아이젠슈타인 급수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''아이젠슈타인 열'''({{llang|en|Eisenstein series}})은 일련의 [[모듈러 형식]]들이다. 모든 [[정칙함수|정칙]] 모듈러 형식은 아이젠슈타인 열의 처음 두 원소에 대한 [[다항식]]으로 나타낼 수 있다.

== 정의 ==
모든 <math>k=2,3,4,\dots</math>에 대하여, '''아이젠슈타인 열''' <math>G_{2k}</math>는 다음과 같은 [[모듈러 형식]]이다.
:<math>G_{2k}(\tau)=\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m+n\tau)^{-2k}</math>
<math>G_{2k}</math>는 무게가 <math>2k</math>인 정칙 모듈러 형식이다. 만약 <math>k=1</math>인 경우는 이는 모듈러 형식을 이루지 않는다. (무게가 2인 정칙 모듈러 형식은 존재하지 않는다.)

'''모듈러 불변량'''({{llang|en|modular invariant}}) <math>g_2</math>, <math>g_3</math>는 아이젠슈타인 열의 처음 두 원소와 다음과 같이 대응한다.
:<math>g_2=60G_4</math>
:<math>g_3=140G_6</math>

== 푸리에 급수 ==
아이젠슈타인 열의 [[푸리에 급수]]는 [[약수 함수]] <math>\sigma_k(n)</math>으로 나타내어진다. <math>q=\exp(2\pi i\tau)</math>라고 쓰면
:<math>\frac{(2k-1)!}{(2\pi i)^{2k}}G_{2k}=\frac12\zeta(1-2k)+\sum_{n=1}^\infty\sigma_{k-1}(n)q^n</math>
이다. 여기서 <math>\zeta</math>는 [[리만 제타 함수]]다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=Eisenstein series, crystals, and ice|이름=Benjamin|성=Brubaker|공저자=Daniel Bump, Solomon Friedberg|url=http://www.ams.org/notices/201111/rtx111101563p.pdf|journal=Notices of the American Mathematical Society|날짜=2011-12|쪽=1563–1571|권=58|호=11|zbl=05998843}}
* {{서적 인용|title=Eisenstein series and applications|first= Wee Teck|last=Gan|author2=Stephen S. Kudla|author3=Yuri Tschinkel|publisher=Birkhäuser|series=Progress in Mathematics|volume=258|date=2008|doi=10.1007/978-0-8176-4639-4|isbn=978-0-8176-4496-3}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=EisensteinSeries|title=Eisenstein series}}

[[분류:모듈러 형식]]
[[분류:해석적 수론]]
[[분류:프랙탈]]