시간 변화 문서 원본 보기

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[[물리학]]에서 '''시간 변화'''(時間變化, {{lang|en|time evolution}})는 [[시간]]의 흐름에 따라 [[계 (물리학)|계]]의 상태가 바뀌는 과정이다.

== 양자역학에서의 시간 변화 ==
[[양자역학]]의 [[슈뢰딩거 묘사]]에서, 시간 변화는 초기 시간 <math>t_0</math>의 상태 <math>|\psi\rangle(t_0)\in\mathcal H</math>를 나중 시간 <math>t</math>의 상태 <math>|\psi\rangle(t)\in\mathcal H</math>로 바꾸어 주는 연산자 <math>U(t,t_0)\colon\mathcal H\to\mathcal H</math>로 나타낼 수 있다. 이를 '''시간 변화 연산자'''(時間變化演算子, {{lang|en|time evolution operator}})라 한다.
:<math>\begin{align}
U(t,t_0)\colon&&\mathcal H&\to\mathcal H\\
&&|\psi\rangle(t_0)&\mapsto|\psi\rangle(t).
\end{align}</math>

=== 성질 ===
상태가 관측될 확률이 보존되므로, 시간 변화 연산자는 [[유니터리 행렬|유니터리 연산자]]이다. 상태가 관측될 확률이 보존된다는 것은 
:<math>\langle \psi(t_0)|\psi(t_0)\rangle = \langle\psi(t)|\psi(t)\rangle </math>
인 것을 말한다. 각 상태는 정규화되어 있으므로 양변이 모두 1이 된다. 이로부터
:<math>U^\dagger(t,t_0)U(t,t_0) = 1</math>
을 얻을 수 있고, 즉, 시간변화 연산자는 유니터리이다.

또한, 시간 변화 연산자는 다음과 같이 [[군 (수학)|군]]의 성질을 지닌다.
* <math>U(t_2,t_1)U(t_1,t_0)=U(t_2,t_0)</math>
* <math>U(t_0,t_0)=1</math>
* <math>U(t,t_0)=U(t_0,t)^{-1}</math>.

만약 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]] <math>H</math>가 시간에 의존하지 않는다면, 시간 변화 연산자는 다음을 만족한다.
:<math>U(t,t_0)=U(t+\Delta t,t_0+\Delta t)=U(t-t_0)</math>.
또한 이럴 경우 [[슈뢰딩거 방정식]]을 적분하여 시간 변화 연산자를 직접 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>U(t)=\exp(-itH_0/\hbar)</math>.
반대로, 시간 변화 연산자를 미분하여 해밀토니언을 얻을 수 있다.
:<math>H_0=i\hbar\frac{dU(t)}{dt}</math>.

만약 해밀토니언이 시간에 의존한다면, 시간 변화 연산자는 [[섭동 이론 (양자역학)#시간 의존 섭동 이론|다이슨 전개]]({{lang|en|Dyson series}})를 통해 나타낼 수 있다.
== 같이 보기 ==
* [[시간의 화살]]
* [[전파 인자]]
* [[해밀토니언 (양자역학)]]

{{전거 통제}}

[[분류:동역학계]]