날짜=1999-04-21|arxiv=hep-th/9904145|언어=en}}</ref>{{rp|(4.15), §4.2}} 여기서
* <math>\mathsf h^\vee(\stackrel\circ{\mathfrak g})</math>는 [[단순 리 대수]] <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 [[이중 콕서터 수]]이다.
* <math>\eta_{ab}</math>는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 [[킬링 형식]]의 스칼라배이며, 이 [[비퇴화 이차 형식]]에 따라서 <Math>\mathfrak g</math>의 근 가운데 가장 긴 것의 제곱 길이가 2이다. (만약 짧은 근이 존재한다면, 그 제곱 길이는 1이 된다.)
* <math>\mathsf k</math>는 중심 원소이므로, 기약 표현에서 그 값은 상수이다. 따라서 단순히 수로 취급할 수 있다.
* 합이 무한해 보이지만, 이들이 [[사다리 연산자]]로 작용하므로, 실제로는 각 [[베르마 가군]]에서 적절한 기저에서 각 기저 벡터의 경우 오직 유한 개의 항만이 작용하게 된다.
* <math>\mathsf L_0</math>의 정의가 특별한 것은 [[표준 순서]]를 가했기 때문이다.

보다 일반적으로, 반단순 리 대수 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>의 표현 <math>V</math> 및 부분 단순 리 대수 <math>\stackrel\circ{\mathfrak h}\subseteq\stackrel\circ{\mathfrak g}</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\hat{\mathfrak g}</math>에 대응하는 스가와라 구성
:<math>(\mathsf L'_n,\mathsf c')_{\mathbb Z}</math>
및 <math>\hat{\mathfrak h}</math>에 대응하는 스가와라 구성
:<math>(\mathsf L''_n,\mathsf c'')_{\mathbb Z}</math>
이 주어진다. 이 경우,
:<math>\mathsf L_n = \mathsf L'_n - \mathsf L''_n</math>
:<math>\mathsf c = \mathsf c' - \mathsf c'' = \frac{\mathsf k\dim \stackrel\circ{\mathfrak g}}{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\stackrel\circ{\mathfrak g})} - \frac{\mathsf k\dim \stackrel\circ{\mathfrak h}}{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\stackrel\circ{\mathfrak h})}</math>
를 정의하면, 이는 비라소로 대수의 유니터리 표현을 이룬다.<ref name="GKO">{{저널 인용|제목=Unitary representations of the Virasoro and super-Virasoro algebras|이름=Peter|성=Goddard|이름2=Adrian|성2=Kent|이름3=David|성3=Olive|저널=Communications in Mathematical Physics|권=103|호=1|날짜=1986|쪽=105–119|mr=0826859|zbl=0588.17014|doi=10.1007/BF01464283|issn=0010-3616|언어=en}}</ref> 이를 '''공액류 구성'''({{llang|en|coset construction}}) 또는 '''고더드-켄트-올리브 구성'''({{llang|en|Goddard–Kent–Olive construction}}) 또는 '''GKO 구성'''({{llang|en|GKO construction}})이라고 한다.

이를 통하여 [[비라소로 대수]]의 모든 <math>c<1</math> 유니터리 표현을 구현할 수 있다. 구체적으로, <math>c = 1-6/(k+2)(k+3)</math> 유니터리 표현을 구현하려면,
:<math>\hat{\mathfrak g} = \widehat{\mathfrak{su}}(2)_k\times\widehat{\mathfrak{su}}(2)_1</math>
:<math>\hat{\mathfrak h} = \widehat{\mathfrak{su}}(2)_{k+1}</math>
를 취하면 된다. 여기서 <math>\stackrel\circ{\mathfrak h}=\mathfrak{su}(2)</math>는 <math>\stackrel\circ{\mathfrak g}=\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)</math>의 대각 성분이다. 이 경우
:<math>\dim\mathfrak{su}(2) = 3</math>
:<math>\mathsf h^\vee(\mathfrak{su}(2)) = 2</math>
이므로,
:<math>\mathsf c=\frac{3k}{k+2}+\frac{3\times1}{1+2}-\frac{3(k+1)}{k+3}=1-\frac6{(k+2)(k+3)}</math>
임을 계산할 수 있다.

== 분류 ==
단순 아핀 리 대수들 및 그 딘킨 도표들은 다음과 같다. 아래 표에서, "긴 실근의 동치류 수"는 근 <math>\Delta</math>에서, <math>\delta</math>를 더한 것을 무시한 동치류들의 수 가운 데, 긴 근 및 짧은 근들의 수이다. (<math>\tilde A_{2n}^{(2)}</math>의 경우 근의 길이가 세 종류가 있으며, 이 경우 중간 길이 및 가장 짧은 길이의 근들의 수를 "짧은 근"에 표기하였다.) 이 경우 긴 근의 길이는 항상 <math>\sqrt2</math>로 규격화하였고, 짧은 근의 길이는 이에 비례하여 측정하였다.

딘킨 그림에서, 4중 화살표 (즉, 카르탕 행렬에서 <math>A_{ij}A_{ji}=4</math>인 경우)는 <math>\xrightarrow4</math> 및 <math>\stackrel4\leftrightarrow</math>로 표기하였다. 이 경우 <math>A_{ij}=A_{ji}=-2</math>인 경우는 <math>\stackrel4\leftrightarrow</math>이며, <math>A_{ij}=-1,\;A_{ji}=-4</math>인 경우는 <math>\xrightarrow4</math>이다.

{| class="wikitable"
|- style="font-size: smaller"
!기호<br><ref name="Kac"/>{{rp|53–55}} || 타 기호<br><ref name="Nauta">{{서적 인용|url=https://esc.fnwi.uva.nl/thesis/centraal/files/f91068273.pdf|제목=Affine Lie algebras and affine root systems|이름=Jan S.|성=Nauta|출판사=[[암스테르담 대학교]]|기타=석사 학위 논문|날짜=2012-04-20|언어=en}}{{깨진 링크|url=https://esc.fnwi.uva.nl/thesis/centraal/files/f91068273.pdf }}</ref>{{rp|24}} || 타 기호<br><ref name="Macdonald">{{서적 인용|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-052182472-9 |제목=Affine Hecke algebras and orthogonal polynomials|이름=I. G. |성=Macdonald|doi=10.1017/CBO9780511542824|날짜=2003|총서=Cambridge Tracts in Mathematics	|권= 157|언어=en}}</ref>{{rp|6–12}} || 타 기호<br><ref name="Fuchs"/>{{rp|94–95}} || 바일 군 궤도 수 || 긴 실근의<br>동치류 수 || 짧은 실근의<br>동치류 수 || 딘킨 도표 || 콕서터 라벨<br><ref name="Fuchs"/>{{rp|94–95}} || 쌍대 콕서터 라벨<br><ref name="Fuchs"/>{{rp|94–95}}<ref name="Nauta"/>{{rp|24–25}} || 콕서터 수<ref name="Kac"/>{{rp|80}} || 쌍대 콕서터 수<ref name="Kac"/>{{rp|80}}
|- align=center
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| <math>A_1^u=A_1^t</math>
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|- align=center
!<math>\tilde A_n</math><br><math>(n\ge2)</math>
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| <math>\bullet\Leftarrow\bullet-\cdots-\bullet<{\bullet\atop\bullet}</math>
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|- align=center
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| <math>\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet-\cdots-\bullet-\bullet\Leftarrow\bullet</math>
| <math>1\Rightarrow2-2-\cdots-2-2\Leftarrow1</math>
| <math>1\Rightarrow1-1-\cdots-1-1\Leftarrow1</math>
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|- align=center
!<math>\tilde D_n</math>
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|- align=center
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| colspan=2 | <math>{2\atop{}}{-\atop{}}{4\atop3}>6-5-4-3-2-1</math>
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|- align=center
!<math>\tilde F_4</math>
| <math>F_4^u</math>
| <math>F_4</math>
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| 2
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| 24 (길이 1)
| <math>\bullet-\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet</math>
| <math>1-2-3\Rightarrow4-2</math>
| <math>1-2-3\Rightarrow2-1</math>
| 12
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|- align=center
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| <math>G_2^u</math>
| <math>G_2</math>
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| 6
| 6 (길이 <math>\sqrt{2/3}</math>)
| <math>\bullet-\bullet\Rrightarrow\bullet</math>
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| 6
| 4
|- align=center
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| <math>B_n^\vee</math>
| <math>C_n^{(2)}</math>
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| <math>2n(n-1)</math> (길이 1)
| <math>\bullet\Rightarrow\bullet-\cdots-\bullet<{\bullet\atop\bullet}</math>
| <math>1\Rightarrow2-\cdots-2<{1\atop1}</math>
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|- align=center
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| <math>BC_1^m</math>
| <math>BC_1</math>
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| <math>2</math> (길이 <math>1/\sqrt2</math>)
| <math>\bullet\xrightarrow4\bullet</math>
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|- align=center
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| <math>BC_n</math>
| <math>\tilde B_n^{(2)}</math>
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| <math>2n(n-1)</math> (길이 1)<br><math>2n</math> (길이 <math>1/\sqrt2</math>)
| <math>\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet-\cdots-\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet</math>
| <math>1\Rightarrow2-2-\cdots-2-2\Rightarrow2</math>
| <math>2\Rightarrow2-2-\cdots-2-2\Rightarrow1</math>
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|- align=center
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| 6 (길이 <math>\sqrt{2/3}</math>)
| <math>\bullet-\bullet\Lleftarrow\bullet</math>
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! <math>\tilde D_{n+1}^{(2)}</math>
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| <math>C_n^\vee</math>
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| <math>2n</math> (길이 1)
| <math>\bullet\Leftarrow\bullet-\bullet-\cdots-\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet</math>
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| <math>n+1</math>
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|- align=center
! <math>\tilde E_6^{(2)}</math>
| <math>F_4^t</math>
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| 24
| 24 (길이 1)
| <math>\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet-\bullet</math>
| <math>1-2\Rightarrow3-2-1</math>
| <math>2-4\Rightarrow3-2-1</math>
| 9
| 12
|}
아핀 리 대수의 카르탕 행렬은 딘킨 도표에서 하나의 꼭짓점을 제거하여 얻는 [[단순 리 대수]]의 카르탕 행렬 및 콕서터 라벨 · 쌍대 콕서터 라벨로 재구성할 수 있다.

=== Ã<sub>''n''</sub> ===
<math>n\ge2</math>일 경우, <math>\tilde A_n</math>의 카르탕 행렬은 다음과 같은 <math>(n+1)\times(n+1)</math> 대칭 [[정사각 행렬]]이다.
:<math>\operatorname{Cartan}(\tilde A_n)=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & \cdots  & 0 & -1 \\
-1 & 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & -1 & \dots & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 2& -1\\
-1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2
\end{pmatrix}</math>
<math>\tilde A_1</math>의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Cartan}(\tilde A_1)=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}</math>
<math>\tilde A_n</math>의 [[딘킨 도표]]는 <math>n\ge2</math>일 경우 <math>n+1</math>개의 꼭짓점을 갖는 [[순환 그래프]]이다.

=== Ã<sub>2''n''</sub><sup>(2)</sup> ===
<math>n\ge2</math>일 때, <math>\tilde A_{2n}^{(2)}</math>의 카르탕 행렬은 다음과 같은 <math>(n+1)\times(n+1)</math> 비대칭 [[정사각 행렬]]이다.
:<math>\operatorname{Cartan}(\tilde A_{2n}^{(2)})=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 &  \cdots & 0 & 0 & 0 \\
-2 & 2 & -1 &  \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 &   \dots  & 0& 0 &  0 \\
\vdots & \vdots & \vdots  & \ddots & \vdots& \vdots &\vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2& -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & -1& 2& -1\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -2 & 2
\end{pmatrix}</math>
여기서 행·열 <math>0,1,\dots,n</math>의 순서는 다음과 같다.
:<math>\alpha_0\Rightarrow\alpha_1-\cdots-\alpha_{n-1}\Rightarrow\alpha_n</math>

<math>\tilde A_2^{(2)}</math>의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Cartan}(\tilde A_2^{(2)})
=\begin{pmatrix}2&-1\\-4&2\end{pmatrix}
</math>
여기서 행·열 0, 1의 순서는 다음과 같다.
:<math>\alpha_0\xrightarrow4\alpha_1</math>

=== G̃<sub>2</sub>와 D̃<sub>4</sub><sup>(3)</sup> ===
[[파일:G2 affine chamber.svg|섬네일|right|<math>\tilde G_2</math>의 근계. 여기서 <math>\alpha=\alpha_2</math>는 <math>G_2</math>의 유일한 짧은 근, <math>\beta=\alpha_1</math>는 <math>G_2</math>의 유일한 긴 근이며, <math>\gamma=a_1\alpha_1+a_2\alpha_2=\delta</math>이다. 양근은 붉은 색으로, 음은은 푸른 색으로 표시되었다. 이에 대응하는 반사 <math>\psi_\alpha</math>, <math>\psi_\beta</math>, <math>\psi_\gamma</math>는 <math>\tilde G_2</math>의 바일 군을 생성하며, 바일 군의 기본 벽감(fundamental alcove)는 [[직각삼각형]] <math>\mathcal C</math>이다.]]
<math>\tilde G_2</math>의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Cartan}(\tilde G_2)=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0\\
-1 & 2&-1\\
0 & -3&2 \end{pmatrix}
</math>
여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는
:<math>\alpha_0-\alpha_1\Rrightarrow\alpha_2</math>
이다.

<math>\tilde D_4^{(3)}</math>의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Cartan}(\tilde D_4^{(3)})=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0\\
-1 & 2&-3\\
0 & -1&2 \end{pmatrix}
</math>
여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는
:<math>\alpha_0-\alpha_1\Lleftarrow\alpha_2</math>
이다.

== 예 ==
<math>\mathfrak g = \mathbb C</math>가 1차원 [[아벨 리 대수]]라고 하자. 그렇다면, 그 로랑 다항식 대수
:<math>\mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]</math>
역시 [[아벨 리 대수]]이다. 이 경우, 중심 확대
:<math>0 \to \mathbb C\mathsf k \to \hat{\mathfrak g} \to \mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \to 0</math>
에서
:<math>[\mathsf z^m,\mathsf z^n] = \delta_{m+n,0} m\mathsf k</math>
:<math>[\mathsf k,\mathsf z^m] = 0</math>
이 된다. 이 경우,
:<math>\mathsf z^{-n} = \sqrt n\mathsf p_n\qquad(n>0)</math>
:<math>\mathsf z^n = \sqrt n\mathsf q_n\qquad(n>0)</math>
:<math>\mathsf k = \hbar</math>
로 놓으면,
:<math>[\mathsf q_m,\mathsf p_n] = \delta_{m,n}\hbar</math>
가 되어, 이는 무한 차원 [[하이젠베르크 리 대수]]와 (<math>\mathsf z^0</math>으로 생성되는) 1차원 [[아벨 리 대수]]의 [[직합]]이 된다.<ref name="Schlichenmaier"/>{{rp|§2.4}} 특히, 이는 무한 차원 [[보손]] [[포크 공간]] <math>\mathbb C[\mathsf x_1,\mathsf x_2,\dotsb]</math> 위에 표준적으로 작용한다.<ref name="Schlichenmaier"/>{{rp|(2.19)}}

이 경우, 스가와라 구성은 다음과 같다.<ref name="Schlichenmaier"/>{{rp|(2.23)}}
:<math>\mathsf L_n = - \frac12\sum_{m\in\mathbb Z} \mathsf z^{\min\{m,n-m\}} \mathsf z^{\max\{m,n-m\}} </math>
:<math>\mathsf c = 1</math>
물리학적으로, 이는 자유 [[보손]]에 대한 [[2차원 등각 장론]]에 해당한다.

== 역사 ==
아핀 리 대수는 (다른 [[카츠-무디 대수]]와 함께) [[빅토르 카츠]]와 로버트 무디({{llang|en|Robert Moody}})가 발견하였다. ‘아핀’이라는 이름은 그 [[바일 군]]이 [[근계]]에 아핀 변환으로 작용하기 때문이다.

스가와라 구성은 스가와라 히로타카({{llang|ja|{{ruby-ja|菅原 寛孝|すがわら ひろたか}}}})가 1968년에 발견하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Hirotaka|성=Sugawara|제목= A field theory of currents|저널=Physical Review|권=176|쪽=2019–2025|날짜=1968|doi=10.1103/PhysRev.170.1659|bibcode=1968PhRv..170.1659S|언어=en}}</ref> 공액 구성은 피터 고더드({{llang|en|Peter Goddard}}, 1945〜) · 에이드리언 켄트({{llang|en|Adrian Kent}}) · 데이비드 올리브({{llang|en|David Olive}}, 1937〜2012)가 1985년에 발견하였다.<ref>{{저널 인용|성=Goddard|이름=Peter|성2= Kent|이름2= A.|성3= Olive|이름3= D.|제목= Virasoro algebras and coset space models|저널= Physics Letters B |권=152|쪽= 88 |날짜=1985|언어=en}}</ref>
<ref name="GKO"/>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류|Affine Dynkin diagrams|아핀 딘킨 도표}}
* {{eom|title=Kac-Moody algebra}}
* {{nlab|id=affine Lie algebra|title=Affine Lie algebra}}
* {{웹 인용|이름1=Malka|성1=Schaps|이름2=Crystal|성2=Hoyt|제목=Lecture notes from the Representation Theory Seminar at Bar-Ilan University 2010-2011|url=http://u.math.biu.ac.il/~hoyt/Affine.htm|언어=en|확인날짜=2012-12-07|보존url=https://web.archive.org/web/20131013005051/http://u.math.biu.ac.il/~hoyt/Affine.htm#|보존날짜=2013-10-13|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.umd.edu/~jda/kac/|제목=Affine Root Systems|이름=Jeffrey|성= Adams|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.berkeley.edu/~kwray/papers/affine_lie_algebras.pdf|이름=Kevin|성=Wray|제목=Affine Lie algebras|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.ctqm.au.dk/events/2006/October/Week42/Masterclassnotes.pdf|이름=David|성=Hernandez|제목=An introduction to affine Kac–Moody algebras|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/131107/why-are-affine-lie-algebras-called-affine|제목=Why are affine Lie algebras called affine?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]
[[분류:등각 장론]]