쌍대곱 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''쌍대곱'''(雙對-, {{llang|en|coproduct}})은 [[곱 (범주론)|곱]]에 대한 쌍대({{lang|en|dual}}) 개념이다. [[가군]]의 [[직합]]이나 [[집합]]의 [[분리 합집합]] 등을 일반화한다. 이산 범주를 정의역으로 하는 [[함자 (수학)|함자]]의 [[쌍대극한]]으로 생각할 수 있다.

== 정의 ==
범주 <math>\mathcal C</math>의 대상의 집합 <math>\{X_j\}_{j\in J}</math>를 생각하자. 그렇다면 이 집합의 '''쌍대곱''' <math>\coprod_{j\in J}X_j</math>는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.
* 대상 <math>X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>
* 각 <math>X_j</math>에 대하여, 사상 <math>i_j\colon X_j\to X</math>
이들은 다음과 같은 조건을 만족하여야 한다. 임의의 대상 <math>Y\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>와 사상 <math>f_j\colon X_j\to Y</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 <math>f\colon X\to Y</math>가 존재한다.
:<math>fi_j=f_j</math>.
즉, 다음 [[그림 (범주론)|그림]]을 가환시키는 유일한 <math>f</math>가 존재한다.
:[[파일:Coproduct-01.png]]

== 예 ==
각종 범주에서의 쌍대곱은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 범주 !! 쌍대곱
|-
| [[집합]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math> || [[분리합집합]] <math>A\sqcup B</math>
|-
| [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math> || 분리합공간 <math>A\sqcup B</math>
|-
| [[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math> || [[자유곱]] <math>A*B</math>
|-
| [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math> || [[직합]] <math>A\oplus B</math> (유한 직합은 곱과 일치)
|-
| [[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대한 [[벡터 공간]]의 범주 <math>\operatorname{\mathit K-Vect}</math> || [[직합]] <math>A\oplus B</math>
|-
| [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대한 [[왼쪽 가군]]의 범주 <math>\operatorname{\mathit R-Mod}</math> || [[직합]] <math>A\oplus B</math>
|-
| [[가환환]] <math>R</math>에 대한 가환 [[결합 대수]]의 범주 <math>\operatorname{\mathit R-CAlg}</math> || [[텐서곱]] <math>A\otimes_R B</math>
|-
| [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]의 범주 <math>\operatorname{CompHaus}</math> || 분리합공간의 [[스톤-체흐 콤팩트화]] <math>\beta(A\sqcup B)</math>
|}

== 같이 보기 ==
* [[극한 (범주론)]]
* [[귀납적 극한]]
* [[밂 (범주론)]]

{{전거 통제}}

[[분류:극한 (범주론)]]