아즈마야 대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]과 [[대수적 수론]]과 [[대수기하학]]에서 '''아즈마야 대수'''([東屋]代數, {{llang|en|Azumaya algebra}})는 [[가환환]] 또는 [[스킴 (수학)|스킴]] 위의 [[단위 결합 대수]] 가운데, [[자리스키 위상]]에서 각 [[줄기 (수학)|줄기]]가 유한 차원 [[자유 가군]]이며, 줄기의 포락 대수가 행렬환과 동형인 것이다. [[대수기하학]]적으로, 아즈마야 대수는 올이 [[사영 공간]]인 [[올다발]]에 해당한다.

아즈마야 대수들의 동치류는 '''브라우어 군'''(Brauer群, {{llang|en|Brauer group}})이라는 [[군 (수학)|군]]을 정의한다. 이는 [[벡터 다발]]의 동치류들이 [[K이론|K군]]을 정의하는 것과 마찬가지다.

== 정의 ==
[[가환환|가환]] [[국소환]] <math>(R,\mathfrak m)</math> 위의 '''아즈마야 대수''' <math>\phi\colon R\to A</math>는 다음 조건을 만족시키는 <math>R</math>-[[단위 결합 대수]]이다.<ref name="Milne">{{서적 인용|제목=Étale cohomology|이름=James S.|성=Milne|출판사=Princeton University Press|url=http://press.princeton.edu/titles/1566.html|날짜=1980|isbn=978-0-69108238-7|총서=Princeton Mathematics Series|권=33|zbl=0433.14012|언어=en}}</ref>{{rp|136, §IV.1}}
* <math>R</math>-가군으로서 양의 유한 차원 [[자유 가군]] <math>R^n</math>과 동형이다.
* <math>a\otimes_Rb\mapsto(x\mapsto axb)</math>에 의하여, <math>A\otimes_RA^{\operatorname{op}}\cong\operatorname{Mat}(n;R)=\operatorname{End}(_RA)</math>이다.
여기서 <math>A\otimes_RA^{\operatorname{op}}=A^{\operatorname e}</math>는 <math>A</math>의 포락 대수({{llang|en|enveloping algebra}})이다.

[[스킴 (수학)|스킴]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 '''아즈마야 대수''' <math>\mathcal A</math>는 다음 조건을 만족시키는 <math>\mathcal O_X</math>-[[단위 결합 대수]] [[층 (수학)|층]]이다.<ref name="Milne"/>{{rp|140, §IV.2}}
* <math>\mathcal A</math>는 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]]으로서 [[연접층]]이며, 각 닫힌 점 <math>x\in X</math>에 대하여, [[줄기 (수학)|줄기]] <math>\mathcal A_x</math>는 [[가환환|가환]] [[국소환]] <math>\mathcal O_{X,x}</math> 위의 아즈마야 대수이다.

=== 브라우어 군 ===
[[스킴 (수학)|스킴]] <math>S</math> 위의 두 아즈마야 대수 <math>\mathcal A</math>, <math>\mathcal A'</math>에 대하여, 텐서곱 <math>\mathcal A\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal A'</math> 역시 <math>S</math> 위의 아즈마야 대수를 이룬다. 따라서, <math>S</math> 위의 아즈마야 대수들은 텐서곱에 대하여 [[모노이드]]를 이룬다.

[[스킴 (수학)|스킴]] <math>S</math> 위의 두 아즈마야 대수 <math>\mathcal A</math>, <math>\mathcal A'</math>에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 <math>\mathcal O_X</math>-[[국소 자유 가군층]] <math>\mathcal E</math> 및 <math>\mathcal E'</math>이 존재한다면, 서로 '''브라우어 동치'''({{llang|en|Brauer-equivalent}})라고 한다.<ref name="Milne"/>{{rp|§2, 141}}
:<math>\mathcal A\otimes_{\mathcal O_X}\underline{\operatorname{End}}(_{\mathcal O_X}\mathcal E)
\cong\mathcal A'\otimes_{\mathcal O_X}\underline{\operatorname{End}}(_{\mathcal O_X}\mathcal E')</math>
이는 <math>S</math>-아즈마야 대수의 [[동치 관계]]를 이룬다. 브라우어 동치 관계는 텐서곱은 보존하며, 따라서 <math>S</math>-아즈마야 대수의 브라우어 동치류들은 [[모노이드]]를 이룬다. 이 [[모노이드]]는 사실 [[군 (수학)|군]]을 이루며, 이를 <math>S</math>의 '''브라우어 군'''({{llang|en|Brauer group}}) <math>\operatorname{Br}(S)</math>라고 한다. 브라우어 군에서, 아즈마야 대수의 동치류 <math>[\mathcal A]</math>의 역원은 그 [[반대환|반대 대수층]]의 동치류 <math>[\mathcal A^{\operatorname{op}}]</math>이다.

== 성질 ==
=== 체 위의 아즈마야 대수 ===
체 <math>K</math> 위의 [[단위 결합 대수]] <math>f\colon K\to A</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>A</math>는 <math>K</math> 위의 아즈마야 대수이다.
* <math>f</math>는 [[단사 함수]]이며, <math>\operatorname Z(A)=K</math>이며, <math>\dim_KA</math>는 유한하다.
* <math>A</math>는 양의 정수 차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]]이며, 다음 조건을 만족시키는 [[체의 확대의 차수|유한 차수]] [[분해 가능 확대]] <math>L/K</math> 및 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>이 존재한다.
** <math>A\otimes_KL\cong\operatorname{Mat}(n;K)</math>
이와 같이, 체 위의 아즈마야 대수를 '''중심 단순 대수'''(中心單純代數, {{llang|en|central simple algebra}})라고 한다.

=== 가환환 위의 아즈마야 대수 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 [[단위 결합 대수]] <math>A</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>A</math>는 <math>R</math> 위의 아즈마야 대수이다.
* <math>_RA</math>는 [[충실한 가군]]이며, [[사영 가군]]이며, <math>A\otimes_RA^{\operatorname{op}}\to\operatorname{End}(_RA)</math>는 <math>R</math>-[[단위 결합 대수]]의 [[동형 사상]]이다.<ref name="Millar">{{저널 인용|arxiv=1101.1468|제목=''K''-theory of Azumaya algebras|이름=Judith Ruth|성=Millar|날짜=2010-09|기타=박사 학위 논문|출판사=Queen’s University Belfast|bibcode=2011PhDT.......288M|언어=en}}</ref>
* <math>_RA</math>는 [[유한 생성 가군]]이며, 모든 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m\subseteq R</math>에 대하여 <math>A/\mathfrak mA</math>는 <math>R/\mathfrak m</math>-중심 단순 대수이다.<ref name="Millar"/>{{rp|Theorem 1.5.3}}

=== 스콜렘-뇌터 정리 ===
'''스콜렘-뇌터 정리'''({{llang|en|Skolem–Noether theorem}})에 따르면, 아즈마야 대수의 모든 [[자기 동형]]은 내부 자기 동형이다.<ref name="Milne"/>{{rp|142, Proposition IV.2.3}} 즉, 스킴 <math>S</math> 위의 아즈마야 대수 <math>\mathcal A</math>의 임의의 [[자기 동형]] <math>f\colon\mathcal A\to\mathcal A</math>에 대하여,
:<math>f|_{U_i}\colon a\mapsto u_iau_i^{-1}\qquad\forall i\in I</math>
가 되는 <math>S</math>의 [[아핀 스킴|아핀]] [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math> 및 <math>u_i\in\operatorname{Unit}(\Gamma(U_i,\mathcal A))</math>가 존재한다. (여기서 <math>\operatorname{Unit}(-)</math>는 [[환 (수학)|환]]의 [[가역원군]]을 뜻하며, <math>\Gamma</math>는 [[층 (수학)|층]]의 단면 집합을 뜻한다.)

특히, <math>S=\operatorname{Spec}K</math>가 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]일 경우, 모든 <math>K</math>-중심 단순 대수 <math>A</math>의 [[자기 동형]] <math>f\colon A\to A</math>에 대하여 <math>f\colon a\mapsto uau^{-1}</math>가 되는 [[가역원]] <math>u\in\operatorname{Unit}(A)</math>가 존재한다.

=== 브라우어 군과 에탈 코호몰로지 ===
스킴 <math>S</math>의 브라우어 군 <math>\operatorname{Br}S</math>에서 <math>\mathbb G_{\operatorname m}</math> 계수의 2차 [[에탈 코호몰로지]] 군으로 가는 표준적인 [[단사 함수|단사]] [[군 준동형]]이 존재한다.<ref name="Milne"/>{{rp|142–145, Theorem IV.2.5}}
:<math>\iota\colon\operatorname{Br}S\to\operatorname H^2_{\operatorname{\acute et}}(S;\mathbb G_{\operatorname m})</math>
구체적으로, 이는 다음과 같다. <math>S</math> 위의 아즈마야 대수 <math>\mathcal A</math>가 주어졌을 때, 작은 [[에탈 위치]] <math>S_{\operatorname{\acute et}}</math> 위에 다음과 같은 [[올범주]] <math>\mathcal F_{\mathcal A}</math>이 존재한다. [[에탈 위치]]의 대상 <math>\left(\iota_U\colon(U,\mathcal O_U)\to(S,\mathcal O_S)\right)\in S_{\operatorname{\acute et}}</math>에 대하여,
* 올 <math>\mathcal F_{\mathcal A}(U)</math>의 대상 <math>(\mathcal E,\alpha)</math>는 유한 차원 <math>\mathcal O_U</math>-[[국소 자유 가군층]] <math>\mathcal E</math>와 [[동형 사상]] <math>\alpha\colon\underline{\operatorname{End}}(_{\mathcal O_U}\mathcal E)\to\mathcal A\otimes_{\mathcal O_S}{\iota_U}_*\mathcal O_U</math>의 순서쌍이다.
* 올 <math>\mathcal F_{\mathcal A}(U)</math>의 사상 <math>(E,\alpha)\to(E',\alpha')</math>은 적절한 가환 그림들을 만족시키는 [[동형 사상]] <math>E\to E'</math>이다.
이 [[올범주]]는 [[스택 (수학)|스택]]이자 [[제르브]]이며, <math>\mathbb G_{\operatorname m}</math>는 그 위에 다음과 같이 작용한다.
:<math>\mathbb G_{\operatorname m}(U)=\Gamma(U,\mathcal O_U^\times)\to\operatorname{Aut}_U(\mathcal E,\alpha)</math>
:<math>\left(g\in\Gamma(U,\mathcal O_U^\times)\right)\mapsto(g\cdot\colon\mathcal E\to\mathcal E)</math>
따라서, 이 [[제르브]]는 2차 [[에탈 코호몰로지]] 군 <math>\operatorname H^2_{\operatorname{\acute et}}(S;\mathbb G_{\operatorname m})</math>의 원소를 표현한다.

또한, 만약 <math>S</math>가 오직 유한 개의 [[연결 성분]]만을 갖는다면, 단사 [[군 준동형]] <math>\iota\colon\operatorname{Br}S\hookrightarrow\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^2(S;\mathbb G_{\operatorname m})</math>의 [[상 (수학)|상]]은 [[꼬임 부분군]] <math>\operatorname{Tors}(\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^2(S;\mathbb G_{\operatorname m}))</math>에 속한다. 즉, 이 경우 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
:<math>\operatorname{Br}S\subseteq\operatorname{Tors}(\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^2(S;\mathbb G_{\operatorname m}))\subseteq\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^2(S;\mathbb G_{\operatorname m})</math>

=== 수체 위의 중심 단순 대수 ===
[[대수적 수체]] <math>K</math> 위의 중심 단순 대수 <math>A</math>가 주어졌다고 하자. '''앨버트-브라우어-하세-뇌터 정리'''({{llang|en|Albert–Brauer–Hasse–Noether theorem}})에 따르면, 만약 모든 [[자리 (수론)|자리]] <math>v</math>에 대하여
:<math>A\otimes_KK_v\cong\operatorname{Mat}(\dim_KA;K_v)</math>
라면, <math>A\cong\operatorname{Mat}(\dim_KA;K)</math>이다. 이는 [[대수적 수론]]의 국소-대역 원리의 한 예이다. 이에 따라, 대수적 수체 위의 중심 단순 대수의 분류는 [[국소체]] 위의 중심 단순 대수의 분류로 귀결된다.

== 역사 ==
체 위의 아즈마야 대수(중심 단순 대수)는 [[나눗셈환]]의 분류의 일환으로 19세기 말부터 연구되어 왔다.
1878년에 [[페르디난트 게오르크 프로베니우스]]는 (현대적 용어로는) 실수체 <math>\mathbb R</math>의 브라우어 군 <math>\operatorname{Br}(\mathbb R)\cong\mathbb Z/2</math>을 계산하였다 (프로베니우스 정리).<ref>{{저널 인용|제목=Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=84|날짜=1878|쪽=1–63|이름=Georg|성=Frobenius|저자링크=페르디난트 게오르크 프로베니우스|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002156709|언어=de}}</ref> [[조지프 웨더번]]은 1905년에 (현대적 용어로) [[유한체]]의 브라우어 군이 자명하다는 것을 증명하였다 (웨더번 소정리).<ref>{{저널 인용|이름=J. H. |성=MacLagan-Wedderburn|저자링크=조지프 웨더번 |제목=A theorem on finite algebras|날짜=1905-07-01 |url=https://archive.org/details/jstor-1986226 |mr=1500717|저널=Transactions of the American Mathematical Society|doi=10.1090/S0002-9947-1905-1500717-7|언어=en}}</ref> 그러나 웨더번의 첫 증명은 약간의 결함이 있었으며, [[레너드 유진 딕슨]]이 최초로 올바른 증명을 발표하였다.<ref>{{저널 인용 | last = Parshall | first = Karen V. H. | 날짜 = 1983 | title = In pursuit of the finite division algebra theorem and beyond: Joseph H. M. Wedderburn, Leonard E. Dickson, and Oswald Veblen | journal = Archives of International History of Science | volume = 33 | pages = 274–299|언어=en }}</ref>

브라우어 군은 [[리하르트 브라우어]]가 1932년에 정의하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Richard|성=Brauer|저자링크=리하르트 브라우어|제목=Über die algebraische Struktur von Schiefkörpern|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|issn=0075-4102|권=166|날짜=1932|쪽=241-248|doi=10.1515/crll.1932.166.241|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0166%7CLOG_0025|언어=de}}{{깨진 링크|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0166%7CLOG_0025 }}</ref>

[[아즈마야 고로]]가 1951년에 "고유 극대 중심 대수"({{llang|en|proper maximally central algebra}})라는 이름으로 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Azumaya | first1=Gorô | 저자링크=아즈마야 고로 | title=On maximally central algebras | year=1951 | journal=Nagoya Mathematical Journal | issn=0027-7630 | volume=2 | pages=119–150 | mr=0040287|url=http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118764746|언어=en}}</ref>{{rp|128}}<ref name="Millar"/>{{rp|§1.6}} (엄밀히 말해, 아즈마야는 이 용어를 정의할 때 [[자유 가군]]이어야 한다는 조건을 추가하였다.) 이후 1964~1965년 [[니콜라 부르바키]] 세미나에서 [[알렉산더 그로텐디크]]가 그 정의를 일반화하여 스킴 위의 아즈마야 대수를 정의하였고, "아즈마야 대수"라는 용어를 도입하였다.<ref>{{서적 인용|이름=A.|성=Grothendieck|저자링크=알렉산더 그로텐디크|장=Le groupe de Brauer|제목=Dix exposés sur la cohomologie des schémas|출판사=Masson, North-Holland|날짜=1968|쪽=46–66|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=A.|성=Grothendieck|저자링크=알렉산더 그로텐디크|제목=Exposé № 297. Le groupe de Brauer: II. Théories cohomologiques|저널=Séminaire Bourbaki|권=9|쪽=287–307|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1964-1966__9__287_0|issn=0303-1179|언어=fr}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[제르브]]
* [[유체론]]
* [[대수적 K이론]]
* [[모티브 코호몰로지]]
== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용 | last=Knus | first=Max-Albert | title=Quadratic and hermitian forms over rings | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften | volume=294 | publisher=Springer-Verlag | year=1991 | isbn=3-540-52117-8 | zbl=0756.11008 |언어=en }}
*{{서적 인용 | last1=Knus | first1=Max-Albert | last2=Ojanguren | first2=Manuel | title=Théorie de la descente et algèbres d’Azumaya | publisher=Springer-Verlag  | series=Lecture Notes in Mathematics | doi=10.1007/BFb0057799 | mr=0417149 | zbl=0284.13002 | 날짜=1974 | volume=389|issn=0075-8434|언어=fr}}
* {{서적 인용 | 제목=Brauer groups, Hopf algebras and Galois theory | 성=Caenepeel |이름= Stefaan | isbn=978-1-4020-0346-2| issn=1386-2804 | 총서=K-Monographs in Mathematics | 권=4 | 날짜=1998 | 출판사=Springer-Verlag | 언어=en}}
* {{서적 인용 | 이름=Jean-Pierre |성=Serre|날짜=1955 |제목=Applications  algèbriques  de  la  cohomologie  des  groupes.  II:  Théorie des algèbres simples | 출판사=Secrétariat mathématique | 위치=[[파리 (프랑스)|파리]] | 언어=fr }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Brauer group}}
* {{eom|title=Separable algebra}}
* {{nlab|id=Azumaya algebra}}
* {{nlab|id=Brauer group}}

[[분류:환론]]
[[분류:대수]]
[[분류:스킴 이론]]