실베스터 행렬 문서 원본 보기

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[[가환대수학]]에서 '''실베스터 행렬'''(Sylvester行列, {{llang|en|Sylvester matrix}})은 두 다항식의 공약 다항식에 대한 정보를 담고 있는 [[정사각 행렬]]이다.<ref name="Lang">{{서적 인용|성=Lang|이름=Serge|저자링크=서지 랭|제목=Algebra|언어=en|판=개정 3|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=211|출판사=Springer|위치=New York, NY|날짜=2002|issn=0072-5285|isbn=978-1-4612-6551-1|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|zbl=0984.00001|mr=1878556}}</ref>

== 정의 ==
[[가환환]] <math>R</math> 계수를 갖는 두 0이 아닌 [[다항식]] <math>p,q\in R[x]</math>의 '''실베스터 행렬'''은 <math>(\deg p+\deg q)\times(\deg p+\deg q)</math> [[정사각 행렬]]이다. 구체적으로, 만약
:<math>p(x)=\sum_{i=0}^mp_ix^i</math>
:<math>q(x)=\sum_{i=0}^nq_ix^i</math>
:<math>p_mq_n\ne 0</math>
라면, <math>p</math>와 <math>q</math>의 '''실베스터 행렬'''은 다음과 같은 <math>(m+n)\times(m+n)</math> 행렬이다.
:<math>S(p,q)=\begin{pmatrix}
p_m&p_{m-1}&p_{m-2}&\cdots&p_1&p_0&0&\cdots&0&0\\
0&p_m&p_{m-1}&p_{m-2}&\cdots&p_1&p_0&0&\ddots&0\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&\cdots&0&p_m&p_{m-1}&p_{m-2}&\cdots&p_1&p_0&0\\
0&0&\cdots&0&p_m&p_{m-1}&p_{m-2}&\cdots&p_1&p_0\\
q_n&q_{n-1}&q_{n-2}&\cdots&q_1&q_0&0&\cdots&0&0\\
0&q_n&q_{n-1}&q_{n-2}&\cdots&q_1&q_0&0&\ddots&0\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&\cdots&0&q_n&q_{n-1}&q_{n-2}&\cdots&q_1&q_0&0\\
0&0&\cdots&0&q_n&q_{n-1}&q_{n-2}&\cdots&q_1&q_0\\
\end{pmatrix}</math>

== 성질 ==
[[가환환]] 계수를 갖는 두 다항식의 실베스터 행렬의 [[행렬식]]은 두 다항식의 [[종결식]]과 같다. [[가환환]] 계수의 다항식의 [[판별식]]은 자기 자신과 그 도함수의 [[종결식]]을 사용하여 나타낼 수 있으므로, 역시 실베스터 행렬의 [[행렬식]]을 통해 나타낼 수 있다.

두 다항식 <math>p,q\in R[x]</math>에 대하여,
:<math>\deg(\gcd(p,q)) = \deg p+\deg q-\operatorname{rank}S(p,q)</math>
이다. 여기서 <math>\operatorname{rank}</math>는 [[계수 (선형대수학)|행렬의 계수]]이다.

특히, [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 및 두 다항식 <math>p,q\in K[x]</math>가 근을 공유하지 않을 [[필요충분조건]]은 <math>S(p,q)</math>가 [[가역 행렬]]인 것이며, <math>p\mid q</math>일 [[필요충분조건]]은 <math>\operatorname{rank}S(p,q)=\deg q</math>이다.

== 역사 ==
[[제임스 조지프 실베스터]]가 도입하였다. 실베스터는 [[판별식]]을 실베스터 행렬의 [[행렬식]]을 통해 나타낼 수 있음을 보였다.<ref name="최은미">{{저널 인용|저자=최은미|제목=방정식의 판별식과 교육과정에서 활용 방안|저널=한국수학사학회지|권=24|호=4|쪽=143–155|날짜=2011|issn=1226-931X}}</ref>{{rp|149}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=SylvesterMatrix|title=Sylvester matrix}}

[[분류:다항식]]
[[분류:가환대수학]]