스펙트럼 삼조 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[비가환 기하학]]에서 '''스펙트럼 삼조'''(spectrum三組, {{llang|en|spectral triple}})는 [[스핀 다양체]]의 개념의 비가환 일반화이다.

== 정의 ==
'''스펙트럼 삼조''' <math>(H,\mathcal A,D)</math>는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>H</math>는 [[복소수 힐베르트 공간]]이다.
* <math>\mathcal A\subseteq\operatorname B(H,H)</math>는 <math>H</math> 속의 [[유계 작용소]]들의 집합이며, 덧셈 · 스칼라곱 · 합성 · [[에르미트 수반]]에 대하여 닫혀 있다 (즉, [[복소수 대합 대수]]를 이룬다).
* <math>H</math>의 [[조밀 집합|조밀]] 부분 벡터 공간 <math>V\subseteq H</math> 위에 정의된 [[자기 수반 작용소]] <math>D\colon V\to H</math>.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:임의의 <math>A\in\mathcal A</math>에 대하여, <math>\|[A,D]\|<\infty</math>. 여기서 <math>\|\;\|</math>는 [[작용소 노름]]이다.

== 예 ==
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[스핀 다양체]] <math>M</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 [[스피너 다발]]의 L<sup>2</sup> 단면 공간
:<math>H=\Gamma_{\operatorname L^2}(\mathrm SM)</math>
은 [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[복소수 힐베르트 공간]]을 이룬다. 그 위의 [[디랙 연산자]]
:<math>\nabla\colon(\operatorname{dom}\nabla\subseteq H)\to H</math>
는 <math>H</math>의 [[조밀 집합|조밀]] 부분 벡터 공간 위에 정의된 [[자기 수반 작용소]]이다. 또한, <math>M</math> 위의 2-[[르베그 공간]]은 <math>H</math> 위에 점별 곱셈으로 작용한다.
:<math>A=\operatorname L^2(M;\mathbb C)</math>
:<math>A\times H\to H</math>
:<math>(f,\psi)\mapsto(x\mapsto f(x)\psi(x))</math>
이에 따라 <math>A\subseteq\operatorname B(H,H)</math>로 간주할 수 있다. 그렇다면, <math>(M,A,\nabla)</math>는 스펙트럼 삼조를 이룬다.

== 역사 ==
[[알랭 콘]]이 “스펙트럼 삼조”라는 용어를 1995년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|url=http://www.alainconnes.org/docs/reality.pdf|이름=Alain|성=Connes|저자링크=알랭 콘|제목=Noncommutative geometry and reality|저널=Journal of Mathematical Physics|권=36|호=11|날짜=1995-11|쪽=6194–6231|언어=en|access-date=2017-04-24|archive-date=2016-03-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20160315020652/http://www.alainconnes.org/docs/reality.pdf}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=spectral triple|title=Spectral triple}}
* {{nlab|id=2-spectral triple}}
* {{nlab|id=spectral action|title=Spectral action}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2007/06/had_the_pleasure_of_talking.html|제목=Spectral triples and graph field theory|이름=Urs|성=Schreiber|날짜=2007-06-12|웹사이트=The ''n''-Category Café|언어=en}}

[[분류:함수해석학]]
[[분류:리만 기하학]]
[[분류:비가환 기하학]]