스피너 라플라스 연산자 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서, '''스피너 라플라스 연산자'''({{llang|en|spinor Laplacian}})는 [[스핀 다양체]]의 [[스피너 다발]]의 단면에 대하여 자연스럽게 정의되는 2차 [[미분 연산자]]이다. 이는 [[라플라스-벨트라미 연산자]]와 [[스칼라 곡률]]의 ¼의 합과 같다.

== 정의 ==
콤팩트 [[스핀 다양체]] <math>M</math>의 [[스피너 다발]] <math>\mathrm SM</math>이 주어졌으며, 이에 대한 [[디랙 연산자]]
:<math>D \colon \Gamma(\mathrm SM) \to \Gamma(\mathrm SM)</math>
:<math>D \colon \psi^A \mapsto \gamma^{A\mu}_B \partial_\mu \psi^B</math>
가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 그 제곱
:<math>\Delta = D \circ D \colon \Gamma(\mathrm SM) \to \Gamma(\mathrm SM)</math>
을 정의할 수 있다. 이를 '''스피너 라플라스 연산자'''라고 한다.

만약 <math>M</math>이 [[홀수와 짝수|짝수]] 차원이라면, (디랙) 스피너 다발은 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 다발로 분해된다.
:<math>\mathrm SM = \mathrm S^+M \oplus \mathrm S^-M</math>
:<math>D^+ \colon \mathrm S^+M \to \mathrm S^-M</math>
:<math>D^- \colon \mathrm S^-M \to \mathrm S^+M</math>
:<math>(D^\pm)^\dagger = D^\mp</math>
그렇다면,
:<math>\Delta \restriction \Gamma(\mathrm S^+M) = D^- \circ D^+</math>
:<math>\Delta \restriction \Gamma(\mathrm S^-M) = D^+ \circ D^-</math>
이다.

보다 일반적으로, [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 [[클리퍼드 다발]] <math>\operatorname{Cl}(\mathrm TM,g)</math>의 [[클리퍼드 가군 다발]] <math>E</math> 및 <math>E</math>의 클리퍼드 가군 다발 접속 <math>\nabla</math>가 주어졌을 때, 스피너 라플라스 연산자
:<math>D = \gamma^\mu\nabla_\mu\colon\Gamma(E) \to \Gamma(E) </math>
를 사용하여 스피너 라플라스 연산자
:<math>\Delta = D \circ D</math>
를 정의할 수 있다. 여기서
:<math>\gamma^\mu \colon \mathrm TM \to \operatorname{Cl}(\mathrm TM,g)</math>
는 클리퍼드 다발을 정의하는 표준적인 포함 사상([[감마 행렬]])이다.

== 성질 ==
스핀 다양체 위의 [[스피너 다발]]은 [[리만 계량]]으로서 표준적인 [[벡터 다발 접속]]을 갖는다. 즉, 1차 [[미분 연산자]]
:<math>\nabla \colon \Gamma(\mathrm SM) \to \Gamma(\mathrm T^*M \otimes_M \mathrm SM)</math>
가 존재한다. 이 경우, 스피너 위에 작용하는 [[라플라스-벨트라미 연산자]]
:<math>\Delta_{\text{B}} = - g^{\mu\nu}\nabla_\nu\nabla_\mu
=\nabla^\dagger \nabla</math>
를 정의할 수 있다. (여기서 <math>\nabla^\dagger</math>는 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\operatorname L^2(\mathrm SM)</math>에서 <math>\nabla \colon \operatorname L^2(\mathrm SM)\to \operatorname L^2(\mathrm SM)</math>의 [[에르미트 수반]]이다.)

이 경우 다음이 성립한다.
:<math>\Delta = \Delta_{\text{B}} + \frac14 \operatorname{Sc}[g]</math>
여기서
* <math>\operatorname{Sc}[g] \in \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math>는 <math>M</math>의 [[스칼라 곡률]]이다.

보다 일반적으로, 4차원 [[스핀C 다양체]] <math>(M,g,L)</math>이 주어졌다고 하자. 즉, 그 스피너 다발 <math>\mathrm SM</math>에 대하여
:<math>\det \mathrm SM = L</math>
이라고 하자. 그렇다면 디랙 연산자
:<math>D_A \colon \Gamma(\mathrm S^+M) \to \Gamma(\mathrm S^-M)</math>
:<math>D_A^\dagger \colon \Gamma(\mathrm S^-M) \to \Gamma(\mathrm S^+M)</math>
가 존재하며, 이로부터 스피너 라플라스 연산자
:<math>D_A^\dagger D_A \colon \Gamma(\mathrm S^+M) \to \Gamma(\mathrm S^+M)</math>
를 정의할 수 있다. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\Delta = \Delta_{\text{B}} + \frac14 \operatorname{Sc}[g] + \frac12 F^+ \cdot</math>
여기서
* <math>F^+ = (F + \star F)/2</math>는 [[U(1)]] [[주접속]] <math>A</math>의 [[주곡률]]의 자기 쌍대 성분이다. 이는 [[클리퍼드 다발]]의 [[단면 (올다발)]] <math>F_{\mu\nu}\gamma^\mu\gamma^\nu/2</math>에 대응된다.
* <math>F^+ \cdot</math>은 [[클리퍼드 다발]] 단면의, 클리퍼드 가군 다발 위의 작용이다.
이를 '''리흐네로비치 공식'''(Lichnerowicz公式, {{llang|en|Lichnerowicz formula}})이라고 한다.

== 역사 ==
리흐네로비치 공식은 폴란드계 [[프랑스]] 수학자 [[앙드레 리흐네로비치]]({{llang|fr|André Lichnerowicz}}, 1915 ~ 1998)가 1963년에 증명하였다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Lawson|이름= H. Blaine|성2= Michelsohn|이름2=Marie‐Louise |날짜=1989|제목= Spin geometry|출판사= Princeton University Press|isbn=978-0-691-08542-5|url=https://press.princeton.edu/titles/4573.html|총서=Princeton Mathematical Series|권=38|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:리만 기하학]]
[[분류:이론물리학]]