심플렉틱 벡터 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서 '''심플렉틱 벡터 공간'''(symplectic vector空間, {{llang|en|symplectic vector space}})은 비퇴화 교대 [[쌍선형 형식]]이 주어진 [[벡터 공간]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 [[쌍선형 형식]]
:<math>\Omega \colon V\otimes_KV\to K</math>
:<math>\Omega \colon (a\otimes b)\mapsto \Omega(a,b)</math>
가 다음 조건을 만족시키면, '''심플렉틱 쌍선형 형식'''({{llang|en|symplectic bilinear form}})이라고 한다.
* <math>\Omega(v,v) = 0\qquad\forall v\in V</math>
* (비퇴화성) [[선형 변환]] <math>V \to V^*</math>, <math>v\mapsto \Omega(v,-)</math>는 [[단사 함수]]이다. 즉, 만약 <Math>\Omega(v,u) = 0 \forall u\in V</math>라면, <math>v=0</math>이다.

심플렉틱 쌍선형 형식이 주어진 [[벡터 공간]] <math>(V,\Omega)</math>를 '''심플렉틱 벡터 공간'''이라고 한다.

== 성질 ==
=== 다르부 기저 ===
(임의의 표수의) 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간 <math>(V,\Omega)</math>는 항상 짝수 차원이며, <math>\Omega</math>가 다음과 같은 행렬로 표현되게 만드는 [[기저 (선형대수학)|기저]]가 존재한다.<ref name="Grove">{{서적 인용|성=Grove|이름=Larry C.|제목=Classical groups and geometric algebra|언어=en|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=39|출판사=American Mathematical Society|위치=[[프로비던스]]|날짜=2002|isbn=0-8218-2019-2|issn=1065-7338|mr=MR1859189|zbl=0990.20001}}</ref>{{rp|18–19, Theorem 2.10}}
:<math>\Omega = \begin{pmatrix}
0_{n\times n}&1_{n\times n}\\
-1_{n\times n}&0_{n\times n}
\end{pmatrix}</math>
이러한 기저를 '''다르부 기저'''({{llang|en|Darboux basis}})라고 한다.

=== 라그랑주 부분 공간 ===
임의의 체 <math>K</math> 위의 유한 차원 벡터 공간 <math>V</math>이 주어졌을 때,
:<math>V\oplus V^*</math>
위에 다음과 같은 심플렉틱 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.
:<math>\Omega(a\oplus\alpha, b\oplus\beta) = \langle a,\beta\rangle - \langle b,\alpha\rangle \qquad(a,b\in V,\;\alpha,\beta\in V^*)</math>
심플렉틱 벡터 공간의 동형
:<math>V\oplus V^* \to W</math>
가 주어졌을 때, <math>V</math>를 <math>W</math>의 '''라그랑주 부분 공간'''이라고 한다. 모든 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간은 라그랑주 부분 공간을 가지며, 이는 일반적으로 유일하지 않다.

=== 표준 부피 형식 ===
<math>2n</math>차원 심플렉틱 벡터 공간 <math>(V,\Omega)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>\overbrace{\Omega\wedge\Omega\wedge\dotsb\wedge\Omega}^n \in\bigvee^n(V)</math>
는 <math>V</math> 위의 [[부피 형식]]을 이룬다. 이를 <math>V</math>의 '''표준 부피 형식'''({{llang|en|standard volume form}})이라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[마슬로프 지표]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=SymplecticSpace|title=Symplectic space}}
* {{매스월드|id=SymplecticForm|title=Symplectic form}}
* {{nlab|title=Symplectic vector space}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]