쌍순환군 문서 원본 보기

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[[군론]]에서 '''쌍순환군'''(雙循環群, {{llang|en|dicyclic group}}) 또는 '''일반화 사원수군'''(一般化四元數郡, {{llang|en|generalized quaternion group}})은 짝수 크기의 [[순환군]]의 2배 [[군의 확대|확대]]이다. [[사원수군]]의 일반화이다.

== 정의 ==
아벨 군 <math>A</math> 및 차수 2의 원소 <math>y\in A</math>가 주어졌을 때, '''쌍순환군''' <math>\operatorname{Dic}(A,y)</math>는 다음 조건들을 만족시키는 군 <math>G\ge A</math>이다.
* [[부분군의 지표]]는 <math>[G:A]=2</math>
* <math>G</math>는 <math>A</math>와 어떤 <math>x\in G\setminus A</math>에 의하여 생성되며, 또한 <math>x^2=y</math>이며 <math>x^{-1}ax=a^{-1}</math>이다.
이러한 군은 항상 유일하다. 만약 <math>A</math>의 [[군의 표시]]가
:<math>A=\langle\{a_i\}_{i\in I}|R\rangle</math>
라면, <math>\operatorname{Dic}(A,y)</math>의 표시는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Dic}(A,y)=\langle\{a_i\}_{i\in I}, x|R,\;x^{-1}a_ix=a_i^{-1},\;x^2=y\rangle</math>

짝수 크기의 순환군 <math>\operatorname{Cyc}(2n)=\langle a|a^{2n}=1\rangle</math>의 경우, 차수가 2인 원소 <math>a^n</math>이 유일하게 존재한다. <math>\operatorname{Cyc}(2n)</math>에 대한 쌍순환군을 <math>\operatorname{Dic}(n)</math>이라고 한다. 이 군의 [[군의 표시|표시]]는 다음과 같다.<ref>{{서적 인용 | 제목=Fundamentals of group theory. An advanced approach| url=https://archive.org/details/fundamentalsofgr0000roma|성=Roman|이름=Steven|날짜=2012|doi=10.1007/978-0-8176-8301-6|출판사=Birkhäuser|isbn= 978-0-8176-8300-9|zbl=1244.20001|언어=en}}</ref>{{rp|347–348}}
:<math>\operatorname{Dic}(n)=\langle a,x|a^{2n}=1,\;x^2=a^n,\;x^{-1}ax=a^{-1}\rangle</math>
이는 다음과 같은 사원수 [[가역원군]]의 부분군으로 나타낼 수 있다.
:<math>\operatorname{Dic}(n)=\{\exp(i\pi m/n)j^k\colon m,k\in\mathbb Z\}</math>

== 성질 ==
다음과 같은 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>1\to A\hookrightarrow\operatorname{Dic}(A,y)\twoheadrightarrow\operatorname{Cyc}(2)\to 1</math>
그러나 이는 [[분할 완전열]]이 아니다.

다음과 같은 가환 그림이 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
\operatorname{Dic}(A,y)&\twoheadrightarrow&\operatorname{Dih}(A/\langle y\rangle)\\
\cup&&\cup\\
A&\twoheadrightarrow& A/\langle y\rangle
\end{matrix}</math>
여기서 <math>\operatorname{Dih}(A/\langle y\rangle)\cong(A/\langle y\rangle)\rtimes\operatorname{Cyc}(2)</math>는 [[정이면체군]]이다.

== 예 ==
낮은 차수의 쌍순환군은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Dic}(1)\cong\operatorname{Cyc}(4)</math>
:<math>\operatorname{Dic}(2)\cong Q_8</math> ([[사원수군]])
:<math>\operatorname{Dic}(3)\cong\operatorname{Cyc}(3)\rtimes\operatorname{Cyc}(4)</math>
:<math>\operatorname{Dic}(6)\cong\operatorname{Cyc}(3)\rtimes Q_8</math>
:<math>\operatorname{Dic}(7)\cong\operatorname{Cyc}(7)\rtimes\operatorname{Cyc}(4)</math>
<math>\operatorname{Dic}(3)</math>의 [[반직접곱]] 표현에서, <math>\operatorname{Cyc}(4)</math>의 <math>\operatorname{Cyc}(3)</math> 위의 작용은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Cyc}(3)=\langle a|a^3=1\rangle</math>
:<math>\operatorname{Cyc}(4)=\langle b|b^4=1\rangle</math>
:<math>b\colon\begin{cases}
1\mapsto 1\\a\mapsto a^2\\a^2\mapsto a\end{cases}</math>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Dicyclic_group|제목=Dicyclic group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:유한군]]
[[분류:사원수]]