아핀 독립 집합 문서 원본 보기

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[[아핀 기하학]]에서 '''아핀 독립 집합'''({{lang|en|affine}}獨立集合, {{llang|en|affinely independent set}})은 모든 점이 남은 점들로 생성된 [[부분 아핀 공간]]에 속하지 않는 [[아핀 공간]] 속 점들의 집합이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[아핀 공간]] <math>A</math>의 부분 집합 <math>I\subseteq A</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>I</math>를 <math>A</math>의 '''아핀 독립 집합'''이라고 한다.
* <math>I=\varnothing</math>이거나, <math>(i'-i)_{i'\in I\setminus\{i\}}</math>가 <math>V(A)</math>의 일차 독립 집합이 되는 <math>i\in I</math>가 존재한다.
* 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여, <math>(i'-i)_{i'\in I\setminus\{i\}}</math>는 <math>V(A)</math>의 [[일차 독립 집합]]이다. (여기서 <math>V(-)</math>는 주어진 아핀 공간의 [[평행 이동]]으로 구성된 [[벡터 공간]]을 나타낸다.)
* 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여, <math>i\not\in\operatorname{Aff\,Span}_K(I\setminus\{i\})</math>이다. (여기서 <math>\operatorname{Aff\,Span}_K(-)</math>는 주어진 부분 집합으로 생성된 [[부분 아핀 공간]]을 나타낸다.)
아핀 독립 집합이 아닌 부분 집합을 '''아핀 종속 집합'''({{lang|en|affine}}從屬集合, {{llang|en|affinely dependent set}})이라고 한다. 이와 유사하게 '''아핀 독립 [[중복집합]]'''({{lang|en|affine}}獨立重復集合, {{llang|en|affinely independent multiset}})과 '''아핀 종속 중복집합'''({{lang|en|affine}}從屬重復集合, {{llang|en|affinely dependent multiset}})을 정의할 수 있다.

== 성질 ==
체 <math>K</math> 위의 벡터 공간 <math>V</math>의 부분 집합 <math>I\subseteq V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>I</math>는 아핀 독립 집합이다.
* 임의의 서로 다른 원소 <math>i_1,\dots,i_n\in I</math> 및 <math>\lambda_1,\dots,\lambda_n\in K</math>에 대하여, 만약 <math>\lambda_1i_1+\cdots+\lambda_ni_n=0_V</math>이며 <math>\lambda_1+\cdots+\lambda_n=0_K</math>라면, <math>0_K=\lambda_1=\cdots=\lambda_n</math>이다.

체 <math>K</math> 위의 아핀 공간 <math>A</math>의 유한 부분 집합 <math>I\subseteq A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>I</math>는 아핀 독립 집합이다.
* <math>\operatorname{Aff\,Span}_K(I)</math>의 차원은 <math>|I|-1</math>이다.

== 예 ==
벡터 공간의 모든 일차 독립 집합은 아핀 독립 집합이다. 아핀 공간 속의 [[공집합]]과 모든 [[한원소 집합]], 두원소 집합은 아핀 독립 집합이다. 아핀 공간의 세원소 집합이 아핀 종속 집합일 필요충분조건은 [[공선점]]이다. 체 <math>K</math> 위의 아핀 공간 <math>A</math>의 두 점 <math>a,b\in A</math>에 대하여, <math>\{a,b\}</math>가 아핀 독립 중복집합일 필요충분조건은 <math>a\ne b</math>이다.

== 같이 보기 ==
* [[아핀 틀]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성=Audin
|이름=Michèle
|제목=Geometry
|언어=en
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2003
|isbn=978-3-540-43498-6
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-642-56127-6
}}
* {{서적 인용
|성=Berger
|이름=Marcel
|저자링크=마르셀 베르제
|제목=Geometry I
|언어=en
|번역자-성1=Cole
|번역자-이름1=Michael
|번역자-성2=Levy
|번역자-이름2=Silvio
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=1987
|isbn=978-3-540-11658-5
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-540-93815-6
}}
* {{서적 인용|성=Gallier|이름=Jean|제목=Geometric methods and applications|언어=en|판=2|총서=Texts in Applied Mathematics|권=38|출판사=Springer|위치=[[뉴욕]]|날짜=2011|issn=0939-2475|isbn=978-1-4419-9960-3|doi=10.1007/978-1-4419-9961-0|lccn=2011929342}}

[[분류:아핀기하학]]