아이젠슈타인 정수 문서 원본 보기

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[[파일:Eisenstein's integer numbers.svg|섬네일|오른쪽|408px|아이젠슈타인 정수들은 복소평면에서 삼각 격자를 이룬다.]]
[[수론]]에서 '''아이젠슈타인 정수'''({{llang|en|Eisenstein integer}})는 아래의 꼴로 표현될 수 있는 [[복소수]]를 말한다. [[독일]]의 [[수학자]] [[고트홀트 아이젠슈타인]]의 이름이 붙어 있다.
:<math>z =a + b\omega\qquad(a,b\in\mathbb Z)</math>
여기서 <math>\omega</math>는 [[1의 거듭제곱근|1의 세제곱근]]이다.
:<math>\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}</math>

== 성질 ==
아이젠슈타인 정수는 [[원분체]] <math>\mathbb Q[\omega]</math>의 [[대수적 정수환]]이며, [[유클리드 정역]]을 이룬다. 그 [[가역원군]]은 6개의 원소를 가지는 [[순환군]]이며, 다음과 같다.
:<math>\{\pm1,\pm\omega,\pm\omega^2\}</math>

== 아이젠슈타인 소수 ==
[[파일:EisensteinPrimes-01.svg|섬네일|오른쪽|아이젠슈타인 소수]]
아이젠슈타인 정수들은 [[유클리드 정역]]이므로, 유일 소인수분해를 가진다. 이에 따른 소수들을 '''아이젠슈타인 소수'''({{llang|en|Eisenstein prime}})라고 한다. 이들은 다음과 같다. (편의상, 통상적인, 즉 <math>\mathbb Z</math>에서의 소수를 유리소수라고 하자.)

아이젠슈타인 정수 <math>z=a+b\omega</math>가 아이젠슈타인 소수일 필요충분조건은 다음과 같다.
# <math>z</math>는 [[가역원]]과 <math>p\equiv2\pmod3</math>인 유리소수 <math>p</math>의 곱과 같거나,
# 아니면 <math>|z|^2=a^2-ab+b^2</math>는 유리소수이다. (이 경우 항상 <math>|z|^2\equiv0,1\pmod3</math>이다.)
따라서, 아이젠슈타인 소수의 목록은 다음과 같다.
* 갈리지 않는 (유리소수인) 아이젠슈타인 소수.
::2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, … {{OEIS|A3627}}
* 실수가 아닌 아이젠슈타인 소수
::2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω, …

유리소수이지만 아이젠슈타인 소수가 아닌 수들은 다음과 같다.
:3 = −(1&nbsp;+&nbsp;2ω)<sup>2</sup>, 7 = (3&nbsp;+&nbsp;ω)(2&nbsp;−&nbsp;ω), … {{OEIS|A7645}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=EisensteinInteger|title=Eisenstein integer}}
* {{매스월드|id=EisensteinPrime|title=Eisenstein prime}}

== 같이 보기 ==
* [[가우스 정수]]
* [[이차 정수]]

{{수 체계}}
{{토막글|수학}}

[[분류:복소수]]
[[분류:격자점]]