스펙트럼 열 문서 원본 보기

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[[호몰로지 대수학]]에서 '''스펙트럼 열'''(spectrum列, {{llang|en|spectral sequence}})은 어떤 [[호몰로지]] 또는 [[코호몰로지]]에 대한 일련의 근사들을 나타내는 수학적 대상이다.

== 정의 ==
어떤 [[아벨 범주]] <math>\mathcal C</math>의 대상들이 두 개의 정수 등급(grading) <math>(p,q)\in\mathbb Z^2</math>을 가진다고 하자. 이 경우, '''(코호몰로지) 스펙트럼 열''' <math>E^{p,q}_r</math>는 다음과 같은 대상들로 이루어진다.
* 어떤 정수 <math>r_0\in\mathbb Z</math>
* 모든 <math>r\ge r_0</math>에 대하여, <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>E_r^{p,q}</math>
* 공경계 사상 <math>d_r^{p,q}\colon E_r^{p,q}\to E_r^{p+r,q+1-r}</math>
이들은 다음을 만족시킨다.
* 모든 정수 <math>r\ge r_0</math>에 대하여, <math>d_r\circ d_r=0</math>이다.
::<math>\cdots\to E_r^{p-2r,q-2+2r}\xrightarrow{d_r}E_r^{p-r,q-1+r}\xrightarrow{d_r}E_r^{p,q}\xrightarrow{d_r}E_r^{p+r,q+1-r}\xrightarrow{d_r}E_r^{p+2r,q+2-2r}\to\cdots</math>
* <math>H(E^{p,q}_r) = \ker d_r^{p,q} / \operatorname{im}d_r^{p-r,q-1+r}\cong E^{p,q}_{r+1}</math>이다.

'''호몰로지 스펙트럼 열'''의 경우 대신 <math>E^r_{p,q}</math>로 쓰고, 이 경우 공경계 사상 대신 경계 사상
:<math>\partial_r\colon E^r_{p,q}\to E^r_{p-r,q-1+r}</math>
을 사용한다.

[[파일:SpectralSequence.png|섬네일|right|코호몰로지 스펙트럼 수열 <math>E_2^{p,q}</math>의 형상화]]
그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진 <math>r</math>에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이 <math>r_0,r_0+1,\dots</math>인 "책"을 이루며, 책의 <math>r\ge r_0</math>번째 쪽에는 <math>(p,q)</math>에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다.

=== 수렴과 퇴화 ===
스펙트럼 열 <math>E_r^{p,q}</math>이 주어졌다고 하자. 만약 각 <math>(p,q)</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 <math>r_0(p,q)</math>가 존재한다고 하자.
:<math>d_r^{p-r,q+r+1}=0\qquad\forall r\ge r_0(p,q)</math>
:<math>d_r^{p,q}=0\qquad\forall r\ge r_0(p,q)</math>
그렇다면, 주어진 <math>(p,q)</math>에 대하여 <math>E^{p,q}_r</math>는 충분히 큰 <math>r</math>에 대하여 같아진다. 이를 <math>E^{p,q}_\infty</math>라고 하고, <math>E_r^{p,q}</math>가 '''여과 지표'''(濾過指標, {{llang|en|filtration index}}) <math>p</math>에 대하여 <math>E^{p,q}_\infty</math>로 '''수렴'''(收斂, {{llang|en|converge}}, {{lang|en|abut}})한다고 한다. 이는 기호로 다음과 같이 적는다.
:<math>E^{p,q}_r\Rightarrow_p E^{p,q}_\infty</math>
보통 <math>E^{p,q}_\infty</math>는 [[여과 (수학)|여과]] <math>F^\bullet E^n_\infty</math>가 갖추어져 있는 대상 <math>E^n_\infty</math>으로부터 다음과 같이 얻어진다.
:<math>E^{p,q}_\infty=\frac{F^p E^{p+q}_\infty}{F^{p+1}E^{p+q}_\infty}</math>
이 경우 마찬가지로
:<math>E^{p,q}_r\Rightarrow_p E^n_\infty</math>
로 표기한다.

스펙트럼 열 <math>E_r^{p,q}</math>이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 정수 <math>r_0</math>가 존재한다면, <math>E_r^{p,q}</math>가 <math>r_0</math>에서 '''퇴화'''(退化, {{llang|en|degenerate}})한다고 한다.
:<math>d_r^{p,q}=0\qquad\forall p,q\in\mathbb Z,\;r\ge r_0</math>
스펙트럼 열이 퇴화하는 것은 스펙트럼 열이 수렴하는 것보다 더 강한 조건이다.

=== 제1 사분면 스펙트럼 열 ===
'''제1 사분면 스펙트럼 열'''(第一四分面spectrum列, {{llang|en|first-quadrant spectral sequence}})는 다음 조건을 만족시키는 스펙트럼 열이다.
* 만약 <math>p<0</math> 또는 <math>q<0</math>이라면 <math>E^{p,q}_r=0</math>
즉, 모든 쪽에서 성분이 오직 제1 [[사분면]]에서만 [[영 대상]]이 아닌 스펙트럼 열이다. 사실, <math>r</math>번째 쪽에서 성분이 제1 사분면에만 존재한다면 그 다음에 오는 모든 쪽에서 성분들은 제1 사분면에서만 존재하게 된다. 따라서, 이 조건은 첫 번째 쪽에서만 확인하면 된다.

제1 사분면 스펙트럼 열은 항상 수렴한다. 구체적으로, 제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열의 경우
:<math>E^{p,q}_\infty=
E^{p,q}_{\max\{p+1,q+2\}}</math>
이며, 호몰로지 스펙트럼 열의 경우 역시
:<math>E_{p,q}^\infty=E_{p,q}^{\max\{p+1,q+2\}}</math>
이다.

==== 코호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열 ====
제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열
:<math>E^{p,q}_2\Rightarrow_p E_\infty^{p+q}</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 셋째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다.
:<math>\left|\underline{\begin{matrix}
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
E^{0,2}_3&E^{1,2}_3&E^{2,2}_3&E^{3,2}_3&\cdots\\
E^{0,1}_3&E^{1,1}_3&E^{2,1}_3&E^{3,1}_3&\cdots\\
E^{0,0}_3&E^{1,0}_3&E^{2,0}_3&E^{3,0}_3&\cdots
\end{matrix}}\right.
\qquad=\qquad\left|\underline{\begin{matrix}
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
\ker d_2^{0,2}&\ker d_2^{1,2}&\tfrac{\ker d_2^{2,2}}{\operatorname{im}d_2^{0,3}}&\tfrac{\ker d_2^{3,2}}{\operatorname{im}d_2^{1,3}}&\cdots\\
\ker d_2^{0,1}&\ker d_2^{1,1}&\tfrac{\ker d_2^{2,1}}{\operatorname{im}d_2^{0,2}}&\tfrac{\ker d_2^{3,1}}{\operatorname{im}d_2^{1,2}}&\cdots\\
E^{0,0}_2&E^{1,0}_2&\operatorname{coker}d_2^{0,1}&\operatorname{coker}d_2^{1,1}&\cdots
\end{matrix}}\right.
</math>
넷째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다.
:<math>\left|\underline{\begin{matrix}
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
E^{0,2}_4&E^{1,2}_4&E^{2,2}_4&E^{3,2}_4&\cdots\\
E^{0,1}_4&E^{1,1}_4&E^{2,1}_4&E^{3,1}_4&\cdots\\
E^{0,0}_4&E^{1,0}_4&E^{2,0}_4&E^{3,0}_4&\cdots
\end{matrix}}\right.
\qquad=\qquad\left|\underline{\begin{matrix}
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
\ker d_3^{0,2}&\ker d_3^{1,2}&\ker d_3^{2,2}&\tfrac{\ker d^{3,2}_3}{\operatorname{im}d^{0,4}_3}&\cdots\\
\ker d_2^{0,1}&\ker d_2^{1,1}&\tfrac{\ker d_2^{2,1}}{\operatorname{im}d_2^{0,2}}&\operatorname{coker}d_3^{0,3}&\cdots\\
E^{0,0}_2&E^{1,0}_2&\operatorname{coker}d_2^{0,1}&\operatorname{coker}d_3^{0,2}&\cdots
\end{matrix}}\right.
</math>
즉, 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 성분들로 수렴한다.
:<math>\left|\underline{\begin{matrix}
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
E^{0,2}_\infty&E^{1,2}_\infty&E^{2,2}_\infty&E^{3,2}_\infty&\cdots\\
E^{0,1}_\infty&E^{1,1}_\infty&E^{2,1}_\infty&E^{3,1}_\infty&\cdots\\
E^{0,0}_\infty&E^{1,0}_\infty&E^{2,0}_\infty&E^{3,0}_\infty&\cdots
\end{matrix}}\right.
\qquad=\qquad\left|\underline{\begin{matrix}
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
\ker d_3^{0,2}&\ker d_3^{1,2}&\ker d_3^{2,2}&\tfrac{\ker d^{3,2}_3}{\operatorname{im}d^{0,4}_3}&\cdots\\
\ker d_2^{0,1}&\ker d_2^{1,1}&\tfrac{\ker d_2^{2,1}}{\operatorname{im}d_2^{0,2}}&\operatorname{coker}d_3^{0,3}&\cdots\\
E^{0,0}_2&E^{1,0}_2&\operatorname{coker}d_2^{0,1}&\operatorname{coker}d_3^{0,2}&\cdots
\end{matrix}}\right.
</math>
수렴한 성분들이 <math>E_\infty^\bullet</math>의 [[여과 (수학)|여과]]에 의하여 주어진다고 하자.
:<math>E_\infty^{p,q}=\frac{F^pE_\infty^{p+q}}{F^{p+1}E_\infty^{p+q}}</math>
그렇다면 다음이 성립한다.
:<math>E_2^{1,0}\cong E_\infty^{1,0}=\frac{F^1E_\infty^1}{F^2E_\infty^1}=F^1E_\infty^1</math>
:<math>\ker d_2^{0,1}\cong E_\infty^{0,2}=\frac{F^0E_\infty^1}{F^1E_\infty^1}=\frac{E_\infty^1}{F^1E_\infty^1}</math>
:<math>\operatorname{coker} d_2^{0,1}\cong E_\infty^{2,0}=\frac{F^2E_\infty^2}{F^3E_\infty^2}=F^2E_\infty^2</math>
따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.
:<math>0\to E_2^{1,0}\cong F^1E_\infty^1\hookrightarrow E_\infty^1\to \frac{E_\infty^1}{F^1E_\infty^1}
\cong \ker d_2^{0,1}\hookrightarrow E_2^{0,1}\xrightarrow{d_2^{0,1}} E_2^{2,0} \twoheadrightarrow\operatorname{coker} d_2^{0,1} \cong F^2 E^2_\infty \hookrightarrow E^2_\infty</math>
여기서 <math>\ker d_2^{0,1}</math>와 <math>\operatorname{coker} d_2^{0,1}</math>을 생략하면, 다음과 같은 [[완전열]]을 얻는다.
:<math>0\to E_2^{1,0}\to E_\infty^1\to E_2^{0,1}\xrightarrow{d_2^{0,1}} E_2^{2,0}\to E^2_\infty</math>
이를 '''5항 [[완전열]]'''(五項完全列, {{llang|en|five-term exact sequence}})이라고 한다.

==== 호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열 ====
마찬가지로, 수렴하는 제1 사분면 호몰로지 스펙트럼 열
:<math>E^2_{p,q}\Rightarrow_p E^\infty_{p+q}</math>
이 주어졌다고 하고, 수렴한 성분들이 <math>E^\infty_\bullet</math>의 [[여과 (수학)|여과]]에 의하여 주어진다고 하자.
:<math>E^\infty_{p,q}=\frac{F_pE^\infty_{p+q}}{F_{p-1}E^\infty_{p+q}}</math>
그렇다면, 스펙트럼 열의 처음 몇 성분은 다음과 같다.
:<math>E^2_{1,0}\cong E^\infty_{1,0}=\frac{F_1E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}=\frac{E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}</math>
:<math>\ker\partial^2_{2,0}\cong E_{2,0}^\infty =\frac{F_2E^\infty_2}{F_1E^\infty_2} =\frac{E^\infty_2}{F_1E^\infty_2}</math>
:<math>\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}\cong E_{0,1}^\infty=\frac{F_0E_\infty^2}{F_{-1}E_\infty^2}=F_0E_\infty^2</math>
이따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.
:<math>E_2^\infty \twoheadrightarrow \frac{E^\infty_2}{F_1E^\infty_2}\cong\ker\partial^2_{2,0}
\hookrightarrow E_{2,0}^2\xrightarrow{\partial^2_{2,0}} E_{0,1}^2\twoheadrightarrow\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}\cong F_0E_1^\infty\hookrightarrow E_1^\infty \twoheadrightarrow\frac{E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}\cong E_{1,0}^2\to 0</math>
여기서 <math>\ker\partial^2_{2,0}</math>와 <math>\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}</math>을 생략하면, 다음과 같은 '''5항 [[완전열]]'''을 얻는다.
:<math>E_2^\infty \to E_{2,0}^2\xrightarrow{\partial^2_{2,0}}  E_{0,1}^2\to E_1^\infty \to E_{1,0}^2\to 0</math>

== 구성 ==
스펙트럼 열은 보통 '''완전쌍'''이나 사슬 복합체의 '''[[여과 (수학)|여과]]'''로부터 발생한다.

=== 완전쌍 ===
어떤 [[아벨 범주]] 속에서의 '''완전쌍'''(完全雙, {{llang|en|exact couple}}) <math>(A,E,f,g,h)</math>은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 두 개의 대상 <math>A</math>, <math>E</math>
* 사상 <math>A\xrightarrow fA\xrightarrow g E\xrightarrow hA</math>
이들은
:<math>\operatorname{im}f=\ker g</math>
:<math>\operatorname{im}g=\ker h</math>
:<math>\operatorname{im}h=\ker f</math>
를 만족시켜야 한다. 즉, 다음 그림이 [[완전열]]을 이룬다.
:<math>\begin{matrix}
A\qquad&\xrightarrow f&\qquad A\\
{\scriptstyle h}\nwarrow&&\swarrow\scriptstyle g\\
&E
\end{matrix}</math>

완전쌍 <math>(A,E,f,g,h)</math>의 '''유도 완전쌍'''(誘導完全雙, {{llang|en|derived exact couple}}) <math>(A',E',f',g',h')</math>은 다음과 같은 완전쌍이다.
* <math>d=g\circ h</math>
* <math>A'=\operatorname{im}f</math>
* <math>E'=\ker d/\operatorname{im}d</math>
* <math>f'=f|_A\colon A'\to A'</math>
* <math>g'\colon A'\to E'</math>는 (모든 아벨 범주는 [[구체적 범주]]로 나타낼 수 있으므로) <math>g'\colon a'\mapsto g(f^{-1}(a'))</math>이다. 이 경우, <math>f^{-1}(a')</math>의 선택이 상관없음을 보일 수 있다.
* <math>h'\colon E'\to A'</math>는 <math>h\colon C\to A</math>에 의하여 유도된다. 즉, <math>h\colon[e]\mapsto h(e)</math>이다. 이 경우, <math>g(h(e))=0</math>이므로 항상 <math>g(h(e))=f(a)</math>인 <math>a\in A</math>가 존재하며, 따라서 <math>h(e)\in f(A)=A'</math>이다.

이를 반복하여, <math>n</math>차 유도 완전쌍 <math>(A^{(n)},E^{(n)},f^{(n)},g^{(n)},h^{(n)})</math>을 정의할 수 있다. 그렇다면,
:<math>E^{(0)} \stackrel d\Rightarrow E^{(1)}\stackrel{d^{(1)}}\Rightarrow E^{(2)}\Rightarrow\cdots</math>
는 스펙트럼 열을 이룬다. (보통, <math>A</math> 및 <math>C</math>는 두 개의 등급을 갖는다.) 알려진 대부분의 스펙트럼 열은 이와 같이 완전쌍으로부터 유도된다.

=== 여과 복합체의 스펙트럼 열 ===
사슬 복합체 <math>(C_\bullet,\partial_\bullet)</math>에 증가하는 [[여과 (수학)|여과]] <math>F_\bullet(C_\bullet)</math>가 주어졌다고 하자. 즉,
:<math>F_pC_\bullet\subseteq F_{p+1}C_\bullet</math>
라고 하자. 또한, 경계 <math>\partial</math>가 여과와 호환된다고 하자. 즉,
:<math>\partial(F_pC_n)\subseteq \partial(F_pC_{n+1})</math>
이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 완전 그림이 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\
&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\
\cdots\to&H_{n+1}(F_pC^\bullet)&\xrightarrow g&H_{n+1}(F_pC^\bullet/F_{p-1}C^\bullet)&\xrightarrow h&H_n(F_{p-1}C^\bullet)&\xrightarrow g&H_n(F_{p-1}C^\bullet/F_{p-2}C^\bullet)&\to\cdots\\
&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\
\cdots\to&H_{n+1}(F_{p+1}C^\bullet)&\xrightarrow g&H_{n+1}(F_{p+1}C^\bullet/F_pC^\bullet)&\xrightarrow h&H_n(F_pC^\bullet)&\xrightarrow g&H_n(F_pC^\bullet/F_{p-1}C^\bullet)&\to\cdots\\
&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\
&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots
\end{matrix}</math>
여기에
:<math>A=\bigoplus_{p,q} H_q(F_pC^\bullet)</math>
:<math>E=\bigoplus_{p,q} H_q(F_pC^\bullet/F_{p-1}C^\bullet)</math>
를 정의한다면,
* <math>f\colon A\to A</math>
* <math>g\colon A\to E</math>
* <math>h\colon E\to A</math>
를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 스펙트럼 열을 정의할 수 있다.

== 예 ==
<math>X</math>가 [[CW 복합체]]이며, <math>X_p</math>가 그 <math>p</math>차원 뼈대라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 완전 도형이 존재한다.<ref>{{서적 인용|이름1=Raoul|성1=Bott|저자링크1=라울 보트|이름2=Loring Wuliang|성2=Tu|저자링크2=로링 투|제목=Differential forms in algebraic topology |날짜=1982|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=82|issn=0072-5285|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-1-4419-2815-3 |doi=10.1007/978-1-4757-3951-0|mr=658304|zbl= 0496.55001|언어=en}}</ref>
:<math>\begin{matrix}
&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\
&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\
\cdots\to&H_{n+1}(X_p)&\xrightarrow g&H_{n+1}(X_p,X_{p-1})&\xrightarrow h&H_n(X_{p-1})&\xrightarrow g&H_n(X_{p-1},X_{p-2})&\to\cdots\\
&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\
\cdots\to&H_{n+1}(X_{p+1})&\xrightarrow g&H_{n+1}(X_{p+1},X_p)&\xrightarrow h&H_n(X_p)&\xrightarrow g&H_n(X_p,X_{p-1})&\to\cdots\\
&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\
&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots
\end{matrix}</math>
이에 따라,
:<math>A=\bigoplus_{p,q} H_q(X_p)</math>
:<math>E=\bigoplus_{p,q} H_q(X_p, X_{p-1})</math>
로 놓으면,
* <math>f\colon A\to A</math>
* <math>g\colon A\to E</math>
* <math>h\colon E\to A</math>
를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 유도되는 스펙트럼 열은 <math>E^2_{p,q}</math>에서 끝난다. 이를 통해, [[세포 코호몰로지]]가 [[특이 코호몰로지]]와 동형임을 보일 수 있다.

== 역사 ==
[[장 르레]]가 1946년 [[층 코호몰로지]]를 계산하기 위하여 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Leray | first=Jean | 저자링크=장 르레 | title=L’anneau d’homologie d’une représentation | 날짜=1946 | journal=Les Comptes rendus de l'Académie des science | volume=222 | pages=1366–1368|zbl=0060.40801|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Leray | first=Jean | 저자링크=장 르레 | title=Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation | 날짜=1946 | journal=Les Comptes rendus de l'Académie des science | volume=222 | pages=1419–1422|zbl=0060.40802|언어=fr}}</ref> 이는 오늘날 '''[[르레 스펙트럼 열]]'''로 불리며, [[유도 함자]]에 대한 [[그로텐디크 스펙트럼 열]]의 특수한 경우다. 1951년에 [[장피에르 세르]]는 르레 스펙트럼 열 가운데, [[층 코호몰로지]]가 [[특이 코호몰로지]]가 되는 특수한 경우인 [[세르 스펙트럼 열]]에 대하여 연구하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Jean-Pierre|성=Serre|저자링크=장피에르 세르|제목=Homologie singulière des espaces fibrés|저널=Annals of Mathematics|jstor=1969485|doi=10.2307/1969485|권=54|호=3|날짜=1951-11|쪽=425–505|언어=fr}}</ref>

르레는 원래 "스펙트럼 열"이라는 용어를 사용하지 않았으나, 1949년 논문에서 최초로 "스펙트럼 환"({{llang|fr|anneau spectral}})라는 용어를 사용하였고,<ref>{{서적 인용|이름=J.|성=Leray|저자링크=장 르레|장=L’homologie filtrée|제목=Topologie algébraique|총서=Colloques internationaux du CNRS|권=12|날짜=1949|쪽=61–82|zbl=0040.10001|mr=0035019|언어=fr}}</ref><ref name="Miller">{{서적 인용|장url=http://www-math.mit.edu/~hrm/papers/ss.pdf|장=Leray in Oflag XVIIA: the origins of sheaf theory, sheaf cohomology, and spectral sequences|이름=Haynes|성=Miller|제목=Jean Leray (1906–1998)|url=http://smf4.emath.fr/en/Publications/Gazette/2000/EditionSpeciale/|편집자=J.-M. Kantor|총서=Gazette des Mathématiciens|isbn=2-85629-089-2|issn=0224-8999|날짜=2000|출판사=Société Mathématique de France|쪽=17–34|언어=en|확인날짜=2014-11-13|보존url=https://web.archive.org/web/20141113083449/http://smf4.emath.fr/en/Publications/Gazette/2000/EditionSpeciale/|보존날짜=2014-11-13|url-status=dead}}</ref><ref name="Chow">{{저널 인용|제목=You could have invented spectral sequences|이름=Timothy Y.|성=Chow|url=http://www.ams.org/notices/200601/fea-chow.pdf|저널=Notices of the American Mathematical Society|날짜=2006-01|권=53|호=1|쪽=15–19|mr=2189946|zbl=1092.55014|언어=en}}</ref> 이듬해 [[장피에르 세르]]가 이를 "스펙트럼 열"({{llang|fr|suite spectrale}})으로 개량하였다.<ref name="Miller"/><ref>{{저널 인용|이름=Jean-Pierre|성=Serre|저자링크=장피에르 세르|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3183z/f1408.image|저널=Comptes rendus de l'Académie des sciences|권=231|쪽=1408–1410|날짜=1950|제목=Homologie singulière des espaces fibrés I. La suite spectrale|zbl=0039.39702|mr=0039253 |언어=fr}}</ref> 존 매클리어리({{llang|en|John McCleary}})에 따르면, 아마 이 이름은 스펙트럼 열의 각 성분을 어떤 [[미분 연산자]]의 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]을 구성하는 [[고윳값]]에 비유하여 붙인 것이라고 한다.<ref name="Chow"/> 라비 바킬({{llang|en|Ravi Vakil}})은 스펙트럼 열({{llang|en|spectral sequence|스펙트럴 시퀀스}})이 이런 이름이 붙은 것은 마치 귀신({{llang|en|specter|스펙터}})처럼 "무시무시하고 사악하고 위험한"({{llang|en|terrifying, evil, and dangerous}}) 대상이기 때문이라고 농으로 비유하였다.<ref>{{웹 인용|url=http://math.stanford.edu/~vakil/0708-216/216ss.pdf|제목=Spectral sequences: friend or foe?|이름=Ravi|성=Vakil|날짜=2008-03-12|언어=en}}</ref>

1952년에 윌리엄 슈마허 매시({{llang|en|William Schumacher Massey}})는 스펙트럼 열을 정의하는 완전쌍의 개념을 발견하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Massey | first=William S. | title=Exact couples in algebraic topology (parts I and II) | date=1952-09 | journal=Annals of Mathematics  | volume=56 | pages=363–396 | doi=10.2307/1969805 | jstor=1969805 | issue=2 | mr = 0052770  |zbl=0049.24002 |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Massey | first=William S. |title=Exact couples in algebraic topology (parts III, IV, and V) | url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1953-03_57_2/page/n41 | date=1953-03 | journal=Annals of Mathematics | volume=57 | pages=248–286 | doi=10.2307/1969858 | issue=2 | jstor=1969858|mr=0055686 |zbl=0049.24002|언어=en}}</ref> 1957년에 [[알렉산더 그로텐디크]]는 [[층 코호몰로지]]의 [[르레 스펙트럼 열]]과 [[군 코호몰로지]]의 [[린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열]]을 [[그로텐디크 스펙트럼 열]]로 일반화하였다.

곧 [[애덤스 스펙트럼 열]]({{llang|en|Adams spectral sequence}}), [[아티야-히르체브루흐 스펙트럼 열]](Atiyah–Hirzebruch spectral sequence), [[복시테인 스펙트럼 열]] 등 스펙트럼 열의 수많은 예들이 발견되었다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=John|성=McCleary|제목=A user’s guide to spectral sequences|판=2판|출판사=Cambridge University Press|날짜=2001|doi=10.1017/CBO9780511626289|mr=1793722|zbl=0959.55001|isbn=978-0-52156141-9|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=58|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=John|성=McCleary|제목=History of topology|url=https://archive.org/details/historyoftopolog0000unse|장=A history of spectral sequences: origins to 1953
|출판사=North-Holland|날짜=1999|mr=1721118|zbl=0956.55003|쪽= [https://archive.org/details/historyoftopolog0000unse/page/n644 631]–663|doi=10.1016/B978-044482375-5/50024-9|isbn=978-0-444-82375-5|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Spectral sequences for the layman|이름=Barry|성=Mitchell|doi=10.2307/2316659|jstor=2316659|저널=The American Mathematical Monthly|권=76|호=6|쪽=599–605|날짜=1969-06|issn=0002-9890|zbl=0181.03102|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=SpectralSequence|title=Spectral sequence|저자=Renze, John}}
* {{eom|title=Spectral sequence}}
* {{nlab|id=spectral sequence|title=Spectral sequence}}
* {{nlab|id=exact couple|title=Exact couple}}
* {{nlab|id=spectral sequence of a filtered complex|title=Spectral sequence of a filtered complex}}
* {{nlab|id=spectral sequence of a double complex|title=Spectral sequence of a double complex}}
* {{nlab|id=Frölicher spectral sequence}}
* {{nlab|id=Hodge–de Rham spectral sequence}}
* {{nlab|id=degeneration of Hodge to de Rham spectral sequence|title=Degeneration of Hodge to de Rham spectral sequence}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/23297/simple-examples-for-the-use-of-spectral-sequences|제목=Simple examples for the use of spectral sequences|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/22188/introductory-book-on-spectral-sequences|제목=Introductory book on spectral sequences|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2013/08/what_is_a_spectral_sequence.html|제목=What is a spectral sequence?|이름=Mike|성=Shulman|날짜=2013-08-04|웹사이트=The ''n''-Category Café|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://homotopytypetheory.org/2013/08/08/spectral-sequences/|제목=Spectral sequences|이름=Mike|성=Shulman|날짜=2013-08-08|웹사이트=Homotopy Type Theory|언어=en}}


[[분류:호몰로지 대수학]]