스핀C 다양체 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''스핀C 다양체'''(spin多樣體, {{llang|en|spin<sup>c</sup> manifold}})는 그 [[직교 틀다발]]이 [[스핀C 군]]에 대한 [[주다발]]로의 올림을 갖춘 [[준 리만 다양체]]이다. 스핀C 구조는 [[자이베르그-위튼 이론|자이베르그-위튼 방정식]] 등을 정의하기 위한 [[필요 조건]]이다.

== 정의 ==
'''스핀C 구조'''({{lang|en|spin<sup>c</sup> structure}})의 정의는 [[스핀 구조]]의 정의와 유사하지만, [[스핀 군]] 대신 [[스핀C 군]]을 사용한다.

즉, <math>n</math>차원 [[가향 다양체|가향]] [[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 '''스핀C 구조'''({{llang|en|spin<sup>c</sup> structure}})는 다음 조건을 따르는 Spin(''n'')<sup>c</sup>-주다발 <math>\pi_{\operatorname{Spin^c}}\colon P_{\operatorname{Spin^c}}(M)\twoheadrightarrow M</math>과 [[주다발 사상]] <math>p\colon P_{\operatorname{Spin^c}}(M)\to P_{\operatorname{SO}}(M)</math>으로 구성된다.
* <math>\pi_{\operatorname{SO}}\circ p=\pi_{\operatorname{Spin^c}}</math>
* 임의의 <math>x\in P_{\operatorname{Spin^c}}</math>, <math>h\in\operatorname{Spin^c}(n)</math>에 대하여 <math>p(x\cdot h)=p(x)\cdot\rho(h)</math>이다. (여기서 <math>\cdot</math>은 적절한 [[군의 작용]]이며, <math>\rho\colon\operatorname{Spin^c}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(n)</math>은 [[군 준동형]]이다.) 즉 군의 작용은 <math>p</math>와 가환한다.

== 성질 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에 스핀C 구조가 존재할 [[필요 충분 조건]]은 3차 정수 [[슈티펠-휘트니 특성류]]
:<math>W_3(M)=\beta w_2(M)\in\operatorname H^3(M;\mathbb Z)</math>
가 0인지 여부이다. 여기서 <math>\beta</math>는 [[복시테인 준동형]]
:<math>\beta\colon\operatorname H^2(M;\mathbb Z/2)\to\operatorname H^3(M;\mathbb Z)</math>
이다.

== 분류 ==
만약 다양체 <math>M</math> 위에 스핀C 구조가 존재할 수 있다면, 가능한 스핀C 구조들의 공간은 <math>\operatorname H^2(M;\mathbb Z)</math> 위의 [[아핀 공간]]이다.

이는 직관적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. [[아벨 군]]의 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to\mathbb Z\stackrel{\cdot2}\hookrightarrow\mathbb Z\stackrel{+2\mathbb Z}\twoheadrightarrow\mathbb Z/2\to0</math>
을 생각하자. 이에 따라, [[지그재그 보조정리]]를 사용하여 다음과 같은 [[긴 완전열]]이 존재한다.
:<math>\dotsb\to\operatorname H^2(M,\mathbb Z)\xrightarrow{\cdot2}\operatorname H^2(M;\mathbb Z)\xrightarrow{\bmod2}\operatorname H^2(M;\mathbb Z/2)\xrightarrow\beta\operatorname H^3(M;\mathbb Z)\to\cdots</math>
여기서 <math>\beta</math>는 [[복시테인 준동형]]이다.

스핀C 구조는 원래 방해물(obstruction)에 막혀 [[스핀 구조]]를 이루지 못하는 구조를, 같은 방해물에 막혀 [[U(1)]] [[주다발]]을 이루지 못하는 구조로 뒤틀어(twist) 만든 것이다. [[U(1)]] [[주다발]]들은 그 [[천 특성류]] <math>c_2\in H^2(M,\mathbb Z)</math>에 의하여 분류된다. 이는 위 [[긴 완전열]]에서 첫 <math>H^2(M,\mathbb Z)</math>에 해당하며, 이는 두 번째 <math>H^2(M,\mathbb Z)</math>에서 <math>\cdot2</math>의 [[상 (수학)|상]]에 해당한다. 반면, 방해물에 막힌 U(1) ‘주다발’은 두 번째 <math>H^2(M,\mathbb Z)</math>에서 <math>\cdot2</math>의 [[상 (수학)|상]]에 속하지 않은 원소들이다. 이 원소를 <math>\alpha\in H^2(M;\mathbb Z)</math>라고 하자. 스핀 구조의 방해물은 2차 [[슈티펠-휘트니 특성류]] <math>w_2\in H^2(M;\mathbb Z/2)</math>이므로, 이 방해물이 U(1) ‘주다발’의 방해물 <math>\alpha</math>와 같으려면 <math>\bmod2</math>에 따른 <math>\alpha</math>의 [[상 (수학)|상]]이 <math>w_2</math>이어야 한다. [[완전열]]의 성질에 의하여, 이 조건은 <math>w_2</math>의 [[복시테인 준동형]]에 따른 상 <math>\beta w_2=W_3\in\operatorname H^3(M,\mathbb Z)=0</math>인 조건과 [[동치]]이다.

== 예 ==
다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀C 구조를 갖는다.
* 모든 4차원 이하 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[유향 다양체]]는 스핀C 구조를 갖는다.
* 모든 [[개복소 다양체]]는 스핀C 구조를 갖는다. 이 경우 대응되는 [[복소수 선다발]]은 [[복소수 접다발]] <math>\mathrm T^+M</math>의 [[행렬식 선다발]] <math>\textstyle\bigwedge^{\dim_{\mathbb C}M}\mathrm T^+M</math>이다.
* 모든 [[스핀 다양체]]는 스핀C 구조를 갖는다. 이 경우 대응되는 [[복소수 선다발]]은 자명한 다발이다.

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=spin^c structure|title=Spin^c structure}}
* {{nlab|id=twisted spin^c structure|title=Twisted spin^c structure}}
* {{nlab|id=spin^c|title=Spin^c}}
* {{nlab|id=Spin^c Dirac operator}}

[[분류:리만 기하학]]