신경 (범주론) 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''신경'''(神經, {{llang|en|nerve}})은 [[작은 범주]]로부터 구성되는 [[단체 집합]]이다.

== 정의 ==
'''신경'''은 [[작은 범주]] · [[함자 (수학)|함자]] · [[자연 변환]]의 [[2-범주]] <math>\operatorname{Cat}</math>에서 [[단체 집합]] · 단체 집합 사상 · 단체 집합 [[호모토피]]의 [[2-범주]] <math>\operatorname{sSet}</math>로 가는 [[함자 (수학)|함자]]이다.
:<math>\operatorname{nerve}\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{sSet}</math>
즉, 신경 함자는 다음과 같은 대응을 정의한다.
* [[작은 범주]] → [[단체 집합]]
* 작은 범주 사이의 [[함자 (수학)|함자]] → 단체 집합 사이의 사상
* 작은 범주 사이의 두 [[함자 (수학)|함자]] 사이의 [[자연 변환]] → 단체 집합 사이의 두 사상 사이의 [[호모토피]]

단체 집합의 [[2-범주]]에서 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[2-범주]]로 가는 기하학적 실현 함자
:<math>|-|\colon\operatorname{sSet}\to\operatorname{Top}</math>
또한 존재한다. 신경과 기하학적 실현을 합성한 함자를 '''분류 공간'''({{llang|en|classifying space}}) 함자라고 한다.
:<math>|\operatorname{nerve}(-)|\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{Top}</math>

신경은 추상적으로 간단히 정의할 수 있으며, 추상적 정의를 구체적으로 길게 풀어서 정의할 수도 있다.

=== 추상적 정의 ===
[[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. 단체 범주 <math>\triangle</math>은 [[유한 집합|유한]] [[전순서 집합]]과 순서 보존 함수의 범주이다. 모든 [[전순서 집합]]은 (보다 일반적으로, 모든 [[부분 순서 집합]]은) 가는({{llang|en|thin}}) [[작은 범주]]로 생각할 수 있다.

[[함자 (수학)|함자]] <math>\operatorname{nerve}\mathcal C\colon\triangle^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>를 다음과 같이, [[전순서 집합]]에서 <math>\mathcal C</math>로 가는 [[함자 (수학)|함자]]들의 [[집합]]으로 정의하자.
:<math>\operatorname{nerve}\mathcal C\colon n\mapsto \hom_{\operatorname{Cat}}(n,\mathcal C)</math>
이러한 꼴의 함자는 [[단체 집합]]이라고 한다. [[단체 집합]] <math>\operatorname{nerve}\mathcal C</math>를 <math>\mathcal C</math>의 '''신경'''이라고 한다. 정의에 따라, 신경은 [[작은 범주]]의 범주에서 [[단체 집합]]의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname B\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{sSet}</math>
를 이룬다.

=== 구체적 정의 ===
{{사이드 박스
|내용양식=text-align: center
|내용=<math>
\begin{matrix}
X_0&\to&X_1\\
&\searrow&\downarrow\\
&&X_2
\end{matrix}
</math>
|아랫글=가환 삼각형은 신경의 2차원 [[단체 (수학)|단체]](삼각형)에 대응한다.
}}
신경의 추상적인 정의는 구체적으로 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.

[[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 [[집합]] <math>\Delta_n</math>을 다음과 같은, 합성이 가능한 <math>\mathcal C</math>-사상들의 열
:<math>X_0\xrightarrow{f_1}X_1\xrightarrow{f_2}X_2\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n</math>
들의 집합이라고 하자. (특히, <math>\Delta_0</math>은 단순히 <math>\mathcal C</math>의 대상의 집합이며, <math>\Delta_1</math>은 단순히 <math>\mathcal C</math>의 사상의 집합이다.)

또한, 각 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math> 및 자연수 <math>0\le i\le n</math>에 대하여 함수 <math>\partial_n^i</math>를 다음과 같이, <math>i</math>번째 대상을 생략하는 함수로 정의하자.
:<math>\partial_n^i\colon\Delta_n\to\Delta_{n-1}</math>
:<math>\partial_n^i\colon(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)\mapsto (X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{i-1}\xrightarrow{f_{i+1}\circ f_i}X_{i+1}\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)</math>
:<math>\partial_n^0\colon(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)\mapsto (X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)</math>
:<math>\partial_n^n\colon(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)\mapsto (X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1})</math>
또한, 각 자연수 <math>n\in\mathbb N</math> 및 자연수 <math>0\le i\le n</math>에 대하여 함수 <math>s_n^i</math>를 다음과 같이, <math>i</math>번째 대상을 반복하며 그 사이에 항등 사상을 삽입하는 함수로 정의하자.
:<math>s_n^i\colon\Delta_n\to\Delta_{n+1}</math>
:<math>s_n^i\colon(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)\mapsto(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_i\xrightarrow{\operatorname{id}_{X_i}}X_i\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)</math>
그렇다면 <math>(\Delta_n,\partial_n^i,s_n^i)_{n,i}</math>는 [[단체 집합]]을 이룬다. 이를 작은 범주 <math>\mathcal C</math>의 '''신경''' <math>\operatorname{nerve}\mathcal C</math>이라고 한다.

== 성질 ==
신경 함자 <math>\operatorname{nerve}\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{sSet}</math>는 [[충실충만한 함자]]이다.

[[단체 집합]] <math>S</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\operatorname{nerve}\mathcal C\cong S</math>인 [[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>가 존재한다.
* [[끝 대상]]으로 가는 유일한 사상 <math>S\to1</math>은 모든 내부 뿔 포함 사상 <math>\wedge^i_n\hookrightarrow\triangle_n</math> (<math>n\in\mathbb Z^+</math>, <math>0<i<n</math>)에 대하여 [[오른쪽 유일 올림 성질]]을 만족시킨다.

[[단체 집합]] <math>S</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\operatorname{nerve}\mathcal G\cong S</math>인 [[준군]] <math>\mathcal G</math>가 존재한다.
* [[끝 대상]]으로 가는 유일한 사상 <math>S\to1</math>은 모든 뿔 포함 사상 <math>\wedge^i_n\hookrightarrow\triangle_n</math> (<math>n\in\mathbb Z^+</math>, <math>0\le i\le n</math>)에 대하여 [[오른쪽 유일 올림 성질]]을 만족시킨다.

[[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal C</math>는 [[준군]]이다.
* <math>\operatorname{nerve}\mathcal C</math>는 [[칸 복합체]]이다. 즉, [[끝 대상]]으로 가는 유일한 사상 <math>\operatorname{nerve}\mathcal C\to1</math>은 모든 뿔 포함 사상 <math>\wedge^i_n\hookrightarrow\triangle_n</math> (<math>n\in\mathbb Z^+</math>, <math>0\le i\le n</math>)에 대하여 [[오른쪽 올림 성질]]을 만족시킨다.
* [[끝 대상]]으로 가는 유일한 사상 <math>\operatorname{nerve}\mathcal C\to1</math>은 모든 뿔 포함 사상 <math>\wedge^i_n\hookrightarrow\triangle_n</math> (<math>n\in\mathbb Z^+</math>, <math>0\le i\le n</math>)에 대하여 [[오른쪽 유일 올림 성질]]을 만족시킨다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X\cong |S|</math>인 [[단체 집합]] <math>S</math>가 존재한다.
* <math>X\cong|\operatorname{nerve}\mathcal C|</math>인 [[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>가 존재한다.

== 예 ==
[[이산 위상]]을 부여한 [[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 [[분류 공간]] <math>\operatorname BG</math>를 정의할 수 있다.

군 <math>G</math>는 하나의 대상만을 갖는 [[작은 범주]]로 여길 수 있다. 그렇다면, 범주로서 <math>G</math>의 분류 공간은 [[이산 공간|이산]] [[위상군]]으로서의 [[분류 공간]]과 [[호모토피 동치]]이다.

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=nerve|title=Nerve}}
* {{nlab|id=nerve and realization|title=Nerve and realization}}
* {{nlab|id=nerve|title=Nerve theorem}}
* {{nlab|id=Čech nerve}}
* {{nlab|id=Segal condition}}
* {{nlab|id=geometric realization of categories|title=Geometric realization of categories}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/01/mark_weber_on_nerves_of_catego.html|제목=How I learned to love the nerve construction|웹사이트=The ''n''-Category Café|이름=Tom|성=Leinster|날짜=2008-01-06|언어=en|확인날짜=2016-02-15|보존url=https://web.archive.org/web/20160429085249/https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/01/mark_weber_on_nerves_of_catego.html|보존날짜=2016-04-29|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/17849/the-simplicial-nerve|제목=The simplicial nerve|웹사이트=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2016-02-15|보존url=https://web.archive.org/web/20160223092654/http://mathoverflow.net/questions/17849/the-simplicial-nerve|보존날짜=2016-02-23|url-status=dead}}

[[분류:범주론]]
[[분류:호모토피 이론]]