아티야 준군 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''아티야 준군'''(Atiyah準群, {{llang|en|Atiyah groupoid}})은 [[매끄러운 주다발]]에 대하여 표준적으로 대응되는 [[리 준군]]이다. 그 [[리 준대수]]를 '''아티야 리 준대수'''(Atiyah Lie準代數, {{llang|en|Atiyah Lie groupoid}})라고 한다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[리 군]] <math>G</math>. 그 [[리 대수]]를 <math>\mathfrak{lie}(G) = \mathfrak g</math>라고 표기하자.
* [[매끄러운 주다발]] <math>G\hookrightarrow P \,\overset\pi\twoheadrightarrow\, M</math>

그렇다면, 이에 대응되는 '''아티야 준군''' <math>\operatorname{At}(P)</math>은 다음과 같은 [[리 준군]]이다.
* 대상의 [[매끄러운 다양체]]는 <math>\operatorname{Ob}(\operatorname{At}(P)) = M</math>이다.
* 사상의 [[매끄러운 다양체]]는 <math>\operatorname{Mor}(\operatorname{At}(P)) =(P \times P) / G = P \times P / ((p,q) \sim (p\cdot g,q\cdot g)\forall g\in G)</math>이다. 여기서 <math>G</math>의 [[오른쪽 군 작용]]은 <math>P\times P</math> 위에 성분별로 작용한다.
* [[정의역]]과 [[공역]] 사상 <math>\operatorname{Mor}(\operatorname{At}(P)) \rightrightarrows \operatorname{Ob}(\operatorname{At}(P))</math>는 <math>(P\times P)/G</math>의 두 사영 사상 <math>\operatorname{proj}_1,\operatorname{proj}_2 \colon (P\times P) / G \to P/G = M</math>으로 주어진다.
* 사상의 합성은 자명하게 <math>(q,r)\cdot G \circ (p,q)\cdot G = (p,r)\cdot G</math>로 주어진다.
* 항등원 사상 <math>\operatorname{Ob}(\operatorname{At}(P)) \to \operatorname{Mor}(\operatorname{At}(P))</math>은 [[대각 사상]] <math>x \mapsto (p,p)\cdot G </math> (<math>p\in\pi^{-1}(x)</math>)으로 주어진다.
이에 대응하는 [[리 준대수]]를 '''아티야 리 준대수'''라고 한다.

=== 아티야 리 준대수의 직접적 정의 ===
아티야 리 준대수는 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.

<math>\pi\colon P\twoheadrightarrow M</math>의 미분
:<math>\mathrm d\pi \in \Omega^1(P;\pi^* \mathrm TM)</math>
을 생각하자. 이는 다음과 같은 <math>P</math> 위의 [[벡터 다발]]들의 [[짧은 완전열]]을 정의한다.
:<math> P\times0 \to \mathrm VP = P\times\mathfrak g \to \mathrm TP \,\overset{\mathrm d\pi} \to\, \pi^*\mathrm TM  \to P\times0 </math>
여기서 [[수직 벡터 다발]] <Math>\mathrm VP</math>은 <math>P</math>가 [[주다발]]이므로 자명한 [[벡터 다발]]이다.

이 위의 각 항의 전체 공간은 <math>G</math>의 [[오른쪽 군 작용]]을 가지며, 이에 대한 [[몫공간]]을 취하면 다음과 같은 가환 그림을 얻는다.
:<math>
\begin{matrix}
P \times 0 & \to & P\times\mathfrak g & \to &\mathrm TP & \overset{\mathrm d\pi}\to & \pi^*\mathrm TM & \to & P \times 0\\
{\scriptstyle\pi}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\pi} && \downarrow && \downarrow && \downarrow && {\color{White}\scriptstyle\pi}\downarrow{\scriptstyle\pi}\\
M \times 0 & \to & \operatorname{ad}(P) & \to & \dfrac{\mathrm TP}G & \to & \mathrm TM & \to & M \times 0
\end{matrix}
</math>
여기서
* [[연관 벡터 다발]] <math>\operatorname{ad}(P) = P\times_G\mathfrak g \twoheadrightarrow M</math>은 [[무한소 게이지 변환]]의 벡터 다발이며, 그 [[매끄러운 단면]]은 [[무한소 게이지 변환]]이다.
* <math>\operatorname{at}(P) = (\mathrm TP)/G \twoheadrightarrow M</math>의 [[매끄러운 단면]] <math>X\in\Gamma^\infty(M; (\mathrm TP)/G)</math>은 <math>P</math> 위의 [[벡터장]] <math>\tilde X \in \Gamma^\infty(\mathrm TP) = \operatorname{Vect}(P)</math> 가운데, <math>G</math>의 [[군의 작용|작용]]에 대하여 불변인 것이다. 즉, 다음 가환 그림이 성립한다.
*:<math>\begin{matrix}
P & \overset{\tilde X}\to & \mathrm TP \\
{\scriptstyle\pi}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\pi} && \downarrow \\
M & \underset X\to & \dfrac{\mathrm TP}G
\end{matrix}</math>
** <math>M</math>-[[벡터 다발]] 사상 <math>\operatorname{at}(P) \twoheadrightarrow \mathrm TM</math>의 [[오른쪽 역사상]]의 데이터는 <math>P</math> 위의 [[주접속]]의 데이터와 [[동치]]이다.

이에 따라, <math>\operatorname{at}(P)</math>는 다음과 같이 <math>M</math> 위의 [[리 준대수]]의 구조를 갖는다.
* 닻 <math>\operatorname{at}(P) \to \mathrm TM</math>은 위 가환 그림에 등장하는 <math>M</math>-[[벡터 다발]] 사상이다.
* <math>\operatorname{at}(P)</math>의 단면 공간 <math>\Gamma^\infty(M;\operatorname{at}(P))</math>위의 [[리 괄호]]는 포함 사상 <math>\Gamma^\infty(M;\operatorname{at}(P))\hookrightarrow\operatorname{Vect}(P) </math>에 의하여 <math>\operatorname{Vect}(P)</math>의 [[리 미분]]의 제한으로 정의된다.
이를 [[매끄러운 주다발]] <math>\pi\colon P\twoheadrightarrow M</math>의 '''아티야 리 준대수'''라고 한다.

== 역사 ==
[[마이클 아티야]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Michael|성= Atiyah|저자링크=마이클 아티야|제목= Complex analytic connections in fibre bundles|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=85|날짜=1957|쪽=181–207|mr=86359|doi=10.1090/S0002-9947-1957-0086359-5 |jstor = 1992969 | 언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Atiyah Lie groupoid}}
* {{nlab|id=Atiyah Lie algebroid}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:리 대수]]