쌍대뿔

$C$ (푸른 부분)의 쌍대뿔은 $C^{*}$(붉은 부분)이다.

기하학에서, 쌍대뿔(雙對뿔, 틀:Llang)은 주어진 벡터 집합의 모든 원소와의 내적이 음수가 아닌 벡터들로 구성된 부분 집합이다.

정의

실수 내적 공간 $(V,⟨,⟩)$가 주어졌다고 하자. $V$의 임의의 부분 집합 $C\subseteq {ℝ}^n$의 쌍대뿔은 다음과 같은 부분 집합이다.

$C^{\vee }=\{v\in {ℝ}^n:⟨c,v⟩\ge 0\mathrm{\forall }c\in C\}$

성질

실수 벡터 공간 $V$ 속의 뿔은 다음 두 연산에 대하여 닫혀 있는 부분 집합 $C\subseteq V$이다.

• 임의의 $v\in C$ 및 $\lambda \in [0,\mathrm{\infty })$에 대하여, $\lambda v\in C$
• $C$는 덧셈에 대한 모노이드이다. 즉, 임의의 $u,v\in C$에 대하여, $u+v\in C$이다. ($0\in C$인 것은 첫째 조건에 대하여 항상 성립한다.)

실수 내적 공간 $V$ 속의 임의의 부분 집합 $C\subseteq V$의 쌍대뿔 $C^{\vee }\subseteq V$은 항상 뿔이며, 볼록 집합이며, 닫힌집합이다.

증명:

• 스칼라곱에 대한 닫힘: 임의의 $\lambda \in [0,\mathrm{\infty })$ 및 $u\in C^{\vee }$ 및 $c\in C$에 대하여, $⟨\lambda u,c⟩=\lambda ⟨u,c⟩\ge 0$
• 덧셈에 대한 닫힘: 임의의 $u,v\in C^{\vee }$ 및 $c\in \in C$에 대하여, $⟨u+v,c⟩=⟨u,c⟩+⟨v,c⟩\ge 0$
• 볼록성: 임의의 $u,v\in C^{\vee }$ 및 $t\in [0,1]$에 대하여, $tu,(1-t)v\in C^{\vee }$이므로 $tu+(1-t)v\in C^{\vee }$
• 닫힌집합: $C^{\vee }$ 속의 임의의 점렬 $(u_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$이 $u=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_i$로 수렴한다면, 임의의 $c\in C$에 대하여 $⟨u,c⟩=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨u_i,c⟩\ge 0$

실수 내적 공간 $V$ 속의 임의의 부분 집합 $C\subseteq V$에 대하여,

$C^{\vee \vee }\supseteq C$

이다.

증명:

임의의 $c\in C$에 대하여, $c\in C^{\vee \vee }$일 필요 충분 조건은

$\mathrm{\forall }u\in C^{\vee }:⟨c,u⟩\ge 0$

인 것이다. 그런데, $⟨c,u⟩=⟨u,c⟩$이므로, 위 조건은 $C^{\vee }$의 정의에 따라 자동적으로 충족된다.

실수 내적 공간 $V$ 속의 임의의 두 부분 집합 $C,D\subseteq V$에 대하여, 만약 $C\subseteq D$라면,$C^{\vee }\supseteq D^{\vee }$ 이다.

예

실수 내적 공간 $V$가 주어졌다고 하자.

• 공집합 $\varnothing \subseteq V$의 쌍대뿔은 ${\varnothing }^{\vee }=V$이다.
• $\{0\}\subseteq V$의 쌍대뿔은 $\{0{\}}^{\vee }=V$이다.
• 보다 일반적으로, 임의의 부분 벡터 공간 $W\subseteq V$의 쌍대뿔은 $W^{\vee }=\mathrm{cl}W$ (폐포)이다.
• $V\subseteq V$의 쌍대뿔은 $V^{\vee }=\{0\}$이다.