스펙트럼 정리 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]과 [[함수해석학]]에서 '''스펙트럼 정리'''(spectrum定理, {{llang|en|spectral theorem}})는 [[선형작용소]]들을 그 [[고윳값]] 및 고윳값의 일반화인 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]으로 나타내는 일련의 정리들이다.

== 행렬에 대한 스펙트럼 정리 ==
<math>A\colon\mathbb C^n\to\mathbb C^n</math>이 <math>n\times n</math> [[에르미트 행렬]]([[정규 행렬]]만 되어도 충분하다.)이라고 하자. 그렇다면, '''스펙트럼 정리'''에 따르면 <math>A</math>의 [[고유벡터]]들로 구성된, <math>\mathbb C^n</math>의 [[정규 직교 기저]]가 존재한다. 다시 말해, <math>A</math>는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
:<math>A=U\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)U^{*}</math>
여기서 <math>U</math>는 [[유니터리 행렬]]이며, <math>\lambda_1,\dots,\lambda_n</math>은 (중복도를 고려한) <math>A</math>의 고윳값들이다.

마찬가지로, 실수 [[대칭행렬]] <math>A\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n</math>이 주어졌을 때, '''스펙트럼 정리'''에 따라
:<math>A=Q\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)Q^{T}</math>
로 적을 수 있다. 여기서 <math>Q</math>는 [[직교행렬]]이며, <math>\lambda_1,\dots,\lambda_n</math>은 (중복도를 고려한) <math>A</math>의 고윳값들이다.

== 콤팩트 작용소에 대한 스펙트럼 정리 ==
[[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math> 위에 [[콤팩트 작용소|콤팩트]] [[자기 수반 작용소]] <math>A\colon\mathcal H\to\mathcal H</math>가 존재한다고 하자. 그렇다면, '''스펙트럼 정리'''에 따르면 <math>A</math>의 고유벡터들로 구성된, <math>\mathcal H</math>의 [[정규 직교 기저]]가 존재하며, 모든 고윳값들은 실수이다.

== 일반적 작용소에 대한 스펙트럼 정리 ==
[[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math> 위에 부분적으로 정의된 [[자기 수반 작용소]]
:<math>A\colon\operatorname{dom} A\subset\mathcal H\to\mathcal H</math>
가 존재한다고 하자. 그렇다면, '''스펙트럼 정리'''에 따르면 다음 조건을 만족시키는 [[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 및 [[가측 함수]] <math>f\colon X\to\mathbb R</math> 및 [[유니터리 작용소]]
:<math>U\colon\mathcal H\to L^2(X)</math>
가 존재한다 (<math>\operatorname{dom}U=\mathcal H</math>, <math>U(\mathcal H)=L^2(X)</math>).
:<math>A=U^{-1}fU</math>

== 같이 보기 ==
* [[행렬 분해]]
* [[표준 형식]]
* [[조르당 표준형]]
* [[특잇값 분해]]
* [[고유값 분해]]
== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=What does the spectral theorem say?|이름=Paul|성=Halmos|저자링크=헐모시 팔|doi=10.2307/2313117|jstor=2313117|저널=The American Mathematical Monthly|권=70|호=3|날짜=1963-03|url=http://www.math.wsu.edu/faculty/watkins/Math502/pdfiles/spectral.pdf|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Spectral decomposition of a linear operator}}
* {{매스월드|id=SpectralTheorem|title=Spectral theorem}}
* {{웹 인용|제목=Spectral theorem|출판사=PlanetMath|url=http://planetmath.org/spectraltheorem|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:스펙트럼 이론|*]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:행렬론]]
[[분류:선형대수학 정리]]
[[분류:함수해석학]]
[[분류:함수해석학 정리]]