스하우턴-네이엔하위스 괄호 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서, '''스하우턴-네이엔하위스 괄호'''({{llang|en|Schouten–Nĳenhuis bracket}})는 완전 반대칭 [[텐서장]]에 대하여 정의되는 이항 쌍선형 연산이다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1301.0227|이름=Janusz |성=Grabowski|제목=Brackets | 언어=en}}</ref> 이를 통해, 완전 반대칭 텐서장들은 [[거스틴해버 대수]]를 이룬다.

== 정의 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 완전 반대칭 <math>(k,0)</math>차 텐서장의 공간
:<math>V^k = \Gamma\left(\bigwedge^k\mathrm TM\right)</math>
을 생각하자. 이 위에는 올별 [[쐐기곱]]
:<math>(\wedge) \colon V^k \otimes V^l \to V^{k+l}</math>
이 존재하며, 이에 따라서 <math>\textstyle V =\bigoplus_{k=0}^{\dim M}V^k</math>는 등급 가환 대수를 이룬다.

이 위의 '''스하우턴-네이엔하위스 괄호'''는 다음과 같은 연산이다.
:<math>[-,-] \colon V^m \otimes_{\mathbb R} V^n \to V^{m+n-1}</math>
이는 공리적으로 다음과 같이 정의된다.
:<math>[X,-] = \mathcal L_X \qquad\forall X\in V^1</math>
:<math>[f,g] = 0 \qquad\forall f,g\in V^0</math>
:<math>[\alpha,\beta\wedge\gamma] = [\alpha,\beta]\wedge\gamma + (-)^{\deg\beta(\deg\alpha-1)}\beta[\alpha,\gamma]\qquad\forall \alpha,\beta,\gamma</math>
:<math>[\alpha,\beta] = (-)^{1+(\deg\alpha-1)(\deg\beta-1)}[\beta,\alpha]</math>
이에 따라,
:<math>\Gamma\left(\bigwedge\mathrm TM\right)</math>
는 [[쐐기곱]]과 스하우턴-네이엔하위스 괄호를 통해 [[거스틴해버 대수]]를 이룬다.

== 성질 ==
[[거스틴해버 대수]]의 성질에 따라, [[초벡터 공간]]
:<math>\mathfrak g_0 = \Gamma\left(\bigoplus_i\bigwedge^{2i+1}\mathrm TM\right)</math>
:<math>\mathfrak g_1 = \Gamma\left(\bigoplus_i\bigwedge^{2i}\mathrm TM\right)</math>
:<math>\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g</math>
위에서 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 [[리 초대수]]를 정의한다. (※원소의 홀짝성이 등급과 반대이다.) 즉, 다음과 같은 초 야코비 항등식이 성립한다.
:<math>(-)^{(\deg a-1)(\deg c-1)}[a,[b,c]]+(-)^{(\deg b-1)(\deg a-1)}[b,[c,a]]+(-)^{(\deg c-1)(\deg b-1)}[c,[a,b]] = 0</math>

=== 푸아송 다양체 ===
{{본문|푸아송 다양체}}
[[푸아송 다양체]] <math>(M,\pi)</math>의 경우, 정의에 따라 <math>[\pi,\pi]=0</math>이다. 이에 따라서 <math>[\pi,-]</math>는 멱영 연산을 이루며, 이 [[공사슬 복합체]]의 코호몰로지를 '''[[푸아송 코호몰로지]]'''라고 한다.

== 예 ==
구체적으로, 낮은 차수의 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 차수 <math>(\deg X,\deg Y)</math> || 대칭성 || 스하우턴-네이엔하위스 괄호 <math>[X,Y]</math> || 비고
|-
| (0,0) || 대칭 || <math>0</math> || [[상수 함수]]
|- 
| (0,1) || 반대칭 || <math>[X,Y] = -(\partial_iX)Y^i</math> || 스칼라장의 벡터장 방향 미분
|-
| (1,1) || 반대칭 || <math>[X,Y]^i = X^l\partial_lY^i - (\partial_lX^i)Y^l </math> || 벡터장의 [[리 미분]]
|-
| (0,2) || 대칭 || <math>[X,Y]^i = -(\partial_lX)Y^{li}</math> || 스칼라장의 [[기울기 (벡터)|기울기]]와의 [[내부곱]]
|-
| (1,2) || 반대칭 || <math>[X,Y]^{ij} = X^l\partial_lY^{ij} - (\partial_l X^i)Y^{lj} - (\partial_lX^j)Y^{il}
</math> || 텐서장의 [[리 미분]]
|-
| (2,2) || 대칭 || <math>[X,Y]^{ijk} =
X^{lk}\partial_lY^{ij}
+X^{li}\partial_lY^{jk}
+X^{lj}\partial_lY^{ki}
+(\partial_lX^{ki})Y^{lj}
+(\partial_lX^{ij})Y^{lk}
+(\partial_lX^{jk})Y^{li}</math> ||
|}

== 역사 ==
얀 아르놀뒤스 스하우턴({{llang|nl|Jan Arnoldus Schouten}})<ref>{{저널 인용 |first=Jan Arnoldus |last=Schouten |title=Ueber Differentialkomitanten zweier kontravarianter Grössen |journal=Indagationes Mathematicae |volume=2 |issue= |year=1940 |pages=449–452|url=http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00017427.pdf | 언어=de }}</ref><ref>{{서적 인용 |first=Jan Arnoldus |last=Schouten |chapter=On the differential operators of the first order in tensor calculus |title=Convegno internazionale di geometria differenziale, Italia, 20–26 settembre 1953 |year=1953 |출판사=Edizioni Cremonese |pages=1–7|언어=en }}</ref>과 알버르트 네이엔하위스({{llang|nl|Albert Nĳenhuis}})<ref>{{저널 인용 |first=Albert |last=Nĳenhuis |title=Jacobi-type identities for bilinear differential concomitants of certain tensor fields Ⅰ |journal=Indagationes Mathematicae |volume=17 |issue= |year=1955 |pages=390–403 | doi=10.1016/S1385-7258(55)50054-0 | 언어=en }}</ref>가 도입하였다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=multivector field|title=Multivector field}}
* {{nlab|id=Schouten bracket}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:이항연산]]