아인슈타인 모형 문서 원본 보기

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{{통계역학}}
[[응집물질물리학]]에서 '''아인슈타인 모형'''({{lang|en|Einstein model}})은 [[고체]]를 [[양자 조화 진동자]]로 간주한 모형이다. 비교적 높은 온도에서는 정확하나, 매우 낮은 온도에서는 정확하지 않고, 대신 [[디바이 모형]]을 사용한다.

== 역사 ==
[[알베르트 아인슈타인]]이 1906년 발표하였다.<ref>{{저널 인용|제목={{lang|de|Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme}}|성=Einstein|이름=Albert|저자링크=알베르트 아인슈타인|저널={{lang|de|Annalen der Physik}}|권=327|호=1|쪽=180–190|연도=1906|doi=10.1002/andp.19063270110}}</ref> 이 논문을 통하여, 아인슈타인은 당시 발표된 지 얼마 되지 않은 [[양자역학]]을 사용하여 고체의 [[비열용량]]을 설명할 수 있음을 보였다.

== 전개 ==
<math>N</math>개의 입자로 이루어져 있는 고체를 생각하자. 각 입자가 3차원 [[양자 조화 진동자]] 퍼텐셜 속에 위치해 있다고 가정하고, 에너지 [[양자]]를 <math>kT_{\text{E}}</math>로 쓰자. 여기서 <math>T_{\text{E}}</math>는 '''아인슈타인 온도'''({{lang|en|Einstein temperature}})라고 하며, 물질의 고유 성질이다.

1차원 [[양자 조화 진동자]]의 에너지 준위는
:<math>E_n=(n+1/2)kT_{\text{E}}</math> (<math>n=0,1,2,\dots</math>)
이므로, 고체의 [[바른틀 앙상블|바른틀]] [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]는 다음과 같다.
:<math>Z(T)=\left(\sum_{n=0}^\infty\exp(-(n+1/2)T_{\text{E}}/T)\right)^{3N}</math>
::<math>=\left(2\sinh(T_{\text{E}}/2T)\right)^{-3N}
</math>
이다.

고체의 [[내부 에너지]]는 다음과 같다.
:<math>E(T)=-\frac{\partial{\ln Z}}{\partial\beta}</math>
::<math>=\frac32NkT_{\text{E}}\coth(T_{\text{E}}/2T)</math>.
고체의 [[비열용량]]은 다음과 같다.
:<math>c(T)=\frac1{Nk}\frac{\partial E}{\partial T}</math>
::<math>=\frac34(T_{\text{E}}/T)^2\operatorname{csch}^2(T_{\operatorname{E}}/2T)</math>.

== 낮은 온도와 높은 온도에서의 극한 ==
[[파일:DebyeVSEinstein.jpg|섬네일|right|아인슈타인 모형과 [[디바이 모형]]이 예측하는 [[비열]]의 비교. 아인슈타인 모형은 점선, 디바이 모형은 실선이다.]]
아인슈타인 온도보다 매우 높은 온도에서 아인슈타인 고체의 비열은
:<math>c(T)\approx3</math>
으로 [[뒬롱-프티 법칙]]에 부합한다. 반면 아인슈타인 온도보다 매우 낮은 온도에서는
:<math>c(T)\approx3(T_{\text{E}}/T)^2\exp(-T_{\operatorname{E}}/T)</math>
으로, 실제 고체보다 지나치게 작은 열용량을 예측한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* {{웹 인용|url=http://demonstrations.wolfram.com/EinsteinSolid/|title=The Wolfram Demonstrations Project - Einstein Solid|last=Zeleny|first=Enrique|access-date=2016-03-18}}.

{{전거 통제}}

[[분류:응집물질물리학]]
[[분류:통계역학]]
[[분류:알베르트 아인슈타인]]