아벨의 합 공식 (적분 기법) 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|아벨의 합 공식}}

[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''아벨의 합 공식'''(Abel's Sum Formula)은 크게 두 가지 의미로 사용된다. 여기에서는 [[적분]]에 대한 공식을 기술할 것이다. 이는 많은 경우 쉽게 적분할 수 없을 것처럼 보이는 적분을 쉽게 만들어주는 공식이다. 닫힌 꼴의 적분값을 찾는 적분 기법의 측면에서, 이는 초등적인 기법으로 증명할 수 있는 고급 테크닉에 속한다.(이외의 테크닉으로는 [[푸리에 해석]]을 이용한 방법, [[유수 정리]]를 이용한 방법, [[변수 변환]]을 이용한 방법, [[수열]]을 이용한 방법 등이 있다)

==공식화==
일반적으로 아벨의 합 공식은 다음과 같이 공식화된다.
*보조정리 : <math>[c, \infty]</math>에서 리만적분가능함수 <math>f(x)</math>에 대해 <math>\int_c^\infty f(x) \,dx</math> 가 수렴하면, 적분 <math>\int_c^\infty e^{-ax}f(x) \,dx= F(a)</math>는 <math>0 \le a \le 1</math>에 대해 [[균등수렴]]한다.
*정리 : 이 때, 실제로 <math>\int_c^\infty f(x) \,dx = \lim_{a\rightarrow +0}F(a)</math> 가 성립한다.
이것 자체의 증명은 그다지 어렵지 않으므로 생략한다.

==응용==
아벨의 합 공식을 이용하는 방법은, 위의 공식에서 다른 방법으로 <math>F(a)</math>에 관한 식을 찾은 뒤 이것을 <math>a</math>에 관해 풀어서 적분을 구하는 것이다.

아벨의 합 공식을 이용해 실제로 적분 <math>\int_0^\infty \frac{\sin{x}}{x} \,dx</math>를 계산해 보자. 공식에 대입하면,
:<math>\int_0^\infty \frac{\sin{x}}{x} \,dx = \lim_{a\rightarrow +0}\int_0^\infty e^{-ax}\frac{\sin{x}}{x} \,dx = \lim_{a\rightarrow +0}F(a)</math>
이 된다. 그런데 우변의 식은,
:<math>F'(a)= - \int_0^\infty e^{-ax}\sin{x} \,dx = -\frac{1}{1+ a^2}</math>
이 되므로, 이를 다시 <math>a</math>에 관해 적분하면,
:<math>F(a)= - \arctan{a} + C</math>
와 같이 된다. 적분상수를 결정하기 위해 적분의 형태를 이용하자. <math>F(a)</math>의 원 식에서 <math>a</math>가 무한대로 가면, 적분식 안이 <math>0</math>으로 접근하므로 <math>F(a)</math> 역시 <math>0</math>으로 접근한다. 또 이때 아크탄젠트 함수의 값은 <math>\frac{\pi}{2}</math>로 접근하므로, 적분상수는 결국 <math>\frac{\pi}{2}</math>와 같이 된다. 따라서,
:<math>\lim_{a\rightarrow +0} {[- \arctan{a} + \frac{\pi}{2}]} = \frac{\pi}{2}</math>
가 되고, 이는 원 적분과 같다.

== 같이 보기 ==
* [[아벨 극한 정리]]

== 참고 문헌 ==
*호리에 노부오 외, 《미분적분학 연습》, 도서출판 고섶, 2006

[[분류:해석학 정리]]
[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:적분학]]