아다마르 곱 문서 원본 보기

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[[파일:Hadamard product qtl1.svg|thumb]]
[[선형대수학]]에서 '''아다마르 곱'''({{llang|en|Hadamard product}})은 같은 크기의 두 [[행렬]]의 각 성분을 곱하는 연산이다. 즉, 일반 행렬곱은 <math>m\times n</math>과 <math>n\times p</math>의 꼴의 두 행렬을 곱하지만, 아다마르 곱은 <math>m\times n</math>과 <math>m\times n</math>의 꼴의 두 행렬을 곱한다. 덧셈에 대하여 [[분배 법칙]]을 따른다. 기호는 <math>\bigcirc</math>.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 성분을 갖는, 같은 크기 <math>m\times n</math>의 두 행렬
:<math>M, N\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>
:<math>M=\begin{pmatrix}
M_{11}&M_{12}&\dotsm&M_{1n}\\
M_{21}&M_{22}&&M_{2n}\\
\vdots&&\ddots&\vdots\\
M_{m1}&M_{m2}&\dotsm&M_{mn}
\end{pmatrix}</math>
:<math>N=
\begin{pmatrix}
N_{11}&N_{12}&\dotsb&N_{1n}\\
N_{21}&N_{22}&&N_{2n}\\
\vdots&&\ddots&\vdots\\
N_{m1}&N_{m2}&\dotsm&N_{mn}
\end{pmatrix}</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>M</math>과 <math>N</math>의 '''아다마르 곱'''은 다음과 같다.
:<math>M\bigcirc N
=\begin{pmatrix}
M_{11}N_{11}&M_{12}N_{12}&\dotsm&M_{1n}N_{1n}\\
M_{21}N_{21}&M_{22}N_{22}&&M_{2n}N_{2n}\\
\vdots&&\ddots&\vdots\\
M_{m1}N_{m1}&M_{m2}N_{m2}&\dotsm&M_{mn}N_{mn}
\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(m,n;R)
</math>

== 성질 ==
환 <math>R</math>가 주어졌다고 하자.

아다마르 곱은 [[결합 법칙]]과 덧셈에 대한 [[분배 법칙]]을 따른다. 즉, 임의의
:<math>M,N,P\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>
에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>(M\bigcirc N)\bigcirc P=M\bigcirc(N\bigcirc P)</math>
:<math>M\bigcirc(N+P)=M\bigcirc N+M\bigcirc P</math>
:<math>(N+P)\bigcirc M=N\bigcirc M+P\bigcirc M</math>
아다마르 곱의 항등원은 모든 성분이 1인 행렬
:<math>\mathsf J_{m\times n}=
\begin{pmatrix}
1&1&\dotsm&1\\
1&1&&1\\
\vdots&&\ddots&\vdots\\
1&1&\dotsm&1
\end{pmatrix}</math>
이다. 이에 따라, <math>(\operatorname{Mat}(m,n;R),\bigcirc,\mathsf J)</math>는 [[환 (수학)|환]]을 이루며, 이는 환의 [[직접곱]] <math>R^{mn}</math>과 동형이다.

만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면, 아다마르 곱은 [[교환 법칙]]을 따른다. 즉, 임의의
:<math>M,N\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>
에 대하여, 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]일 경우 다음이 성립한다.
:<math>M\bigcirc N=N\bigcirc M</math>

만약 <math>M\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>의 모든 성분이 [[가역원]]이라면, <math>M</math>에 대한 아다마르 곱은 다음과 같은 역원을 갖는다.
:<math>M^{\bigcirc-1}=\begin{pmatrix}
M_{11}^{-1}&M_{12}^{-1}&\dotsm&M_{1n}^{-1}\\
M_{21}^{-1}&M_{22}^{-1}&&M_{2n}^{-1}\\
\vdots&&\ddots&\vdots\\
M_{m1}^{-1}&M_{m2}^{-1}&\dotsm&M_{mn}^{-1}
\end{pmatrix}</math>

두 [[대칭 행렬]]의 아다마르 곱은 대칭 행렬이다. 두 복소수 [[에르미트 행렬]]의 아다마르 곱은 [[에르미트 행렬]]이다.

=== 슈어-오펜하임 부등식 ===
임의의 두 [[양의 준정부호]] [[에르미트 행렬]]
:<math>M,N\in\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb C)</math>
:<math>M=M^*</math>
:<math>N=N^*</math>
:<math>v^*Mv\ge0\forall v\in\mathbb C^n</math>
:<math>v^*Nv\ge0\forall v\in\mathbb C^n</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, '''슈어-오펜하임 부등식'''(Schur-Oppenheim不等式, {{llang|en|Schur–Oppenheim inequality}})에 따르면, 다음이 성립한다.
* <math>M\bigcirc N</math>은 역시 [[양의 준정부호]] [[에르미트 행렬]]이다.
* <math>\det (M\bigcirc N)\ge \left(\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^nM_{ij}\right)\det N\ge\det (MN)</math>

== 역사 ==
“아다마르 곱”이라는 용어는 [[자크 아다마르]]의 이름을 딴 것이다.

슈어-오펜하임 부등식의 경우, [[이사이 슈어]]가 1911년에 <math>\det (M\bigcirc N)\ge \det (MN)</math>을 증명하였으며,<ref>{{저널 인용|이름=J.|성=Schur|저자링크=이사이 슈어|날짜=1911|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|issn=0075-4102|제목=Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002167336|권=140|쪽=1–28|doi=10.1515/crll.1911.140.1|jfm=42.0367.01|언어=de}}</ref>{{rp|14, Satz Ⅶ}} 알렉산더 오펜하임({{llang|en|Alexander Oppenheim}}, 1903~1997)이 1930년에 이를 개량하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1112/jlms/s1-5.2.114|제목=Inequalities connected with definite Hermitian forms|이름=Alexander|성=Oppenheim|날짜=1930-04|저널=Journal of the London Mathematical Society|권=5|호=2|쪽=114–119|jfm=56.0106.05|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[크로네커 곱]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Matrix multiplication}}
* {{웹 인용|url=http://buzzard.ups.edu/courses/2007spring/projects/million-paper.pdf|제목=The Hadamard product|이름=Elizabeth|성=Million|날짜=2007-04-12|언어=en}}

[[분류:행렬]]
[[분류:이항연산]]
[[분류:행렬론]]