아벨 판정법 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[미적분학]]에서 '''아벨 판정법'''({{llang|en|Abel's test}})은 [[급수 (수학)|급수]]의 [[수렴 판정법]]의 하나다. 이에 따르면, [[수렴급수]]에 [[단조수열|단조]] [[유계 수열]]을 이루는 계수를 붙여도 수렴한다.

== 정의 ==
=== 실수 항 급수 ===
두 [[실수 수열]] <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>, <math>(b_n)_{n=0}^\infty</math>이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 수렴한다.
* <math>(b_n)_{n=0}^\infty</math>은 [[단조수열]]이자 [[유계 수열]]이다.
'''아벨 판정법'''에 따르면, 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_nb_n</math>
역시 수렴한다.<ref name="김락중">{{서적 인용
|저자1=김락중
|저자2=박종안
|저자3=이춘호
|저자4=최규흥
|제목=해석학 입문
|판=3
|출판사=경문사
|날짜=2007
|isbn=978-8-96-105054-8
}}</ref>{{rp|181}}<ref name="Knopp">{{서적 인용|성=Knopp|이름=Konrad|번역자-성=Young|번역자-이름=R. C. H.|제목=Theory and application of infinite series|언어=en|판=2|기타=Translated from the 2nd edition and revised in accordance with the fourth by R. C. H. Young.|출판사=Blackie & Son|위치=[[런던]]-[[글래스고]]|날짜=1951|zbl=0042.29203}}</ref>{{rp|314, °1}}
{{증명|부제=디리클레 판정법을 통한 증명}}
<math>(b_n)_{n=0}^\infty</math>은 [[단조수열]] [[유계 수열]]이므로, 어떤 실수로 수렴한다.
:<math>b=\lim_{n\to\infty}b_n\in\mathbb R</math>
라고 하자. <math>(b_n-b)_{n=0}^\infty</math>는 [[단조수열]]이며, 0으로 수렴한다. 또한, 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>
이 수렴하므로, 부분합이 [[유계 수열]]이다. [[디리클레 판정법]]에 의하여, 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n(b_n-b)</math>
는 수렴한다. 따라서, 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_nb_n=\sum_{n=0}^\infty a_n(b_n-b)+b\sum_{n=0}^\infty a_n</math>
역시 수렴한다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=직접적인 증명|각주=<ref name="김락중" />}}
:<math>S_n=\sum_{k=0}^na_k\qquad(\forall n\in\mathbb N)</math>
:<math>b=\lim_{n\to\infty}b_n\in\mathbb R</math>
라고 하자. 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여,
:<math>|b_n|\le2|b|\qquad(\forall n>N(\epsilon))</math>
:<math>|S_m-S_n|<\frac\epsilon{6|b|+1}\qquad(\forall m,n>N(\epsilon))</math>
인 자연수 <math>N(\epsilon)\in\mathbb N</math>이 존재한다. [[아벨 변환]]에 의하여, 임의의 <math>n\ge N(\epsilon)</math> 및 임의의 <math>p\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_kb_k\right|
&=\left|b_{n+p}(S_{n+p}-S_n)+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_k-b_{k+1})(S_k-S_n)\right|\\
&\le|b_{n+p}||S_{n+p}-S_n|+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}|b_k-b_{k+1}||S_k-S_n|\\
&\le\frac\epsilon{6|b|+1}\left(|b_{n+p}|+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}|b_k-b_{k+1}|\right)\\
&=\frac\epsilon{6|b|+1}\left(|b_{n+p}|+\left|\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_k-b_{k+1})\right|\right)\\
&=\frac\epsilon{6|b|+1}(|b_{n+p}|+|b_{n+1}-b_{n+p}|)\\
&\le\frac\epsilon{6|b|+1}(2|b_{n+p}|+|b_{n+1}|)\\
&\le\frac\epsilon{6|b|+1}\cdot3\cdot2|b|\\
&<\epsilon
\end{align}
</math>
즉, 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_nb_n</math>
의 [[부분합]]은 [[코시 수열]]이다. 따라서 이 급수는 수렴한다.
{{증명 끝}}

=== 이상 적분 ===
[[실수 값 함수]] <math>f\colon[a,\infty)\to\mathbb R</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>f</math>는 임의의 <math>[a,b]\subseteq[a,\infty)</math>에서 [[리만 적분]] 가능하며, 또한 [[이상 적분]] <math>\int_a^\infty f(x)\,dx</math>는 수렴한다.
* <math>g</math>는 [[단조함수]]이자 [[유계 함수]]이다.
그렇다면, [[이상 적분]]
:<math>\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx</math>
는 수렴한다.
{{증명|부제=디리클레 판정법을 통한 증명}}
<math>g\colon[a,\infty)\to\mathbb R</math>가 [[단조함수|단조]] [[유계 함수]]이므로, 극한
:<math>g(\infty)=\lim_{x\to\infty}g(x)\in\mathbb R</math>
가 존재한다. 함수 <math>x\mapsto g(x)-g(\infty)</math>는 [[단조함수]]이며, 0으로 수렴한다. [[이상 적분]]
:<math>\int_a^\infty f(x)\,dx</math>
가 수렴하므로,
:<math>x\mapsto\int_a^xf(t)\,dt</math>
는 [[유계 함수]]이다. 이상 적분에 대한 [[디리클레 판정법]]에 의하여, 이상 적분
:<math>\int_a^\infty f(x)(g(x)-g(\infty))\,dx</math>
는 수렴한다. 따라서, 이상 적분
:<math>\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx=\int_a^\infty f(x)(g(x)-g(\infty))\,dx+g(\infty)\int_a^\infty f(x)\,dx</math>
역시 수렴한다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=직접적인 증명}}
:<math>g(\infty)=\lim_{x\to\infty}g(x)\in\mathbb R</math>
이라고 하자. 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여,
:<math>|g(x)|<2|g(\infty)|\qquad(\forall x>N(\epsilon))</math>
:<math>\left|\int_x^yf(t)\,dt\right|<\frac\epsilon{4|g(\infty)|+1}\qquad(\forall y>x>N(\epsilon))</math>
인 <math>N(\epsilon)>a</math>가 존재한다. [[제2 적분 평균값 정리]]에 따라, 임의의 <math>y>x>N(\epsilon)</math>에 대하여, 어떤 <math>c(x,y)\in[x,y]</math>가 존재하며, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
\left|\int_x^yf(t)g(t)\,dt\right|
&=\left|g(x)\int_x^{c(x,y)}f(t)\,dt+g(y)\int_{c(x,y)}^yf(t)\,dt\right|\\
&\le2|g(\infty)|\left(\left|\int_x^{c(x,y)}f(t)\,dt\right|+\left|\int_{c(x,y)}^yf(t)\,dt\right|\right)\\
&\le2|g(\infty)|\cdot2\cdot\frac\epsilon{4|g(\infty)|+1}\\
&<\epsilon
\end{align}
</math>
따라서, [[이상 적분]]
:<math>\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx</math>
은 수렴한다.
{{증명 끝}}

=== 균등 수렴 ===
[[집합]] <math>X</math> 및 두 [[실수 값 함수]]의 열 <math>(f_n,g_n\colon X\to\mathbb R)_{n=0}^\infty</math>이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* 함수 항 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty f_n</math>는 [[균등 수렴]]한다.
* <math>(g_n)_{n=0}^\infty</math>은 [[균등 유계 함수열]]이다. 또한, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>(g_n(x))_{n=0}^\infty</math>는 [[단조수열]]이다.
그렇다면, 함수 항 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty f_ng_n</math>
역시 [[균등 수렴]]한다. 이에 대한 증명은 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법의 직접적 증명을 조금 고치면 된다. 디리클레 판정법을 통한 증명은 더 이상 유효하지 않다. 구체적으로, <math>(g_n)_{n=0}^\infty</math>은 점별 극한 <math>g\colon X\to\mathbb R</math>을 갖지만, <math>g</math>로 [[균등 수렴]]할 필요가 없다. 만약 <math>X</math>가 [[한원소 집합]]이라면, 이는 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법이다.

== 예 ==
아벨 판정법에 따라, 임의의 [[수렴급수]]
:<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>
에 대하여, 다음 급수들 역시 수렴한다.<ref name="Knopp"/>{{rp|315, Examples and applications 1}}
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}na_n</math>
:<math>\sum_{n=1}^\infty\sqrt[n]na_n</math>
:<math>\sum_{n=1}^\infty\left(1+\frac1n\right)^na_n</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Abel criterion}}
* {{매스월드|id=AbelsUniformConvergenceTest|제목=Abel’s uniform convergence test}}
* {{플래닛매스|urlname=ProofOfAbelsTestForConvergence|제목=Proof of Abel’s test for convergence}}
* {{proofwiki|id=Abel's Test|제목=Abel's test}}

[[분류:수렴판정법]]