심플렉틱 리 대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 군론]]에서 '''심플렉틱 리 대수'''(symplectic Lie代數, {{llang|en|symplectic Lie algebra}})는 [[심플렉틱 군]]에 대응되는 [[리 대수]]이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* <math>K</math>-[[가군]] <math>V</math>
* <math>V</math> 위의 교대 [[쌍선형 형식]] <math>\Omega \colon\textstyle\bigwedge^2V \to K</math>, <math>\Omega(v,v) = 0</math>
그렇다면, <math>V</math> 위의 [[자기 준동형]]들로 구성된 <math>K</math>-[[리 대수]]
:<math>\mathfrak{gl}(V;K) = \operatorname{End}_K(V) = \hom_K(V,V)</math>
의 다음과 같은 <math>K</math>-[[부분 가군]]은 [[부분 리 대수]]를 이룬다.
:<math>\mathfrak{sp}(V;K) = \{M\in\mathfrak{gl}(V;K)\colon\Omega(u,Sv) = \Omega(v,Su) \quad\forall u,v\in V\}</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>\Omega(u,MNv) = -\Omega(Mu,Nv) = \Omega(NMu,v) = -\Omega(v,NMu)</math>
이므로,
:<math>\Omega(u,[M,N]v) = -\Omega(v,[N,M]u) = \Omega(v,[M,N]u)</math>
이다.
</div></div>

이를 <math>V</math> 위의, <math>\Omega</math>에 대한 '''심플렉틱 리 대수'''라고 한다.

== 성질 ==
만약 <math>K</math>가 [[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]]이며, <math>V</math>가 유한 차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]]이며, <math>\Omega</math>가 비퇴화 [[교대 쌍선형 형식]]이라고 하자. 이 경우, <math>V</math>는 항상 짝수 차원이며,
:<math>\dim_K \mathfrak{sp}(V,\Omega) = \frac12 (\dim_KV)(1+\dim_KV)</math>
이다.

만약 <math>K \in \{\mathbb R,\mathbb C\}</math>이며, <math>V</math>가 유한 차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]]일 때, <math>\mathfrak{sp}(V,\Omega)</math>는 [[심플렉틱 군]] <math>\operatorname{Sp}(V,\Omega)</math>의 [[리 대수]]이다.
:<math>\mathfrak{sp}(V,\Omega) = \operatorname{Lie}(\operatorname{Sp}(V,\Omega))</math>

=== 표수 2 ===
만약 <math>K</math>의 [[환의 표수|표수]]가 2라면, 교대 쌍선형 형식은 자동적으로 [[대칭 쌍선형 형식]]이 되며, 이에 따라 <math>\Omega</math>에 대한 [[직교 리 대수]]를 정의할 수 있다. 그런데 [[직교 리 대수]]의 조건은 <math>\Omega(v,Mv) = 0</math>이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:<math>\mathfrak o(V,\Omega) \subseteq\mathfrak{sp}(V,\Omega) \subseteq\mathfrak{gl}(V;K)</math>

== 예 ==
만약 <math>\Omega = 0</math>일 때, <math>\mathfrak{sp}(V,0) = \mathfrak{gl}(V;K)</math>이다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=SymplecticLieAlgebra|title=Symplectic Lie algebra}}

[[분류:리 대수]]