아폴로니오스 정리 문서 원본 보기

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'''아폴로니오스 정리'''(Apollonius' theorem) 또는 '''중선정리'''(中線定理)는 중 기하학에서 삼각형의 각 변들간의 관계를 설명한 정리이다. '아폴로니오스'라는 이름은 고대 [[그리스]]의 [[수학자]]인 [[페르게의 아폴로니오스]]의 이름을 딴 것이다. [[대한민국]]과 [[일본]]에서는 흔히 '''파푸스의 정리'''(Pappus's theorem)라는 이름으로도 알려져 있으나, 이외의 국가에서는 이러한 이름으로 불리지 않는다.

== 내용 ==
[[파일:Mediane.svg|섬네일|오른쪽|230px]]
그림에서 <math>BI = IC</math>일 때, 선분 <math>AI</math>는 [[중선]]([[:en:Median (geometry)|Median]])이 되고, 다음의 관계가 성립한다.
::<math>AB^2 + AC^2 = 2(BI^2 + AI^2) {= 2(CI^2 + AI^2)}\,</math>

특히, <math>AB = AC</math>가 성립할 경우, [[피타고라스의 정리]]가 된다. 즉,
::<math> AI^2 + BI^2 = AB^2 (= AC^2)\,</math>

이 정리는 [[스튜어트 정리]]에서 <math>BI = IC</math>를 가정할 때와 동일하므로 스튜어트 정리의 특수한 형태가 된다.

== 증명 ==
=== 코사인 법칙을 이용한 증명 ===
[[파일:ApolloniusTheoremProof.svg|250px|섬네일|아폴로니오스 정리의 증명]]
세 변이 각각 <math>a, b, c</math>인 삼각형에서 변 <math>a</math>를 지나도록 중선 <math>d</math>를 긋는다.  또한, 변 <math>a</math>를 이등분한 후, <math>a</math>의 절반을 <math>m</math>이라 한다. 또 변 <math>a</math>와 중선 <math>d</math>가 이루는 두 각을 각각 <math>\theta</math>와 <math>\theta^{\prime}</math>이라고 한다. 이때, <math>\theta</math>는 변 <math>b</math>와 마주보고 <math>\theta^{\prime}</math>은 변 <math>c</math>와 마주본다. 그러면 <math>\theta</math>와 <math>\theta^{\prime}</math>은 서로 [[보각]]이 되므로 <math>\cos \theta^{\prime} = - \cos \theta</math>가 된다. 이때 [[코사인 법칙]]에 의해 아래 식이 성립한다.
<math display="block">\begin{align}
b^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\
c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta' \\
&= m^2 + d^2 + 2dm\cos\theta\, \end{align}
</math>

첫째 줄의 식과 셋째 줄의 식을 더하면, 아래와 같은 결론을 얻을 수 있다.
<math display="block">b^2 + c^2 = 2(m^2 + d^2)</math>

=== 피타고라스 정리를 이용한 증명 ===
[[파일:Proof of Apollonius's theorem.svg|300px|섬네일|아폴로니오스 정리의 증명]]
<math>\triangle \mathrm{ABC}</math>에서 <math>\overline{\mathrm{BC}}</math>의 중점을 <math>\mathrm{M}</math>이라 하고, 점 <math>\mathrm{A}</math>에서 <math>\overline{\mathrm{BC}}</math>에 내린 수선의 발을 점 <math>\mathrm{H}</math>라 한다. 이때, <math>\overline{\mathrm{BM}}=\overline{\mathrm{CM}}</math>이다. [[피타고라스 정리]]를 활용하면 아래와 같이 증명할 수 있다.

<math>
\begin{matrix}
\overline{\mathrm{AB}}^2
&=&  \left( \overline{\mathrm{BM}}+\overline{\mathrm{MH}} \right)^2+\overline{\mathrm{AH}}^2 \\
&=& \overline{\mathrm{BM}}^2+2\overline{\mathrm{BM}}\times\overline{\mathrm{MH}}+\overline{\mathrm{MH}}^2+\overline{\mathrm{AH}}^2
\end{matrix}
</math>

<math>
\begin{matrix}
\overline{\mathrm{AC}}^2
&=& \left( \overline{\mathrm{CM}}-\overline{\mathrm{MH}} \right)^2+\overline{\mathrm{AH}}^2 \\
&=& \left( \overline{\mathrm{BM}}-\overline{\mathrm{MH}} \right)^2+\overline{\mathrm{AH}}^2 \\
&=& \overline{\mathrm{BM}}^2-2\overline{\mathrm{BM}}\times\overline{\mathrm{MH}}+\overline{\mathrm{MH}}^2+\overline{\mathrm{AH}}^2
\end{matrix}
</math>

<math>
\begin{matrix}
\therefore \overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{AC}}^2
&=& 2 \left( \overline{\mathrm{BM}}^2+\overline{\mathrm{MH}}^2+\overline{\mathrm{AH}}^2 \right) \\
&=& 2 \left( \overline{\mathrm{AM}}^2+\overline{\mathrm{BM}}^2 \right)
\end{matrix}
</math>

=== 좌표를 이용한 증명 ===
[[파일:Proof of Apollonius's theorem (2).svg|300px|섬네일|좌표를 활용한 아폴로니오스 정리의 증명]]
[[좌표]]를 사용하여 증명할 수도 있다.

그림과 같이 <math>\overline{\mathrm{BC}}</math>가 <math>x</math>축과 겹쳐지도록 한다. <math>\triangle \mathrm{ABC}</math>에서 <math>\overline{\mathrm{BC}}</math>의 중점을 <math>\mathrm{M}</math>이라 하고, 점 <math>\mathrm{M}</math>이 원점에 오도록 한다. 각 점의 좌표는 각각 <math>\mathrm{A} (a, b)</math>, <math>\mathrm{B} (-c, 0)</math>, <math>\mathrm{C} (c, 0)</math>, <math>\mathrm{M} (0, 0)</math>이 된다.

<math>\overline{\mathrm{AB}}^2 = (a+c)^2+b^2 = a^2+b^2+c^2+2ac</math>

<math>\overline{\mathrm{AC}}^2 = (a-c)^2+b^2 = a^2+b^2+c^2-2ac</math>

<math>\overline{\mathrm{AM}}^2 = a^2+b^2</math>

<math>\overline{\mathrm{BM}}^2 = c^2</math>

<math>\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{AC}}^2 = 2(a^2+b^2+c^2)</math>, <math>\overline{\mathrm{AM}}^2+\overline{\mathrm{BM}}^2 = a^2+b^2+c^2</math>

<math>\therefore \overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{AC}}^2 = 2 \left( \overline{\mathrm{AM}}^2+\overline{\mathrm{BM}}^2 \right)</math>

== 같이 보기 ==
* [[스튜어트 정리]]

== 외부 링크 ==
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=ApolloniusTheorem planetmath.org의 Apollonius theorem항목]

[[분류:유클리드 기하학]]
[[분류:삼각형에 대한 정리]]