쌍대뿔 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Dual_cone_illustration.svg|섬네일|오른쪽|<math>C</math> (푸른 부분)의 쌍대뿔은 <math>C^*</math>(붉은 부분)이다.]]
[[기하학]]에서, '''쌍대뿔'''(雙對뿔, {{llang|en|dual cone}})은 주어진 벡터 [[집합]]의 모든 원소와의 [[내적]]이 음수가 아닌 벡터들로 구성된 [[부분 집합]]이다.

== 정의 ==
[[실수 내적 공간]] <math>(V, \langle ,\rangle)</math>가 주어졌다고 하자. <math>V</math>의 임의의 [[부분 집합]] <math>C\subseteq\mathbb R^n</math>의 '''쌍대뿔'''은 다음과 같은 부분 집합이다.
:<math>C^\vee = \{v\in\mathbb R^n \colon \langle c,v\rangle \ge 0 \;\forall c\in C\}</math>

== 성질 ==
[[실수 벡터 공간]] <math>V</math> 속의 '''뿔'''은 다음 두 연산에 대하여 닫혀 있는 부분 집합 <math>C\subseteq V</math>이다.
* 임의의 <math>v\in C</math> 및 <math>\lambda\in[0,\infty)</math>에 대하여, <math>\lambda v\in C</math>
* <math>C</math>는 덧셈에 대한 [[모노이드]]이다. 즉, 임의의 <math>u,v\in C</math>에 대하여, <math>u+v\in C</math>이다. (<math>0\in C</math>인 것은 첫째 조건에 대하여 항상 성립한다.)

[[실수 내적 공간]] <math>V</math> 속의 임의의 부분 집합 <math>C\subseteq V</math>의 쌍대뿔 <math>C^\vee \subseteq V</math>은 항상 뿔이며, [[볼록 집합]]이며, [[닫힌집합]]이다.
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'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
* 스칼라곱에 대한 닫힘: 임의의 <Math>\lambda\in[0,\infty)</math> 및 <Math>u\in C^\vee</math> 및 <math>c\in C</math>에 대하여, <Math>\langle \lambda u,c\rangle = \lambda \langle u,c\rangle \ge 0</math>
* 덧셈에 대한 닫힘: 임의의 <math>u,v\in C^\vee</math> 및 <Math>c\in\in C</math>에 대하여, <math>\langle u+v,c\rangle = \langle u,c\rangle + \langle v,c\rangle \ge 0</math>
* 볼록성: 임의의 <math>u,v\in C^\vee</math> 및 <Math>t\in[0,1]</math>에 대하여, <math>tu, (1-t)v\in C^\vee</math>이므로 <math>tu+(1-t)v\in C^\vee</math>
* [[닫힌집합]]: <math>C^\vee</math> 속의 임의의 점렬 <math>(u_i)_{i\in\mathbb N}</math>이 <math>\textstyle u=\lim_{i\to\infty}u_i</math>로 수렴한다면, 임의의 <math>c\in C</math>에 대하여 <math>\textstyle\langle u,c\rangle=\lim_{i\to\infty}\langle u_i,c\rangle\ge0</math>
</div></div>

[[실수 내적 공간]] <math>V</math> 속의 임의의 부분 집합 <math>C\subseteq V</math>에 대하여,
:<math>C^{\vee\vee}\supseteq C</math>
이다.
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'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 <math>c\in C</math>에 대하여, <math>c\in C^{\vee\vee}</math>일 [[필요 충분 조건]]은
:<math>\forall u\in C^\vee\colon \; \langle c,u\rangle \ge 0</math>
인 것이다. 그런데, <math>\langle c,u\rangle = \langle u,c\rangle</math>이므로, 위 조건은 <math>C^\vee</math>의 정의에 따라 자동적으로 충족된다.
</div></div>

[[실수 내적 공간]] <math>V</math> 속의 임의의 두 부분 집합 <math>C,D\subseteq V</math>에 대하여, 만약 <math>C\subseteq D</math>라면,<math>C^\vee \supseteq D^\vee</math>
이다.

== 예 ==
[[실수 내적 공간]] <math>V</math>가 주어졌다고 하자.
* 공집합 <math>\varnothing\subseteq V</math>의 쌍대뿔은 <math>\varnothing^\vee = V</math>이다.
* <math>\{0\}\subseteq V</math>의 쌍대뿔은 <math>\{0\}^\vee = V</math>이다.
* 보다 일반적으로, 임의의 부분 벡터 공간 <math>W\subseteq V</math>의 쌍대뿔은 <math>W^\vee = \operatorname{cl}W</math> ([[폐포 (위상수학)|폐포]])이다.
* <math>V\subseteq V</math>의 쌍대뿔은 <math>V^\vee = \{0\}</math>이다.

{{전거 통제}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:유클리드 기하학]]
[[분류:볼록기하학]]
[[분류:볼록 해석]]