시그마 콤팩트 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''시그마 콤팩트 공간'''(σ-compact空間, {{llang|en|sigma-compact space}})은 [[콤팩트 공간]]의 개념의 여러 변형 가운데 하나이다.

== 정의 ==
=== 시그마 콤팩트 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''시그마 콤팩트 공간'''이라고 한다.
* [[가산 집합|가산 개]]의 [[콤팩트 집합]]들의 [[합집합]]이다. 즉, <math>\textstyle X=\bigcup_{i=0}^\infty K_i</math>인 [[콤팩트 집합]]의 열 <math>K_0,K_1,\dots\subseteq X</math>가 존재한다.

혹자는 시그마 콤팩트 공간의 정의에 [[국소 콤팩트 공간]] 조건을 추가로 가정한다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|289}}

=== 반콤팩트 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''반콤팩트 공간'''이라고 한다.
* 다음 조건을 만족시키는 [[콤팩트 집합]]의 열 <math>K_0,K_1,\dots\subseteq X</math>가 존재한다.
** 임의의 [[콤팩트 집합]] <math>K\subseteq X</math>에 대하여, <math>K\subseteq K_i</math>인 자연수 <math>i\in\mathbb N</math>이 존재한다.
즉, 반콤팩트 공간은 시그마 콤팩트 공간에서 “점”을 “콤팩트 집합”으로 대체한 개념이다.

== 성질 ==
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:[[콤팩트 공간]] ⊊ 반콤팩트 공간 ⊊ 시그마 콤팩트 공간 ⊊ [[린델뢰프 공간]]
모든 [[국소 콤팩트]] [[린델뢰프 공간]]은 반콤팩트 공간이다.
{{증명}}
[[국소 콤팩트]] [[린델뢰프 공간]] <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 국소 콤팩트 조건에 따라,
:<math>U_i\subseteq K_i\qquad(\forall i\in I)</math>
인 [[열린 덮개]] <math>(U_i)_{i\in I}</math> 및 [[콤팩트 집합]]들의 [[집합족]] <math>(K_i)_{i\in I}</math>가 존재한다. 린델뢰프 조건에 따라, <math>(U_i)_{i\in I}</math>의 가산 부분 덮개 <math>\{i_0,i_1,\dots\}\subseteq I</math>를 잡자. 이제,
:<math>C_n=K_{i_0}\cup\cdots\cup K_{i_n}\qquad(n\in\mathbb N)</math>
은 유한 개의 콤팩트 집합들의 합집합이므로 콤팩트 집합이며, 임의의 [[콤팩트 집합]] <math>K\subseteq X</math>는 <math>\{U_{i_0},U_{i_1},\dots\}</math>의 유한 개 원소의 [[합집합]]에 포함되므로, 어떤 <math>C_n</math>에 포함된다. 즉, <math>X</math>는 반콤팩트 공간이다.
{{증명 끝}}
모든 [[제1 가산]] 반콤팩트 공간은 [[국소 콤팩트 공간]]이다.
{{증명}}
[[귀류법]]을 사용하여, [[제1 가산]] 반콤팩트 공간 <math>X</math>가 [[국소 콤팩트 공간]]이 아니라고 하자. 반콤팩트성에 따라, 다음 조건을 만족시키는 [[콤팩트 집합]]의 열 <math>K_0,K_1,\dots\subseteq X</math>을 잡자.
* 임의의 [[콤팩트 집합]] <math>K\subseteq X</math>에 대하여, <math>K\subseteq K_i</math>인 자연수 <math>i\in\mathbb N</math>이 존재한다.
귀류법의 가정에 따라, [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[근방]]이 존재하지 않는 점 <math>x\in X</math>를 잡자. 제1 가산성에 따라, <math>x</math>의 가산 [[국소 기저]]
:<math>U_0\supseteq U_1\supseteq\cdots</math>
를 잡자. 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>x_n\not\in U_n\setminus K_n</math>을 고르자. 그렇다면,
:<math>K=\{x\}\cup\{x_0,x_1,\dots\}</math>
는 [[콤팩트 집합]]이지만, 어떤 <math>K_n</math>에도 포함되지 않으며, 이는 모순이다.
{{증명 끝}}

시그마 콤팩트 공간의 [[닫힌집합]]은 시그마 콤팩트 공간이다. 반콤팩트 공간의 [[닫힌집합]]은 반콤팩트 공간이다.

유한 개의 시그마 콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 시그마 콤팩트 공간이다.<ref name="Willard">{{서적 인용
|성1=Willard
|이름1=Stephen
|제목=General topology
|url=https://archive.org/details/generaltopology00will_0
|언어=en
|총서=Addison-Wesley Series in Mathematics
|출판사=Addison-Wesley
|위치=Reading, Massachusetts; Menlo Park, California; London; Don Mills, Ontario
|날짜=1970
|isbn=978-0-201-08707-9
|mr=0264581
|zbl=0205.26601
}}</ref>{{rp|126, Exercise 17I.3}} 유한 개의 반콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 반콤팩트 공간이다. 무한 개의 경우 두 명제 모두 성립하지 않는다.
{{증명}}
만약
:<math>X=\bigcup_{i=0}^\infty X_i</math>
:<math>Y=\bigcup_{i=0}^\infty Y_i</math>
이며, <math>X_i,Y_i</math>가 [[콤팩트 집합]]이라면,
:<math>X\times Y=\bigcup_{i=0}^\infty\bigcup_{j=0}^\infty X_i\times Y_j</math>
이며, <math>X_i\times Y_j</math>는 [[콤팩트 집합]]들이다. 만약 임의의 [[콤팩트 집합]] <math>A\subseteq X</math>, <math>B\subseteq Y</math>에 대하여, <math>A\subseteq X_{i_A}</math>, <math>B\subseteq Y_{j_B}</math>인 <math>i_A,j_B\in\mathbb N</math>이 존재하며,
:<math>p\colon X\times Y\to X</math>
:<math>q\colon X\times Y\to Y</math>
가 사영 함수라면, 임의의 [[콤팩트 집합]] <math>K\subseteq X\times Y</math>에 대하여,
:<math>K\subseteq p(K)\times q(K)\subseteq X_{i_{p(K)}}\times Y_{j_{q(K)}}</math>
이다.
{{증명 끝}}

시그마 콤팩트 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] X의 임의 콤팩트 부분공간이 많아야 m의 [[르베그 덮개 차원]]을 갖는다면, X 역시 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다.<ref name="Munkres"/>{{rp|316}}

== 예 ==
[[가산 무한]] [[이산 공간]] <math>\mathbb N</math>은 반콤팩트 공간이지만, 그 가산 무한 개 [[곱공간]] <math>\mathbb N^{\aleph_0}</math>은 시그마 콤팩트 공간이 아니다.<ref name="Willard" />{{rp|126, Exercise 17I.3}}
{{증명}}
곱공간을 <math>\mathbb N^\omega</math>로 적고, 사영 함수들을
:<math>p_i\colon\mathbb N^\omega\to\mathbb N\qquad(i<\omega)</math>
로 적자. 임의의 [[콤팩트 집합]]의 열
:<math>K_0,K_1,\dots\subseteq\mathbb N^\omega</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>p_i(K_j)</math>는 <math>\mathbb N</math>의 [[콤팩트 집합]]이므로, [[유한 집합]]이다. 이제, 임의의 <math>i<\omega</math>에 대하여
:<math>n_i\in\mathbb N\setminus p_i(K_i)</math>
를 잡자. 그렇다면,
:<math>(n_i)_{i<\omega}\not\in K_0\cup K_1\cup\cdots</math>
이므로, <math>\mathbb N^\omega</math>는 시그마 콤팩트 공간이 아니다.
{{증명 끝}}
[[조르겐프라이 직선]]은 [[린델뢰프 공간]]이지만, 시그마 콤팩트 공간이 아니다.
{{증명}}
만약 [[조르겐프라이 직선]]이 시그마 콤팩트 공간이라면, [[조르겐프라이 평면]] 역시 시그마 콤팩트 공간이며, 특히 [[린델뢰프 공간]]이다. 이는 모순이다.
{{증명 끝}}
[[유리수]] 집합 <math>\mathbb Q</math>는 시그마 콤팩트 공간이지만, 반콤팩트 공간이 아니다.
{{증명}}
이는 <math>\mathbb Q</math>가 [[제1 가산 공간]]이지만, [[국소 콤팩트 공간]]이 아니기 때문이다.
{{증명 끝}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Sigma-CompactTopologicalSpace|제목=Sigma-compact topological space}}
* {{nlab|id=sigma-compact topological space|제목=Sigma-compact topological space}}
* {{nlab|id=hemicompact space|제목=Hemicompact space}}
* {{웹 인용|url=https://topospaces.subwiki.org/wiki/Sigma-compact_space|제목=Sigma-compact space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://topospaces.subwiki.org/wiki/Hemicompact_space|제목=Hemicompact space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{플래닛매스|urlname=sigmacompact|제목=σ-compact}}
* {{플래닛매스|urlname=hemicompactspace|제목=Hemicompact space}}
* {{proofwiki|id=Definition:Sigma-Compact Space|제목=Definition: sigma-compact space}}
* {{웹 인용|제목=σ-compact|언어=en|웹사이트=Encyclopedia of Compactness Wiki|url=https://wikiwiki.jp/compactness/%CF%83-compact|확인날짜=2024-07-22}}
* {{웹 인용|제목=Hemicompact|언어=en|웹사이트=Encyclopedia of Compactness Wiki|url=https://wikiwiki.jp/compactness/hemicompact|확인날짜=2024-07-22}}

[[분류:위상 공간의 성질]]