아티야-싱어 지표 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''아티야-싱어 지표 정리'''(-指標定理, {{llang|en|Atiyah–Singer index theorem}})는 [[타원 복합체]]의 지표를 위상학적인 데이터로 계산할 수 있다는 정리다.<ref>{{서적 인용|제목=지표이론|저자=조용승|출판사=경문사|isbn=978-89-6105-622-9|날짜=2012|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7500|언어=ko|확인날짜=2013-08-26|보존url=https://web.archive.org/web/20141112075225/http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7500|보존날짜=2014-11-12|url-status=dead}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=국소적 형태의 Atiyah-Singer 지표이론|저자=지동표|url=http://minumsa.minumsa.com/book/908/|출판사=민음사|날짜=1983-11-01|isbn=89-374-3509-8|언어=ko}}</ref><ref>{{서적 인용|url=http://arche.co.kr/bbs/zboard.php?id=npo_book&no=32|제목=다양체의 미분위상수학|저자=조용승|출판사=아르케|isbn=978-89-88791-11-0|날짜=1999-04-20|언어=ko|access-date=2017-01-10|archive-date=2017-01-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20170110232638/http://arche.co.kr/bbs/zboard.php?id=npo_book&no=32|url-status=}}</ref>{{rp|§10–11}}<ref>{{서적 인용|제목=이론물리의 수학적 접근|쪽=163–188|장=6. 아티야-싱어의 지표 이론|저자=김홍종|출판사=민음사|총서=대우학술총서 공동연구|권=37|날짜=1996|isbn=89-37445-34-4|언어=ko}}</ref><ref>{{서적 인용|성=Shanahan|이름=Patrick|날짜=1978|제목=The Atiyah–Singer index theorem: an introduction|총서=Lecture Notes in Mathematics|issn=0075-8434|권=638|출판사=Springer|doi=10.1007/BFb0068264|isbn=978-3-540-08660-4|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=The Atiyah–Patodi–Singer index theorem|총서=Research Notes in Mathematics|권=4|날짜=1993-03-31|출판사=A. K. Peters/CRC Press|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/melrose.pdf|언어=en|isbn=978-1-568-81002-7|이름=Richard B.|성=Melrose}}</ref><ref name="Nakahara">{{서적 인용|제목=Geometry, topology and physics|판=2판|날짜=2003-06-04|doi=10.1201/9781420056945|이름=Mikio|성=Nakahara|url=http://www.routledge.com/books/details/9780750306065/|isbn=978-0-7503-0606-5|출판사=Taylor & Francis|언어=en}}</ref>{{rp|§12.8, 477–480; §12.10, 487–500}}<ref>{{서적 인용|제목=Topology and analysis: the Atiyah–Singer index formula and gauge-theoretic physics|총서=Universitext|issn=0172-5939|이름=Bernheim|성=Booß|공저자=David D. Bleecker|doi=10.1007/978-1-4684-0627-6|isbn=978-0-387-96112-5|출판사=Springer|날짜=1985|mr=0771117|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Seminar on the Atiyah–Singer index theorem|이름=Richard S.|성=Palais|이름2=Michael F.|성2=Atiyah|저자링크2=마이클 아티야|저자링크3=아르망 보렐|이름3=A.|성3=Borel|이름4=E. E.|성4=Floyd|이름5=R. T.|성5=Seeley|이름6=W.|성6=Shih|저자링크7=로버트 솔로베이|이름7=Robert|성7=Solovay|총서=Annals of Mathematics Studies|권=57|날짜=1965|isbn=9780691080314|url=http://vmm.math.uci.edu/PalaisPapers/SASIT.pdf|출판사=Princeton University Press|mr=0198494|언어=en}}</ref> [[히르체브루흐-리만-로흐 정리]]와 [[가우스-보네 정리]] 등을 일반화한다.

== 정의 ==
<math>M</math>이 <math>m</math>차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]]이고, <math>E^i</math>가 <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]]들이라고 하자. <math>M</math> 위의 [[타원 복합체]]
:<math>\cdots\stackrel{D_{i-2}}{\longrightarrow}\Gamma(E_{i-1}) \stackrel{D_{i-1}}{\longrightarrow} \Gamma(E_i) \stackrel{D_i}{\longrightarrow}\Gamma(E_{i+1})\stackrel{D_{i+1}}{\longrightarrow} \cdots</math>
의 '''해석적 지표'''({{lang|en|analytical index}})는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ind}(D_{\bullet})=\sum_i(-1)^i\dim(\ker D_i/\operatorname{im}D_{i-1})</math>
이는 순수하게 해석적인 데이터로 정의된 값이다. 여기서 <math>\operatorname{ind}</math>는 [[프레드홀름 작용소|프레드홀름 지표]]이다.

타원 복합체의 '''위상 지표'''({{llang|en|topological index}})는 다음과 같다.<ref name="Nakahara"/>{{rp|Theorem 12.2}}
:<math>\operatorname{ind}(D_{\bullet})=(-)^{m(m+1)/2}\int_M
\operatorname{ch}\left(\bigoplus_i(-1)^iE_i\right)
\frac{\operatorname{Td}(\mathrm TM\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)}{\mathrm e(\mathrm TM)}</math>
여기서
* <math>\operatorname{ch}</math>는 [[매끄러운 벡터 다발]]의 [[천 지표]]이다.
* <math>\operatorname{Td}(\mathrm TM\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)</math>는 <math>M</math>의 [[접다발]] <math>\mathrm TM</math>의 복소화의 [[토드 특성류]]이다.
* <math>\operatorname e(\mathrm TM)</math>은 [[접다발]] <math>\mathrm TM</math>의 [[오일러 특성류]]이다.
이 지표는 순수하게 [[위상수학]]적인 데이터로 정의된 값이다.

'''아티야-싱어 지표 정리'''에 따르면, 타원 복합체의 해석적 지표와 위상 지표는 같다.

여기서, <math>m=\dim M</math>이 홀수인 경우 ([[미분 연산자]]에 대하여) 양변 모두 0이다. (다만, [[유사 미분 연산자]]에 대한 경우 홀수 차원에서도 자명하지 않은 결과를 도출할 수 있다.)

특히, 하나의 [[프레드홀름 작용소|프레드홀름]] [[미분 연산자]]
:<math>D \colon \Gamma(E) \to \Gamma(F)</math>
에 대하여, 이를 타원 복합체
:<math>0 \to \Gamma(E) \,\overset D\to\,\Gamma(F)\to0</math>
로 간주하면, 다음을 얻는다.
:<math>\dim\ker D - \dim\ker D^\dagger = (-)^{m(m+1)/2}\int_M (\operatorname{ch}E - \operatorname{ch}F) \frac{\operatorname{Td}(\mathrm TM^{\mathbb C})}{\operatorname e(\mathrm TM)}</math>

== 예 ==
수많은 유명한 정리들을 아티야-싱어 지표 정리의 특수한 경우로 얻을 수 있다.

=== 오일러 지표 ===
<math>M</math>이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[유향 다양체]]라고 하고, 지표 정리를 (복소화한) [[드람 복합체]]
:<math>0\to\Omega^0(M)\otimes\mathbb C\xrightarrow d\Omega^1(M)\otimes\mathbb C\xrightarrow d\Omega^2(M)\otimes\mathbb C\xrightarrow d\dotsb</math>
에 적용시키자. 드람 복합체의 해석적 지표는 다양체의 [[오일러 지표]] <math>\chi(M)</math>이다. 그 위상 지표는 [[오일러 특성류]] <math>e(M)</math>의 적분이다. 즉, 이에 따라 [[천-가우스-보네 정리]]({{llang|en|Chern–Gauss–Bonnet theorem}})
:<math>\chi(M)=\int_Me(M)</math>
를 얻는다.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''계산:'''
<div class="mw-collapsible-content">
미분 형식 벡터 다발의 [[천 지표]]는 분할 원리를 사용하여 계산하면 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ch}\bigwedge^k (\mathrm T^*M \otimes\mathbb C)
= \sum_{1\le i_1<i_2<\dotsb<i_k\le m}
\exp(-x_i)</math>
여기서 <math>x_i</math>는 <math>\mathrm T^*M \otimes \mathbb C</math>를 [[분할 원리]]로 <math>m</math>개의 복소수 선다발들의 직합이라고 가정할 때 <math>i</math>번째 복소수 선다발의 1차 [[천 특성류]]이다. 이는 실수 벡터 다발의 복소화이므로
:<math>x_{i+m/2} = -x_i</math>
로 놓을 수 있다.

즉
:<math>\sum_{k=0}^m(-)^k\operatorname{ch}\bigwedge^k (\mathrm T^*M \otimes\mathbb C)
= \prod_{i=1}^k (1-\exp(-x_i))
</math>
이다. [[토드 특성류]]와 [[오일러 특성류]]는 각각
:<math>\operatorname{Td} = \prod_{i=1}^m \frac{x_i}{1-\exp(-x_i)}</math>
:<math>\operatorname e = \prod_{i=1}^{m/2} x_i</math>
이므로, 지표 밀도는
:<math>(-)^{m(m+1)/2}\left(\sum_{k=0}^m(-)^k\operatorname{ch}\bigwedge^k (\mathrm T^*M \otimes\mathbb C)\right)
\frac{\operatorname{Td}}{\operatorname e}
=(-)^{m(m+1)/2}
\prod_{i=m/2+1}^m 
x_i
=
(-)^{m(m+2)/2}
\prod_{i=1}^{m/2} 
x_i
=\operatorname e(\mathrm TM)
</math>
이다.
</div></div>

=== 히르체브루흐-리만-로흐 정리 ===
{{본문|히르체브루흐-리만-로흐 정리}}
아티야-싱어 지표 정리를 [[돌보 복합체]]에 적용시키면 [[히르체브루흐-리만-로흐 정리]]를 얻게 된다.
<math>M</math>이 [[복소다양체]]라고 하고, 그 위에 [[해석적 벡터 다발]] <math>E</math>가 주어졌다고 하자. 지표 정리를 [[돌보 코호몰로지|돌보 복합체]]
:<math>\Omega^{p,0}(E)\xrightarrow{\bar\partial}\Omega^{p,1}(E)\xrightarrow{\bar\partial}\dotsb</math>
에 적용시키자. 돌보 복합체의 해석적 지표는 <math>E</math>의 [[코호몰로지]]의 [[오일러 지표]]
:<math>\chi(M,E)=h^0(M,E)-h^1(M,E)+h^2(M,E)-\dotsb</math>
이고, 그 위상 지표는
:<math>\int_M\operatorname{ch}(E)\operatorname{Td}(TM)</math>
이다. 따라서 이는 히르체브루흐-리만-로흐 정리가 된다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''계산:'''
<div class="mw-collapsible-content">
복소수 차원이 <math>n=m/2</math>라고 하자.
[[분할 원리]]에 따라, [[복소수 접다발]]이 복소수 선다발의 직합이라고 하자.
:<math>\mathrm T^+M = L_1 \oplus \dotsb \oplus L_n</math>
또한
:<math>\operatorname c_1(L_i) = x_i</math>
라고 하자. 그렇다면
:<math>\operatorname{ch}\left(\bigwedge^p\mathrm T^{-*}M
\right)
= \sum_{1\le i_1<i_2<\dotsb<i_p\le n}
\exp(x_i)
</math>
이며, 따라서
:<math>
\sum_{p=0}^n
(-)^p
\operatorname{ch}
\left(
E \otimes 
\bigwedge^p\mathrm T^{-*}M
\right)
= \operatorname{ch}(E) \prod_{i=1}^p(1-\exp x_i)</math>
이다. 

이제
:<math>\operatorname{Td}(\mathrm TM \otimes \mathbb C)
= 
\operatorname{Td}(\mathrm T^+M)
\operatorname{Td}(\mathrm T^-M)
=
\prod_{i=1}^m \frac{x_i(-x_i)}{(1-\exp(-x_i))(1-\exp x_i)}</math>
:<math>\operatorname e(\mathrm TM) = x_1x_2\dotsm x_n</math>
이므로, 지표 밀도는
:<math>
(-)^{n(2n+1)}\operatorname{ch}(E)\operatorname{Td}(\mathrm T^+M)
\prod_{i=1}^n \frac{(-x_i)(1-\exp x_i)}{x_i (1-\exp x_i)}
= \operatorname{ch}(E) \operatorname{Td}(\mathrm T^+M)</math>
이다.
</div></div>
<math>E</math>가 0차원 [[벡터 다발]]인 경우, 그 [[오일러 지표]]는 복소다양체의 [[산술 종수]] <math>\operatorname{ind}\bar\partial</math>이다. 따라서, 복소다양체의 산술 종수는 복소 [[접다발]]의 [[토드 특성류]]의 적분에 의하여 주어진다.
:<math>\operatorname{ind}\bar\partial=\int_M\operatorname{Td}(TM)</math>

=== 디랙 연산자 ===
<math>M</math>이 짝수 차원의 [[스핀 다양체]]라고 하고, 그 위에 [[스피너 다발]]
:<math>\mathrm S(M)=\mathrm S^+(M)\oplus\mathrm S^-(M)</math>
을 생각하자. 그렇다면 '''[[디랙 연산자]]'''
:<math>i\gamma^\mu\nabla_\mu=\begin{pmatrix}
0&D\\D^\dagger&0
\end{pmatrix}</math>
는 다음과 같이 작용한다.
:<math>S^+(M)\xrightarrow DS^-(M)</math>
:<math>S^+(M)\xleftarrow{D^\dagger}S^-(M)</math>
이에 따라, 디랙 연산자 <math>D</math>의 지표는 아티야-싱어 지표 정리에 따라 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ind}(D)=\ker D-\ker D^\dagger=\int_M\hat A</math>
여기서 <math>\hat A</math>는 '''디랙 종수'''({{llang|en|Dirac genus}}) 또는 '''Â 종수'''({{llang|en|''Â''-genus|에이 햇 지너스}})라고 불리는 [[특성류]]로,
:<math>\hat A=\prod_{i=1}^{\dim M}\frac{x_i/2}{\sinh(x_i/2)}=1-\frac1{24}p_1+\frac1{5760}(-4p_2+7p_1^2)+\dotsb\in\operatorname H^{2\bullet}(M;\mathbb Q)</math>
이다. 여기서 <math>p_i</math>는 [[폰트랴긴 특성류]]이고, <math>x_i</math>는 [[2차 미분 형식]]들의 행렬인 곡률 <math>R</math>의 [[고윳값]]들
:<math>-R/2\pi=\begin{pmatrix}
0&x_1\\
-x_1&0\\
&&0&x_2\\
&&-x_2&0\\
&&&&0&x_3\\
&&&&-x_3&0\\
&&&&&&\ddots
\end{pmatrix}</math>
이다. 일반적으로, 디랙 종수는 [[스핀 다양체]]가 아닌 다른 다양체의 경우 정수가 아닐 수 있다.

== 역사 ==
[[마이클 아티야]]와 [[이자도어 싱어]]가 1963년에 발표하였다.<ref>{{저널 인용|제목=The index of elliptic operators on compact manifolds|저자링크=마이클 아티야|이름=M. F.|성=Atiyah|이름2=Isadore M.|성2=Singer|저자링크2=이자도어 싱어|저널={{lang|en|Bulletin of the American Mathematical Society}}|권=69|연도=1963|쪽=422–433|doi=10.1090/S0002-9904-1963-10957-X|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|저자링크=마이클 아티야|이름=M. F.|성=Atiyah|이름2=Isadore M.|성2=Singer|저자링크2=이자도어 싱어|title=The index of elliptic operators I|journal= Annals of Mathematics |volume=87|pages= 484–530|year= 1968a|doi= 10.2307/1970715|issue= 3|jstor=1970715|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|저자링크=마이클 아티야|이름=M. F.|성=Atiyah|이름2=Isadore M.|성2=Singer|저자링크2=이자도어 싱어|title=The index of elliptic operators III|journal=Annals of Mathematics |volume= 87|issue=3|year= 1968b|pages= 546–604|doi= 10.2307/1970717|jstor= 1970717|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|저자링크=마이클 아티야|이름=M. F.|성=Atiyah|이름2=Isadore M.|성2=Singer|저자링크2=이자도어 싱어|title=The index of elliptic operators IV|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1971-01_93_1/page/n122|journal= Annals of Mathematics |volume= 93|issue=1|year= 1971|pages=  119–138|doi= 10.2307/1970756 |jstor=1970756|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|저자링크=마이클 아티야|이름=M. F.|성=Atiyah|이름2=Isadore M.|성2=Singer|저자링크2=이자도어 싱어|title=The index of elliptic operators V|journal=Annals of Mathematics|volume= 93|issue= 1|year= 1971|pages= 139–149|doi= 10.2307/1970757 |jstor=1970757|언어=en}}</ref> 부분적으로 이 공로로 [[마이클 아티야]]는 1966년 [[필즈상]]을 수상하였다.<ref>{{서적 인용|성=Albers|이름=Donald J.|이름2=G. L.|성2=Alexanderson|이름3=Constance|성3=Reid|제목=International mathematical congresses: An illustrated history 1893–1986|판=개정판|출판사=Springer-Verlag|위치=New York|연도=1986|url=http://www.mathunion.org/o/General/Prizes/Fields/1966/index.html|언어=en|확인날짜=2012-11-24|보존url=https://web.archive.org/web/20131203005450/http://www.mathunion.org/o/General/Prizes/Fields/1966/index.html|보존날짜=2013-12-03|url-status=dead}}</ref> 이 공로로 [[마이클 아티야]]와 [[이자도어 싱어]]는 2004년 [[아벨상]]을 수상하였다.<ref>{{저널 인용|url=http://www.ams.org/notices/200406/comm-abel.pdf|제목=Atiyah and Singer Receive 2004 Abel Prize|저널=Notices of the American Mathematical Society|연도=2004|월=6|쪽=649–650|권=51|호=6|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|장url=http://www.abelprisen.no/binfil/download.php?tid=56995#page=17|장=The Atiyah–Singer index theorem|이름=Nigel|성=Hitchin|저자링크=나이절 히친|제목=The Abel Prize 2003–2007: the first five years|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-3-642-01372-0|날짜=2010|쪽=117–152|doi=10.1007/978-3-642-01373-7_7|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Interview with Michael Atiyah and Isadore Singer|이름1=Martin|성=Raussen|이름2=Christian|성2=Skau|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=52|호=2|월=2|연도=2005|쪽=223–231|url=http://www.ams.org/notices/200502/comm-interview.pdf|언어=en}}</ref>

1983년에 루이스 알바레스가우메({{llang|es|Luis Álvarez-Gaumé}})가 아티야-싱어 지표 정리가 [[초대칭 양자역학]]과 깊은 관계가 있다는 사실을 밝혔고, 이를 이용하여 아티야-싱어 정리를 새롭게 증명하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem|이름=Luis|성=Alvarez-Gaumé|언어=en|저널=Communications in Mathematical Physics|권=90|호=2|연도=1983|쪽=161–173|doi=10.1007/BF01205500}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem|이름=Luis|성=Alvarez-Gaumé|저널={{lang|en|Physica A: Statistical Mechanics and its Applications}}|권=124|호=1–3|월=3|연도=1984|쪽=29–45|doi=10.1016/0378-4371(84)90224-3|언어=en}}</ref> 이 증명은 그 뒤 에즈라 게츨러({{llang|en|Ezra Getzler}})가 수학적으로 엄밀하게 제시하였다.<ref>{{저널 인용|제목=A short proof of the local Atiyah-Singer index theorem|doi=10.1016/0040-9383(86)90008-X|저널=Topology|권=25|호=1|날짜=1986|쪽=111–117|이름=Ezra|성=Getzler|url=http://math.northwestern.edu/~getzler/Papers/local.pdf|mr=836727|확인날짜=2013-08-09|보존url=https://web.archive.org/web/20150326120430/http://math.northwestern.edu/~getzler/Papers/local.pdf|보존날짜=2015-03-26|url-status=dead}}</ref> 즉, [[디랙 연산자]]의 경우, 그 해석적 지표는 단순히 [[위튼 지표]]에 불과하여, [[초대칭 양자역학]]을 사용해 계산할 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Atiyah-SingerIndexTheorem|title=Atiyah-Singer index theorem}}
* {{nlab|id=Atiyah-Singer index theorem}}
* {{nlab|id=analytical index|title=Analytical index}}
* {{nlab|id=topological index|title=Topological index}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:타원 편미분 방정식]]
[[분류:기하학 정리]]
[[분류:미분기하학 정리]]